借助數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)深度思考

陳玲玲

一、借助數(shù)形結(jié)合，思考概念本質(zhì)

借助生動形象的圖形能使抽象難懂的數(shù)學(xué)概念變得趣味化、直觀化，符合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生在積極、有趣的圖形中去體驗、感受、建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，在逐步深入的思考過程中理解概念的本質(zhì)。

例如，人教版三年級上冊“倍的認識”這一節(jié)課的教學(xué)。三年級的學(xué)生雖然已經(jīng)具備比較兩個數(shù)量多少的經(jīng)驗，但對于兩個數(shù)量之間的倍比關(guān)系，學(xué)生還是覺得比較抽象，不易理解。課伊始，筆者出示情境圖，在直觀的實物情境里引出兩個數(shù)量之間的倍比關(guān)系：紅蘿卜有3根，白蘿卜里面有2個3根，我們就說白蘿卜的根數(shù)是紅蘿卜的2倍。

接著引導(dǎo)學(xué)生思考：

思考1（增加紅蘿卜數(shù)量）：怎么變化，白蘿卜的根數(shù)才仍然是紅蘿卜的2倍呢？通過思考、交流，讓學(xué)生感受到倍的特征一每份一樣多。同時培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。

思考2：為什么每組數(shù)量不一樣，卻都說是2倍的關(guān)系？通過這一思考，讓學(xué)生理解“每份數(shù)”是可以變化的，份數(shù)雖然不變，但是隨著每份數(shù)的變化，總數(shù)也跟著變化，建立了每份數(shù)、份數(shù)與總數(shù)之間的關(guān)系。

思考3（淡出實物，留下兩個圖形）：現(xiàn)在我們還能說第二行是第一行的2倍嗎？

這樣的教學(xué)，將數(shù)與形結(jié)合，先從實物表征入手，再到圖形表征，最后抽象出“2倍”的模型：第一行有這么多，第二行有兩個這么多，我們就說第二行是第一行的2倍。學(xué)生在層層思考中，深刻體會“倍”的本質(zhì)特征，思維也從低階走向高階。（圖1）

二、借助數(shù)形結(jié)合，思考計算算理

計算教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常只注重算法而忽視算理o教學(xué)中，教師要通過數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生借助形象、直觀的圖形，尋求不同計算方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而更深入地理解算理，構(gòu)建算法。

北師大版四年級下冊“平均數(shù)”一課，課前預(yù)測單顯示學(xué)生對于平均數(shù)不是一無所知，大部分學(xué)生都能通過“移多補少”或“求和平分”的方式得出平均數(shù)。那么，如何讓學(xué)生理解這兩種算法的算理，溝通這兩種方法之間的聯(lián)系呢？在交流兩種求平均數(shù)的方法后，筆者引導(dǎo)學(xué)生觀察“移多補少”的圖形，思考：移動的過程中什么不變？

學(xué)生在深入思考、交流中發(fā)現(xiàn)：在移多補少中，珠子的總個數(shù)不變，也就是和不變，分成的份數(shù)也是不變的，所以可以用總數(shù)除以份數(shù)，求得平均數(shù)。這樣，在分析數(shù)據(jù)的“變與不變中”，溝通兩種不同方法之間的聯(lián)系，讓學(xué)生理解了為什么可以用“求和再平分”的方法求出平均數(shù)，建立“總數(shù)：份數(shù)=平均數(shù)”的模型。（圖2）借助數(shù)與形的結(jié)合，激發(fā)學(xué)生深度思考，溝通“理”與“法”之間的聯(lián)系，在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

三、借助數(shù)形結(jié)合，思考同構(gòu)聯(lián)結(jié)

在解題過程中，把復(fù)雜的語言用簡單的圖形表示出來，有利于學(xué)生借助圖形的直觀性，分析同一題型之間的聯(lián)系，用同一種方法解決不同類型的問題。筆者嘗試借助畫圖分析，引導(dǎo)學(xué)生用“雞兔同籠”解法巧解“工程問題”。

1.雞兔同籠共6個頭，16只腳。籠中雞兔各幾只？

2.一項工程，甲單獨完成需要12天，乙單獨完成需要9天，若甲先做若干天后乙接著做，共用10天完成，問甲、乙各做了幾天？

看似不相關(guān)的兩道題，學(xué)生很難找到它們的內(nèi)在聯(lián)結(jié)。因此，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖分析，尋找它們的聯(lián)結(jié)點。（圖3）

雞兔同籠：學(xué)生先畫出6個圓圈代表6個頭，第一次每個頭分2只腳，一共分12只腳，還剩下4只腳;第二次每個頭再分2只腳（雞就變成了兔），剩下的4只腳只能分給2個頭;2個頭分到2次就是4只腳的兔，只分到1次的就是雞。

像這樣，借助數(shù)形結(jié)合邊分析題目邊思考，同構(gòu)聯(lián)結(jié)，進行方法遷移，有利于提升學(xué)生的解題技巧。

四、借助數(shù)形結(jié)合，思考數(shù)學(xué)規(guī)律

在教學(xué)中落實數(shù)形結(jié)合思想的滲透，要做到形中有數(shù)，數(shù)中有形，讓學(xué)生能借助數(shù)形互譯，探索數(shù)學(xué)規(guī)律。在教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生借助實物進行操作，讓學(xué)生的多種感官參與到學(xué)習(xí)中，使操作、觀察等活動有機結(jié)合在一起，引導(dǎo)學(xué)生在操作中思考、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。

例如，教學(xué)北師大版五年級下冊“數(shù)學(xué)好玩包裝的學(xué)問”一課。筆者創(chuàng)設(shè)“將4盒牛奶包成一包，怎樣包才能節(jié)省包裝紙”的情境。學(xué)生先獨立思考，借助實物進行操作，并在小組內(nèi)交流，很快找到了2類6種不同的包裝方法：6個面重疊的有3種，8個面重疊的也有3種。通過比較：第一類重疊6個大面的顯然比較節(jié)省，第二類重疊4個大面4個中面的比較節(jié)省。思考：這兩種方法哪種更節(jié)省呢？再進行第二次比較：6個大面=4個大面+2個大面，8個面=4個大面+4個中面，只要比較2個大面和4個中面或者1個大面和2個中面哪個面積大，節(jié)省的包裝紙就多。這時，當“形”難以得出結(jié)論時，“數(shù)”的作用就凸顯了。于是筆者給出了圖形的長、寬、高，學(xué)生通過計算，很快得出了結(jié)果。（圖4）

再思考：怎么重疊，才能最節(jié)省包裝紙？學(xué)生在思考與交流中發(fā)現(xiàn)節(jié)省包裝紙的規(guī)律：每次重疊，把大面重疊起來，如果新產(chǎn)生的面比較大，就把那個新產(chǎn)生的面再重疊起來，這樣最節(jié)省包裝紙。

（作者單位：福建省南安市第一實驗小學(xué)責(zé)任編輯：王彬）