基于水循環算法的FIR濾波器設計

楊婧 張寶安 李丹丹 方心樂 尹婼楠 劉婷

【摘 要】FIR濾波器被廣泛應用于數字信號處理和工程實際中。最優化FIR濾波器設計可看作為一種尋優過程，利用啟發式算法能夠快速解決這一問題。水循環算法是一種模擬自然界水循環過程的新型啟發式算法，由于其具有運算速度快、控制參數少、收斂性能優等特點而受到越來越多學者的重視。文章首先介紹水循環算法和最優化濾波器設計的基本原理，其次采用均方誤差最小準則，利用水循環算法實現最優化FIR濾波器設計，最后通過MATLAB軟件仿真驗證該設計的有效性。

【關鍵詞】FIR濾波器;水循環算法;最優化FIR濾波器;均方誤差最小準則

【中圖分類號】TP301.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-0688（2021）01-0032-03

0 引言

隨著人工智能時代的來臨，人們對信息處理的要求越來越高，濾波器作為信息處理過程中的重要組件，其設計和優化方法顯得越來越重要。數字濾波器與模擬濾波器相比具有穩定、可實現精確度高、多速率處理等特點，廣泛應用于圖像處理、HDTV、模式識別等領域。

數字濾波器按照單位脈沖分類，可分為有限脈沖響應（Finite Impulse Response，FIR）濾波器和無線脈沖響應（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器兩種。FIR數字濾波器廣泛應用于工程實際中，它最大的特點是穩定，可以在保證隨意設置幅頻特性的同時獲得嚴格的線性相頻特性。此外，FIR數字濾波器具有硬件較容易實現，可通過線性方式設計，過渡過程是有限區間等特點。在數字信號處理領域中，優化FIR濾波器設計可抽象為一種最優化問題，即利用數學逼近理論在指定的優化準則下，尋找合適的濾波器系數，優化FIR濾波器的性能。近年來，FIR濾波器得到國內外許多學者的關注，出現了許多優化方法，其中啟發式算法優化濾波器獲得了較好的效果[1，2]。水循環算法（Water Cycle Algorithm，WCA）是Hadi Eskandar[3]等人提出的一種模擬自然界水循環過程的智能優化算法，由于其具有運算速度快、收斂性能好的優點[4]而被廣泛應用于許多領域，例如求解貝葉斯網絡結構學習問題的二進制水循環算法[5]、改進的長時期多水庫優化水循環算法[6]、基于梯度的水循環算法應用于混沌抑制[7]。本文試將水循環算法應用到FIR濾波器的研究中，提出了一種基于水循環算法的FIR濾波器設計，并用MATLAB軟件仿真驗證其有效性。

1 水循環算法基本原理

水循環算法（WCA）是模擬大自然水循環過程而提出的一種元啟發式算法。該算法將最優解的尋找過程與自然界水循環過程相結合，以適應度函數為導向，進行溪流、河流的匯合，以蒸發降雨作用為輔助跳出局部最優解，最終找到問題的近似最優解。WCA的基本尋優原理如下。

1.1 種群初始化

利用公式（1）生成初始種群個體，根據公式（2）計算個體的適應度，按照適應度大小排序后，根據需要設定河流和大海，并根據其流量強度分配溪流，得到種群如公式（3）。

1.4 算法結束

判斷算法是否達到最大迭代次數;沒達到就繼續迭代尋優，反之算法結束并輸出最優解（海洋的位置）。

2 基于水循環算法的FIR濾波器設計

2.1 FIR濾波器設計

數字濾波器可看作一個離散時間系統，設有限脈沖響應濾波器的單位抽樣響應為h（d），則L階濾波器輸入x（d）與y（n）輸出的關系表達式如下：

經典法FIR濾波器設計原理簡單、設計方式較為成熟，因而成為設計濾波器的主要方法，但這種方法得到的數字濾波器實際頻率響應與理想值相差太大，濾波器的性能較差無法滿足對性能要求高的場合，所以需要使用最優化設計方法設計濾波器。最優化設計方法是根據某些準則設計濾波器，例如最大誤差最小化準則、最小平方準則、均方誤差最小準則等。

本文利用均方誤差最小準則實現最優化FIR濾波器設計。均方誤差最小是指找到一組h（d）使得均方誤差Ex2最小，其中均方誤差為實際濾波器的頻率響應H（ejω）與理想濾波器頻率響應H0（ejω）之差的平方，選擇M個頻率點，均方誤差如下：

2.2 基于水循環算法的FIR濾波器設計

將水循環算法河流溪流匯入海洋的過程看作最優化FIR濾波器設計尋找最優濾波器系數的過程，將最小均方誤差作為目標函數，函數值越小，則實際設計的濾波器性能越好。算法結束后，大海的值對應FIR濾波器的最優濾波器系數h（d）0≤d≤L-1。

基于水循環算法FIR濾波器的實現步驟如下：{1}初始化。初始種群總數為Npop、河流與海洋總個數為Nsr、溪流總數為Nstream、最優解個數為1、極小值為dmax、最大迭代次數為max_it，設置終止條件為超出最大迭代次數終止。{2}根據公式（3）生成初始種群，根據公式（14）計算每個雨滴的適應度值，并據此劃分大海、河流與溪流。{3}計算河流和大海的流量強度，并據此劃分跟隨每條河流和大海的溪流數目。{4}執行循環。根據公式（4）、公式（5）、公式（6）進行河流與溪流、溪流與大海、河流與大海的位置更新。根據公式（7）、公式（8）判斷是否滿足蒸發條件，如果滿足，則根據公式（1）和公式（9）執行降雨操作。判斷是否滿足最大迭代次數，若滿足，算法結束，并返回最優解，此時最優解即濾波器的最佳系數;如果不滿足，返回繼續進入循環。

3 實驗仿真

利用MATLAB軟件仿真驗證基于水循環算法的IIR濾波器的可行性，在仿真實驗中設定了水循環算法的初始參數：Npop=350，Nsr=24，dmax=1e-5，最大迭代次數max_it=100。

實驗1：設計一個階數為21的FIR低通數字濾波器，其技術指標：

H0（ejω）=1? ? ? 0≤ω≤0.48π0.793 7 ω=0.5π0.396 8 ω=0.52π0? ? ? ? 0.53π≤ω≤π（15）

實驗2：設計一個階數為21的FIR高通濾波器，其技術要求：

H0（ejω）=0? ? ? 0≤ω≤0.48π0.396 8 ω=0.5π0.793 7 ω=0.52π1? ? ? ? 0.53π≤ω≤π（16）

實驗3：設計一個階數為21的FIR帶通濾波器，其技術要求：

H0（ejω）=0? ? ? ? ?0≤ω≤0.25π0.5? ? ? ω=0.27π1? ? 0.28π≤ω≤0.73π0.5? ? ? ? ?ω=0.75π0? ? 0.76π≤ω≤π（17）

實驗4：設計一個階數為21的FIR帯阻濾波器，其技術要求：

H0（ejω）=1? ? ? ? ?0≤ω≤0.25π0.5? ? ? ω=0.27π0? ? 0.28π≤ω≤0.73π0.5? ? ? ? ?ω=0.75π1? ? 0.76π≤ω≤π（18）

圖1至圖4分別為低通、高通、帶通、帶阻FIR濾波器的適應度和歸一化幅頻響應曲線。

由圖1至圖4可知，基于水循環算法的FIR濾波器的幅頻特性曲線比較符合理想濾波器的濾波性能，因此該方法是一種可行的設計方案。

4 結論

本文研究水循環算法和FIR濾波器設計的基本原理，分析水循環算法用于優化FIR濾波器設計的可行性，提出利用水循環算法優化FIR濾波器設計的新方案，并借助MATLAB軟件進行仿真實驗，驗證了該設計方案的有效性。

參 考 文 獻

[1]邵鵬，吳志健，彭虎，等.改進的粒子群優化算法設計FIR低通數字濾波器[J].計算機科學，2017，44（S1）：136-138，156.

[2]陳曉文.基于粒子群算法的FIR濾波器的優化設計[J].寧德師范學院學報（自然科學版），2019，31（3）：257-262.

[3]Eskandar H，Sadollah A，Bahreininejad A，et al.Water cycle algorithm - A novel metaheuristic opti-

mization method for solving constrained engineering optimization problems[J].Computers & Structures，2012，110（10）：151-166.

[4]周后英.基于水循環算法的陣列天線方向圖綜合[D].西安：西安電子科技大學，2018.

[5]Wang Jingyun，Liu Sanyang.Novel binary encoding water cycle algorithm for solving Bayesian network structures learning problem[J].Knowledge-Based Systems，2018，150：95-110.

[6]Yuni Xu，Yadong Mei.A modified water cycle alg-

orithm for long-term multi-reservoir optimization[J].Applied Soft Computing Journal，2018，71：317-332.

[7]Seyed Mehdi Abedi Pahnehkolaei，Alireza Alfi，Ali Sadollah，Joong Hoon Kim.Gradient-based water cycle algorithm with evaporation rate applied to chaos suppression[J].Applied Soft Computing，2017，

53：420-440.