數學活動，助力學生深度學習

黃錦

[摘? 要] 要想讓初中學生在數學學習的過程中進入深度學習的狀態，那就必須給學生提供一定的助力，只有讓學生在現有水平的基礎之上，通過有效的活動參與和體驗，才能讓深度學習從理想變成現實. 選擇一個合適的教學內容，設計與之相匹配的數學活動，讓學生在活動參與的過程當中積極思考，從而實現思維的不斷遞進，逐漸達成深度學習.

[關鍵詞] 初中數學;數學活動;深度學習;勾股數

人們在尋找數學核心素養的培養方法時，不約而同地認為深度學習是培養學生數學核心素養的有效途徑. 但是人們對深度學習的理解卻出現了一些不同，有人認為深度學習對應著有難度的學習，也有人認為深度學習就是學生思維不斷遞進的學習，這些認識有其可取之處，但又存在一些不足，其中最關鍵的就是深度學習怎樣才能真正發生這一根本問題. 筆者結合初中數學教學的優秀傳統，同時考慮初中階段學生在數學學習過程中表現出來的一些基本特點，得出的一個初步結論是：要想讓初中學生在數學學習的過程中進入深度學習的狀態，那就必須給學生提供一定的助力，只有讓學生在現有水平的基礎之上，通過有效的活動參與和體驗，才能讓深度學習從理想變成現實.

相應的，要將這一教學理念變成具體的教學實際行為，必須結合具體的教學案例來進行. 選擇一個合適的教學內容，設計與之相匹配的數學活動，讓學生在活動參與的過程當中積極思考，從而實現思維的不斷遞進，逐漸達成深度學習. 在初中數學知識體系當中，“勾股數”是一個相對特殊的知識，其既是學生對勾股定理理解的直覺性表現之一，同時又反映著學生的數學思維. 讓學生在對勾股數的學習與探究中，體驗一定的數學活動，就可以引導學生進入深度學習之境.

初中數學活動教學中的深度學習因素

《九年義務教育課程方案》已經正式把活動課納入了中小學課程，這其中也包括初中數學課程. 很顯然，這是一項重大教學改革，其對學生數學學習興趣以及數學綜合素養的提升具有十分積極的意義. 在初中數學教學中，教師應對“數學活動”及其相應板塊知識的學習予以高度重視，并通過任務驅動的方式引導學生參與和完成數學活動. 一般來講，通過任務驅動，可以讓更多的學生參與到數學學習的任務當中來，而當學生在完成任務的時候，實際上就是在經歷一個問題解決的過程. 問題解決是認知心理中的一個重要范疇，同時也是一個重要概念，學生在解決問題的時候，思維必然會從淺層走向深處，學習也就會從淺層學習狀態走向深度學習的狀態.

由此可以認為，面向初中學生組織數學活動的時候，能夠充分體現深度學習的相關因素. 具體來說，初中數學活動教學中的深度學習因素表現為這樣幾點：一是學生思維的廣度，學生在學習相關數學知識、解決相關數學問題的時候，會拓寬自己的知識理解與運用范圍，將更多的知識或者生活經驗運用到數學學習與問題解決中來;二是學生思維的深度，在數學活動當中，學生所表現出來的深度學習會讓他們對知識的理解變得更加深刻，更注重讓自己形成良好的邏輯推理能力與直覺思維能力;三是學生思維的批判性，在任務驅動與問題解決的過程中，不同學生會基于自己的想法提出不同的知識理解與問題解決思路，在交流的時候，他們對小組成員的觀點更多的是思考之后，再決定是否接納，而不是像傳統小組合作學習當中那樣，學優生的觀點“一統天下”.

可以肯定地說，當學生在數學活動的過程當中能夠保證足夠的思維寬度、深度以及批判性，那學生的深度學習就一定能夠發生.

基于深度學習的數學活動設計與實施

說到底，數學活動是學生習得知識、發展思維的根本途徑. 因此，在數學教學中教師必須重視活動的創設與指導，并以此激發學生的探究興趣，讓學生真正參與到探究活動中來. 與此同時還可以讓學生在具體翔實的數學活動中養成邏輯思考的習慣，并逐步形成邏輯思考的意識，進而在具體的數學活動中使其邏輯思維獲得生長，使其數學核心素養獲得發展.

勾股數又被稱為畢達哥拉斯三元數，其實也就是一個直角三角形三邊長度的數值. 眾所周知，勾股定理又叫畢達哥拉斯定理，在我國古代的數學研究當中，也有“勾三股四弦五”之說，那么相應的3，4，5就是勾股數. 除此之外，5，12，13也是容易被學生記住的勾股數. 但是從教學經驗來看，學生記住這些基本的勾股數，往往是重復運用的結果，要想讓學生真正參與一個數學活動，并且經歷深度學習的過程，可以進行如下的教學設計.

活動一：利用學生身邊的情境，初步提出問題.

問題：若正整數a，b，c滿足關系式a2+b2=c2，則這樣的正整數a，b，c叫作勾股數. 你能寫出多少組勾股數？

這一步實際上是拓寬學生思維的廣度，讓學生在后面的學習過程當中有充足的素材.

活動二：設計學生參與的具體活動，引導學生對勾股數形成初步感知.

1. 讓學生通過多種途徑寫出盡可能多的勾股數. 然后教師提出問題：如果要驗證一個數組是否為勾股數，有沒有更加簡便的方法？

學生通過思考后給出的回答往往是：如果數據比較小，就可以結合勾股定理直接判斷;如果數據比較大，可以用平方差公式.

2. 進一步提出問題：仔細研究自己和同學們寫出的勾股數，看其中是否存在某種規律？

在教學實踐當中，學生一般可以得出這樣的結論：一組勾股數，至少有一個偶數. 這實際上是一個非常具有深度的結論，學生有了這一發現之后，認為可以從奇數、偶數的角度去研究勾股數.

3. 從特殊走向一般. 即設a，b，c為一組勾股數，根據此前研究得出的規律進一步探究勾股數內在的規律. 學生的證明過程一般來講是這樣的——第一種情況：若a為奇數，b，c為正整數，然后探索b，c之間的數量關系，以及b，c與a2之間的關系式. 這個任務對學生而言并不困難，此時為了進一步促進學生的深度學習，教師可以提出新的問題，比如當a=2n+1（n為正整數）時，能否寫出一組b，c的值. 第二種情況：若a為偶數，繼續用上述思路進行探索.

4. 再次構建勾股數，具體可結合下式來進行.

（ ? ? ）2+（ ? ? ）2=（ ? ? ）2

（ ? ? ）2-（ ? ? ）2=（ ? ? ）2

這樣學生就能聯想到上述式子的形式，進而會想到乘法公式（x+y）2-（x-y）2=4xy，這個時候問題就轉化為4xy是什么的平方，學生在解決這一問題的時候，往往會想到只要設x=m2，y=n2，就可以得到（m2+n2）2-（m2-n2）2=（2mn）2.

……

事實證明，通過上述教學設計的實施，學生不僅可以經歷一個內容豐富的數學活動過程，也可以經歷一個深度學習的過程，教學效果非常理想.

面向深度學習的數學活動設計注意點

通過數學活動來實現深度學習對于初中數學教學來說，意義是不言而喻的. 在具體的初中數學教材探究活動的設計過程中，一般來講要注意這樣的幾個方面：一是目標確立要準確，防止偏頗現象;二是內容選取要恰當，防止泛化現象;三是類型呈現要全面，防止缺失現象.

比如在上面的勾股數探究的過程中，教師必須跟學生明確活動的主要目的就是體驗探究得出勾股數的過程，并找出其中的一般規律. 因此在具體教學的時候，教師要記住在給出勾股數的概念后，讓學生盡可能多地寫出一些熟悉的勾股數，便于學生觀察、體驗和探索勾股數的規律. 具體包括讓學生重點觀察每一組勾股數，并思考其中三個數之間存在怎樣的關系，然后引導學生從奇數、偶數的角度進行分類討論. 很顯然其中的難點是當a=2n+1（n為正整數）或a=2n（n為正整數）時，寫出一組b，c的一般的值. 從深度學習的角度來看，這就需要教師引導學生對具體勾股數進行觀察、猜想、驗證等活動，并在相應的活動中激發學生的數學思維. 這是一個創造性的過程，有利于發展學生的多種數學能力和數學核心素養.

在上面的探究中，最終得出：當a為奇數時，通過觀察發現c-b=1，a2=b+c;當a=2n+1（n為正整數）時，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1;當a為偶數時，通過觀察發現c=b+2，a2=2（b+c）;當a=2n（n為正整數）時，b=n2-1，c=n2+1. 事實上，當學生得出這些結論時，他們是非常有成就感的. 其中一個默會的教學價值就在于：在這些結論的推導過程中，學生會在充分觀察的基礎上，通過自己的努力嘗試構造、加強代數推理，這有效地培養了學生的抽象能力，發展了學生的創新能力.

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