直觀想象揭面紗 邏輯推理顯真顏
——以2019 年人教A 版“直線與平面平行”為例

盧 妮 蔡海濤 黃 勇

（1.莆田第二中學(xué)，福建 莆田 351131；2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部，福建 福州 350025）

核心素養(yǎng)如何在教學(xué)中落地，引發(fā)了廣泛教師的關(guān)注.立體幾何的教學(xué)著重關(guān)注發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理的素養(yǎng).研究空間幾何圖形和它們的性質(zhì)的基本方法源于直觀感知，然后操作確認(rèn)，最后邏輯驗(yàn)證.基于此，筆者以2019 年人教A 版必修二（以下簡稱為“教材”）中的8.5.2 節(jié)“直線與平面平行”為例，對如何培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)做法.

一、直觀想象探思路

（一）借助模型直觀想象

問題1：如圖1，當(dāng)門繞著一邊轉(zhuǎn)動時(shí)，另一邊與墻面有公共點(diǎn)嗎？門扇轉(zhuǎn)動的一邊與墻面平行嗎？

圖1

圖2

問題2：如圖2，將一塊矩形硬紙板ABCD 平放在桌面上，把這塊紙板繞邊DC 轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動的過程中（AB 離開桌面），DC 的對邊AB 與桌面有公共點(diǎn)嗎？邊AB 與桌面平行嗎？

教師轉(zhuǎn)動教室的門，學(xué)生翻動紙板，都是充分利用了實(shí)物原型.學(xué)生借助模型，可以直觀看到無論門扇轉(zhuǎn)動到什么位置，轉(zhuǎn)動的一邊與固定的一邊總是平行的，它與墻面是平行的.教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)物抽象成數(shù)學(xué)模型，直觀想象直線與平面平行的判斷方法，探究如何將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的有效途徑，進(jìn)而得到直線與平面平行的判定定理.其實(shí)，直線與平面平行的判定定理滲透了處理空間位置關(guān)系的一般方法，即空間問題平面化.教師進(jìn)而提出問題3：這一定理在現(xiàn)實(shí)生活中有許多應(yīng)用，你們能舉例嗎？學(xué)生充分交流后不難回答：安裝教室的日光燈，為了使日光燈與地面平行，只需日光燈與天花板和墻面的交線平行；安裝黑板時(shí)，為了使黑板的邊緣與地面平行，只需黑板的邊緣與地面和墻面的交線平行……

從學(xué)生熟悉的實(shí)際問題引入，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)來源于實(shí)際生活，經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)過程.教師設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流，隨著學(xué)生思維的層層深入，探究發(fā)現(xiàn)“線面平行”判定的關(guān)鍵因素為找“線線平行”，這蘊(yùn)含了研究立體幾何的基本方法，即借助模型→直觀想象→抽象概括，從而發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

（二）融合技術(shù)直觀想象

在應(yīng)用直線與平面平行的性質(zhì)定理時(shí)，教師展示例題：在如圖3 所示的一塊木料中，棱BC 平行于面A′C′.經(jīng)過面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P 和棱BC 將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線？

有的學(xué)生在作圖時(shí)出現(xiàn)如圖4 所示的錯(cuò)誤（直接連接PB 和PC）.對于這個(gè)錯(cuò)誤，教師可以利用幾何畫板制作一個(gè)模擬鋸木料的動畫過程.讓學(xué)生更加直觀地理解切割的過程，理解畫的線實(shí)則是過點(diǎn)P 和棱BC 得到的截面與木料的表面的交線，由圖4、推論1 和線面平行的性質(zhì)定理畫出正確的線段，得到如圖5.

融合信息技術(shù)，讓學(xué)生更直觀地觀察空間幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和其中的位置關(guān)系，突破了本題的難點(diǎn)，發(fā)展了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

圖3

圖4

圖5

二、邏輯推理助解題

（一）邏輯推理建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)

教師在講解直線與平面平行的判定后，可以引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)判斷一條直線與平面平行的關(guān)鍵條件，進(jìn)而提出問題：已知線面平行又能得到什么結(jié)論？即研究已知直線與平面內(nèi)直線的位置關(guān)系，這就是線面平行的性質(zhì).教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察長方體的模型，發(fā)現(xiàn)直線顯然與平面內(nèi)直線沒有公共點(diǎn).所以已知直線與平面內(nèi)的直線平行或異面.此時(shí)，教師借助模型提醒學(xué)生，避免出現(xiàn)“若線面平行，則該線和面內(nèi)任意一條直線平行”的錯(cuò)誤.教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生，若直線a平行平面α，直線a 滿足什么條件與α 內(nèi)的直線b 平行，由基本事實(shí)的推論3 可得，直線a，b 可確定平面β.所以，直線b 被看作是平面α 與過直線a 的平面β 的交線.于是可得如下結(jié)論：過直線a 的平面β 與平面α 相交于b，則a//b.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下探究—操作—猜想—論證，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)論證的理性精神，發(fā)展學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).

本節(jié)是立體幾何研究線面平行“定性”問題的關(guān)鍵課時(shí)，研究直線與平面平行判定后再研究其性質(zhì)，為后續(xù)研究直線和平面垂直關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，乃至可以類比進(jìn)一步研究直線與平面的位置關(guān)系，得到研究立體幾何的方法即把空間問題平面化這種化歸轉(zhuǎn)化的方法，學(xué)生在認(rèn)識研究立體幾何的“基本套路”中，得到立體幾何“定性”問題以及研究方法知識體系的建構(gòu).

（二）邏輯推理學(xué)會合理表達(dá)

幾何語言包括圖形語言、文字語言和符號語言.融合這三種語言的過程就是邏輯推理的發(fā)展過程.表達(dá)是一種可視化的表現(xiàn)，它指的是學(xué)生把自己的見解、判斷、感受等通過圖畫、語言、符號等表現(xiàn)出來.例如，教材中證明直線、平面之間的平行的性質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會用符號語言合理準(zhǔn)確地表達(dá)，循序漸進(jìn)地掌握相應(yīng)的證明方法.又如，教材的137 頁的例2，是線面平行關(guān)系的經(jīng)典范例，教材用三種語言進(jìn)行表達(dá)，即如圖6，在空間四邊形中，AB 和AD 的中點(diǎn)分別是E、F，證明EF//平面BCD.教師引導(dǎo)學(xué)生先理解文字所反映的圖形及關(guān)系，再畫出相應(yīng)的圖形，利用圖形語言進(jìn)行表示，進(jìn)而用符號語言進(jìn)行論證、推理，讓學(xué)生熟練掌握“文字—符號—圖形”三種語言的表達(dá)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

圖6

而在應(yīng)用直線與平面平行的性質(zhì)定理解決立體圖形問題時(shí)，如教材的138 頁的例3，其實(shí)是“實(shí)物模型—圖形—文字—符號”的這一抽象過程.直觀圖形，猜想所畫線與平面AC 的位置關(guān)系.在根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)定理的證明過程中，學(xué)生有條理地去思考，再用數(shù)學(xué)符號語言有條理地表達(dá)，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理的素養(yǎng).

總之，立體幾何的教學(xué)在發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)承擔(dān)重要的地位與作用.而立體幾何的“平行”“垂直”等“定性”關(guān)系需要學(xué)生有一定的空間想象和邏輯推理能力.“直觀”是一個(gè)人長期進(jìn)行數(shù)學(xué)思維形成的，是逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣，日積月累就形成素養(yǎng).［1］事實(shí)上，學(xué)生在這方面的能力是比較薄弱.教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從整體到局部，從特殊到一般，認(rèn)識空間幾何體；再以長方體為載體，直觀認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系；最后由一般到特殊，進(jìn)一步研究直線、平面的平行、垂直關(guān)系，重點(diǎn)研究判定與性質(zhì).這樣，學(xué)生有一個(gè)從具體到抽象、層層遞進(jìn)、漸漸嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯繉W(xué)習(xí)過程，從合情推理自然地過渡到邏輯推理.