問(wèn)題驅(qū)動(dòng) 促進(jìn)初中生函數(shù)圖像理解
——以《二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)》第三課時(shí)為例

黃和悅

（三明教育學(xué)院，福建 三明 365000）

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)中和已有知識(shí)的基礎(chǔ)上體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)知識(shí).由此創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生自我意識(shí)的產(chǎn)生，讓學(xué)生獲得自我探索、自我思考、自我表現(xiàn)的實(shí)踐機(jī)會(huì)，這種方式已成為數(shù)學(xué)有效教學(xué)活動(dòng)中的一種策略，越來(lái)越得到教師的關(guān)注.數(shù)學(xué)教學(xué)中教師所創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，除了點(diǎn)撥學(xué)生的思路中，更是開啟學(xué)生的思維.教學(xué)實(shí)際中為了突出“新、奇、趣”的效果，有的數(shù)學(xué)教師往往挖空心思地創(chuàng)設(shè)出花樣繁多的情境，而實(shí)質(zhì)是以“書本為中心”“教師為中心”，或是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中變?yōu)楸粍?dòng)和依賴，由于把握不當(dāng)教學(xué)中的“度”，反而干擾了學(xué)生對(duì)知識(shí)真正理解，影響學(xué)生思維的發(fā)展.本文以北師大版九年級(jí)下冊(cè)《二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（第三課時(shí)）》為例，談?wù)勅绾蝿?chuàng)設(shè)有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)和幫助學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像學(xué)習(xí)的真正理解.

一、基于遷移運(yùn)用教學(xué)情境的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)——在喚醒中理解

學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)感到最困難的是如何調(diào)動(dòng)原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中已有的哪些知識(shí)，對(duì)已有的經(jīng)驗(yàn)與方法該如何選擇.那么，課堂教學(xué)應(yīng)從學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)出發(fā)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生以一種積極的心態(tài)，喚醒已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)嘗試解決新問(wèn)題，同化新知識(shí).關(guān)于知識(shí)的學(xué)習(xí)不宜強(qiáng)迫學(xué)生被動(dòng)地接受，不能滿足教條式、機(jī)械地模仿與記憶，而應(yīng)在原有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)新舊經(jīng)驗(yàn)相互作用而建構(gòu)知識(shí)含義.

［教學(xué)片段1］

提出問(wèn)題：對(duì)于二次函數(shù)y=3x2，y=3x2+1，y=3x2-1，并回答：

（1）從式子上看它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

（2）從圖像上看它們有什么聯(lián)系？

師生活動(dòng)：學(xué)生可畫出三個(gè)二次函數(shù)的大致圖像，在學(xué)生完成的同時(shí)，教師適時(shí)歸納總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)此問(wèn)題進(jìn)行研究框架的搭建，幫助學(xué)生理解、體會(huì)函數(shù)研究的思想方法都是從特殊到一般，為后續(xù)學(xué)習(xí)其他二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行鋪墊.

教學(xué)思考：通過(guò)具體實(shí)例來(lái)復(fù)習(xí)，喚醒學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2和y=ax2+k 的圖像及其性質(zhì)的回憶，知道當(dāng)a 相同時(shí)它們的圖像都是拋物線，并且形狀相同，只是位置不同，可以通過(guò)上下平移得到.引導(dǎo)學(xué)生既要從式子上又要從圖像上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)，為接下來(lái)學(xué)習(xí)其他二次函數(shù)圖像及其性質(zhì)打下基礎(chǔ)，學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力得以培養(yǎng)和促進(jìn).而實(shí)際教學(xué)中許多教師更多是采用問(wèn)答式或直接進(jìn)入新課，這種機(jī)械式、順理成章只體現(xiàn)在書本知識(shí)結(jié)構(gòu)的編排和教師的想當(dāng)然上，體現(xiàn)在學(xué)生身上，可能僅停留在結(jié)論的記憶上，對(duì)于方法、知識(shí)的遷移和運(yùn)用，遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到靈活的程度.有典型意義的具體實(shí)例，可讓學(xué)生在直觀感知中，經(jīng)歷分析、綜合、抽象、概括等過(guò)程，使學(xué)生既豐富了感性認(rèn)識(shí)，又激起對(duì)觀察的強(qiáng)烈興趣，從而在學(xué)生認(rèn)真觀察、思考的過(guò)程中，獲得生動(dòng)表象，鞏固新知.

二、基于類比推理教學(xué)引入的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)——在猜想中理解

教學(xué)中應(yīng)探索數(shù)學(xué)的價(jià)值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，其最基本的前提和條件就是教師如何引導(dǎo)學(xué)生尋找或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題.教師通過(guò)設(shè)置問(wèn)題活動(dòng)，讓學(xué)生在積極思考的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，類比地提出猜想，這既豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又能培養(yǎng)解決問(wèn)題能力和思維能力.使學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)和應(yīng)用中，可以準(zhǔn)確把握事物的本質(zhì)、規(guī)律和相互關(guān)系，對(duì)知識(shí)既能記得準(zhǔn)確而牢固，又能用得迅速而合理.

［教學(xué)片段2］

提出問(wèn)題：那對(duì)于二次函數(shù)y=2x2與y=2（x-1）2，并回答：

（1）從式子上看它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

（2）你能猜想一下從圖像上看它們會(huì)有什么聯(lián)系嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從式子觀察兩個(gè)二次函數(shù)的相同與不同，再類比、猜想出圖像之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)類比前面的知識(shí)，讓學(xué)生先從二次函數(shù)解析式上看出區(qū)別與聯(lián)系，由此大膽猜想出它們圖像之間的聯(lián)系，并自然會(huì)想通過(guò)畫圖來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證.

教學(xué)思考：上述過(guò)程留足學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)間，在類比、交流、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，逐步形成自己對(duì)二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略.可能在這個(gè)過(guò)程中，由于學(xué)生之間存在個(gè)體差異，致使猜想的結(jié)論是錯(cuò)誤的，但這并不影響后續(xù)的學(xué)習(xí)，反而通過(guò)驗(yàn)證后，更能培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.長(zhǎng)期以來(lái)，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)在定義、法則、公式、性質(zhì)的形成過(guò)程是盡量少花時(shí)間，而把大量的時(shí)間用來(lái)做題，教學(xué)過(guò)程中有很強(qiáng)的應(yīng)試色彩.殊不知這樣，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征很難理解，很難感受到知識(shí)形成的過(guò)程中的茫然與困惑，探索問(wèn)題過(guò)程的艱辛與成敗，無(wú)法真正理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義.學(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)論通過(guò)合情推理經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，也就是說(shuō)進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“火熱的思考”來(lái)化解數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”，不僅可以開拓學(xué)生的視野和學(xué)到數(shù)學(xué)的方法，更加準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)知識(shí)，加以融會(huì)貫通而獲得有關(guān)信息的學(xué)習(xí).同時(shí)由于合情推理的結(jié)果具有似真性，所以需要學(xué)生再通過(guò)操作驗(yàn)證或演繹推理等方式證明合情推理所得結(jié)果.這樣既讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)，形成科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，也能培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，解決問(wèn)題的創(chuàng)造性.

三、基于動(dòng)手操作教學(xué)實(shí)踐的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)——在探究中理解

教學(xué)中有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)一定不是單純地把現(xiàn)成的知識(shí)給學(xué)生，或是讓學(xué)生簡(jiǎn)單地進(jìn)行模仿與記憶，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)該是一個(gè)不斷探索和思考的過(guò)程.教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，使學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)去動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流，讓學(xué)生在生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的學(xué)習(xí)過(guò)程，找出答案或得出結(jié)論，更好思考和理解數(shù)學(xué)，除了獲取信息和經(jīng)驗(yàn)外，掌握其背后的策略性東西.

［教學(xué)片段3］

提出問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們畫出二次函數(shù)y=2（x-1）2的圖像，并回答：

（1）通過(guò)觀察圖像，驗(yàn)證一下你的猜想到底對(duì)不對(duì)呢？

圖1

師生活動(dòng)：讓學(xué)生按畫圖像的步驟（列表、描點(diǎn)、連線）在自己的筆記本上畫圖，并根據(jù)所畫的圖像回答問(wèn)題.教師則運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生已知二次函數(shù)y=2x2的圖像基礎(chǔ)上，再獨(dú)立畫出二次函數(shù)y=2（x-1）2的圖像，既可鞏固函數(shù)圖像的畫法，又能讓學(xué)生進(jìn)一步驗(yàn)證自己的猜想，直觀感受到兩個(gè)函數(shù)的差異，培養(yǎng)學(xué)生檢驗(yàn)猜想或結(jié)論是否正確的途徑與方法.

教學(xué)思考：要充分認(rèn)識(shí)到學(xué)生自身積極作用，是學(xué)習(xí)的主體、認(rèn)識(shí)的主體、發(fā)展的主體，教師只有意識(shí)到“教”都是為了學(xué)生的“學(xué)”，深入思考“教什么和應(yīng)該怎樣教”.但筆者在聽(tīng)許多關(guān)于二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的課時(shí)，發(fā)現(xiàn)許多教師都因?qū)W生在課堂上不好畫二次函數(shù)的圖像，要么忽略直接用幾何畫板來(lái)代替，要么直接看課本，或是課前準(zhǔn)備好.其實(shí)，學(xué)生幾何直觀能力哪里來(lái)，畫圖能力和水平是很重要的，很難想象一個(gè)學(xué)生連圖形都不會(huì)畫，他的幾何直觀和空間想象能力會(huì)很好.學(xué)生針對(duì)所得的函數(shù)圖像，加上教師的幾何畫板演示，進(jìn)行觀察、對(duì)比，理性的思考，驗(yàn)證了自己的猜想，明確了兩個(gè)函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，進(jìn)而使學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面也得到進(jìn)步和發(fā)展.

四、基于拓展應(yīng)用教學(xué)提升的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)——在思維中理解

教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，提供給學(xué)生富有難度和挑戰(zhàn)性的活動(dòng)和問(wèn)題.為學(xué)生學(xué)習(xí)通過(guò)智慧地設(shè)計(jì)教學(xué)，重構(gòu)教學(xué)，這不僅僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，也會(huì)生發(fā)出較“知識(shí)”更具生成性的因素，這或許是比任何預(yù)設(shè)的所謂知識(shí)的目標(biāo)更為可貴的資源.這樣學(xué)生在知識(shí)應(yīng)用中，是經(jīng)過(guò)系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)，形成自己的知識(shí)框架基礎(chǔ)上，去歸納和對(duì)比，迅速找到相應(yīng)的內(nèi)容，更好地解決問(wèn)題.

［教學(xué)片段4］

提出問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們梳理前面所學(xué)的內(nèi)容，并回答：（見(jiàn)圖2）

印度梨形孢對(duì)黑松幼苗生長(zhǎng)量及其根系形態(tài)的動(dòng)態(tài)影響 周曉瑩，梁玉，董智，李紅麗，張夢(mèng)璇，韓秀峰，范小莉，房用(7-7)

（1）如果是二次函數(shù)y=2（x+1）2呢？那它的圖像可以由y=2x2的圖像得到嗎？

（2）結(jié)合二次函數(shù)y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1 圖像之間的關(guān)系，如圖2 你能得到二次函數(shù)y=2（x-1）2+1 的圖像與二次函數(shù)y=2（x-1）2的圖像的關(guān)系嗎？

（3）由此你能說(shuō)出二次函數(shù)y=-3x2，y=-3（x+2）2，y=-3（x+2）2-3圖像之間關(guān)系嗎？

（4）請(qǐng)你歸納出二次函數(shù)y=a（x-h）2+k 與y=ax2圖像之間關(guān)系.

（5）請(qǐng)你類比二次函數(shù)y=ax2的特點(diǎn)，結(jié)合圖像探究出二次函數(shù)y=a（x-h）2+k 的性質(zhì)特點(diǎn).

圖2

師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)類比探究得出二次函數(shù)y=a（x-h）2+k 與y=ax2圖像之間關(guān)系及其性質(zhì)特點(diǎn).教師結(jié)合幾何畫板的演示和分析，幫助學(xué)生更好地理解.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)以上幾個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生明白：只要a值相同，二次函數(shù)y=a（x-h）2+k 與y=ax2圖像就可通過(guò)平移得到，自然就可由二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)特點(diǎn)探究出二次函數(shù)y=a（x-h）2+k 的性質(zhì)特點(diǎn).

教學(xué)思考：教師在引導(dǎo)學(xué)生得到二次函數(shù)y=a（xh）2+k 的圖像和性質(zhì)特點(diǎn)時(shí)，一定要運(yùn)用類比的思想，從數(shù)表上看——從圖上看——從解析式上看，最后落實(shí)到從解析上看就能得出.教師通過(guò)設(shè)置循序漸進(jìn)的問(wèn)題，讓學(xué)生形成新舊知識(shí)的對(duì)比和方法的遷移，只要學(xué)生是通過(guò)理性思維得到相應(yīng)的結(jié)論，就能領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法在解決問(wèn)題時(shí)所起到的“支撐”作用，更能領(lǐng)悟到解決問(wèn)題絕不能僅僅靠所謂的“靈感”，更要注重基礎(chǔ)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法的運(yùn)用.理解是一個(gè)思維漸進(jìn)的過(guò)程，學(xué)習(xí)是不斷努力的結(jié)果，明白這點(diǎn)非常重要.教師應(yīng)該避免讓學(xué)生對(duì)知識(shí)形成過(guò)程做“早期廢棄”，如果放棄了，就不存在思維，就不會(huì)付出更多的努力來(lái)達(dá)到理解.

五、結(jié)語(yǔ)

理解需要很多經(jīng)歷，經(jīng)常做或者處理某些事情，試圖尋找其來(lái)源，重視其過(guò)程，并積極參與，就會(huì)形成對(duì)事物的深層次理解.因此，教師要建立為理解而教學(xué)的理念，要設(shè)計(jì)出學(xué)生可參與的數(shù)學(xué)問(wèn)題活動(dòng)，讓他們能夠在已有知識(shí)基礎(chǔ)上去思考，分析知識(shí)、概念、法則，找出其中的內(nèi)在規(guī)律，而不是簡(jiǎn)單地做數(shù)學(xué)課本的數(shù)學(xué)題.在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一般要注意下面幾點(diǎn)：

一是問(wèn)題要有現(xiàn)實(shí)性.問(wèn)題合理的設(shè)置，引發(fā)學(xué)生積極探索，既保證問(wèn)題的思維含量，又能夠使學(xué)生在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，得出結(jié)論，形成能力.

二是問(wèn)題要有探究性.設(shè)計(jì)具有探究性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)的主動(dòng)去經(jīng)歷觀察、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等各種活動(dòng)過(guò)程，不是簡(jiǎn)單地得到結(jié)論，學(xué)生的抽象概括能力和合情推理能力得到充分發(fā)展.

三是問(wèn)題要有創(chuàng)造性.學(xué)生通過(guò)探究具有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行深度思考和學(xué)習(xí)，自主建構(gòu)和完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，真正落實(shí)學(xué)生思維能力的培養(yǎng).