利用相似三角形測高

第六章 圖形的相似領銜人：吳粉連組稿團隊：江蘇省常州市金壇區吳粉連名師工作室

相似三角形是初中數學的重要知識點，在生活中也有著廣泛的應用。下面就如何利用相似三角形來測量物體的高度談一點方法，希望能給同學們帶來收獲。

方法一：利用影子

【操作方法】一名學生站在旗桿影子的頂端處，測出該生的身高和影長及此時旗桿的影長。

【點撥】把太陽的光線看成是平行的。

∵太陽的光線是平行的，

∴AE∥CB，∴∠AEB=∠CBD。

∵人與旗桿是垂直于地面的，

∴∠A BE=∠CDB=90°，

∴△AEB-△CBD，

∴AB/CD=BE/BD，

即CD= AB·BD/BE。

因此，只要測量出入的影長BE，旗桿的影長DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗桿CD的高度了。

方法二：利用標桿

【操作方法】選一名學生為觀測者，在他和旗桿之間的地面上樹一根高度已知的標桿。觀測者前后調整自己的位置，使旗桿頂部、標桿頂部與眼睛恰好在同一直線上，此時分別測出他的腳與旗桿底部、標桿底部的距離即可求出旗桿的高度。

【點撥】如圖3，過點A作AN⊥DC于點N，交EF于點M。

∵人、標桿和旗桿都垂直于地面，

∴∠ABF=∠EFD=∠CDH=90°，

∴人、標桿和旗桿是互相平行的。

∵EF∥CN，∴∠1=∠2。

∵∠3=∠3，∴△AEM一△ACN，

∴AM/AN=CE/CN。

∵人與標桿的距離、人與旗桿的距離、標桿與人的身高的差EM都已測量出，

∴能求出CN。

∵∠ABF=∠CDF=∠ND=90°，

∴四邊形ABDN為矩形，

∴DN=AB.

∵能求出旗桿CD的長度。

【操作方法】選一名學生作為觀測者，在他與旗桿之間的地面上平放一面鏡子。固定鏡子的位置，觀測者看著鏡子來回調整自己的位置，使自己能夠通過鏡子看到旗桿頂部。此時，測出他的腳與鏡子的距離、旗桿底部與鏡子的距離就能求出旗桿的高度。

【點撥】入射角=反射角。

∵入射角=反射角，

∴∠AEB=∠CED。

∵人、旗桿都垂直于地面，

∴∠A BE=LCDE=90°，

∴△AEB-△CED，∴AB/CD=BE/DE。

因此，測量出入與鏡子的距離BE，旗桿與鏡子的距離DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗桿CD的高度。

【總結】以上三種方法是利用相似三角形測量物體高度的常用方法，我們還要注意以下幾點：

1.運用方法一時，可以把太陽光近似地看成平行光線，計算時還要用到觀測者的身高;

2.運用方法二時，觀測者的眼睛必須與標桿的頂端、旗桿的頂端“三點共線”，標桿與地面要垂直，在計算時還要用到觀測者的眼睛離地面的高度;

3.運用方法三時，應注意光線的入射角等于反射角。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區華羅庚實驗學校）