靜電電機理論研究與性能仿真分析

李華峰 王伊凡

靜電電機理論研究與性能仿真分析

李華峰 王伊凡

（機械結構力學及控制國家重點實驗室（南京航空航天大學） 南京 210016）

靜電電機不使用磁鐵、無需線圈、結構簡單、效率高，在微機電系統中有著潛在的應用前景，但目前基于電容可變原理的直線型靜電電機還缺乏理論模型。該文以一種雙激勵直線型靜電電機為例，通過求解多層介質情況下的泊松方程和拉普拉斯方程，獲得電機內部電場分布情況；繼而通過靜電能量的虛位移法獲得電機推力特性，由此建立起完整的電機數學模型，并計算得到電機動子的推力曲線和最大電場強度數值，該推力曲線可用于指導電機換相系統設計；隨后建立電機的二維有限元模型，仿真結果驗證了所提數學模型的正確性；最后根據電機各個參數與最大推力的關系并結合Sobol靈敏度分析結論對電機進行優化設計。結果表明，輸入電壓，介電常數和定、動子導體間距離對電機推力的影響最大，電極寬度對推力的影響最小。據此可指導該類電機的設計。

直線型靜電電機 數學模型 多介質電場分析 靈敏度分析

0 引言

靜電電機是一種利用介電弛豫原理或者電容可變原理運行的電機[1]。由于它不使用磁鐵、無需線圈、結構簡單、效率高、容易實現微型化，特別是微型靜電電機的平面結構和制造工藝與微機電系統（Micro-Electro-Mechanical System, MEMS）器件高度兼容[2]，因此研究超微型旋轉型靜電電機較多，如頂驅動（top-drive）、側驅動（side-drive）、晃動驅動（wobble-drive）、中心釘驅動（center-pin-drive）、軸瓦、法蘭盤（flange）和快門靜電型（shuffle）等[3]。

相較于超微型旋轉型靜電電機，宏觀尺寸的直線型靜電電機研究較少[4-8]。這方面有代表性的是1995年由東京大學提出的一種名為雙激勵多相靜電驅動（Dual Excitation Multiphase Electrostatic Drive, DEMED）的新型靜電直線電機[9]。該電機定子和動子都裝有電極，在定子和動子上施加電壓可以讓動子做直線運動。動子電極為三相，定子電極為三相，采用矩形波電壓驅動；通過調節電壓大小和頻率可以調節動子的運動速度。該電機只有cm級大小，但是推力可達到數十N且其移動速度超過1m/s。鑒于上述特點，該類型直線電機不僅可應用在微型機械領域，常規的設備如位移器和機器人伺服驅動等同樣可以應用靜電電機[10-11]。在此基礎上，日本學者A. Yamamoto等進一步對電極的形狀進行改進[12]，為減小施加電壓過高而導致的推力波紋，他們提出將電極設計成傾斜狀或者V形，這種設計可以使動子平滑移動，有效地降低了電機運行時的噪聲及振動，提升了電機的運行效率。M. Bahoura等將靜電薄膜電機應用到仿生魚的驅動中，利用靜電薄膜電機和一個小型靈活的電力傳輸系統制造出一種能夠通過自身振動實現前進運動的仿生魚[13-14]。

為了對電機性能進行分析，A. Yamamoto利用電容網絡矩陣對已制成電機的推力特性進行了分析[13]。由于DEMED一共有六相，所以電機可以看作是一個6端口網絡，6個端口之間互相以電容相連，這些電容可以用電容矩陣來表示。動子板在運動時，電容矩陣內各個容值都隨動子位置的改變而改變。電容的變化反映靜電能的變化，進而反映推力的變化。因此基于電容可變原理的靜電電機推力特性可以用電容網絡來進行描述，通過測量電機動子板處于不同位置處的電容矩陣可以推算該位置處的推力大小。由于電容的大小不受外部驅動電路的影響，通過這種方法可以對未連接外部驅動的電機的推力特性進行分析[13]。

但上述方法是一種后驗式測量方法。目前針對該類型直線靜電電機缺乏理論模型以預估其機械性能。雖然用有限元方法可以較準確地獲得電機性能參數，但其存在計算時間長的固有缺點，不易得到電機性能與電機參數的關系，不適用于電機優化設計，因而獲得一套用以預估和優化電機性能的理論模型是十分必要的。本文以一種雙激勵直線型靜電電機為例，通過求解靜電方程組，獲得電機內部電場分布情況，從而得到電機的推力曲線和最大電場強度，并用有限元模型進行了驗證。最后分析了電機各個參數對輸出力的靈敏度，以期指導該類電機的設計。

1 電機結構及工作原理

本文以定子三相6根導體、動子單相4根導體構成一個空間周期的靜電電機為例，對靜電電機進行理論研究和性能仿真分析。

靜電電機主要由定子板、動子板和絕緣液構成，其結構示意圖如圖1所示。電極采用電路板工藝蝕刻在極板表面。由于靜電電機的驅動電壓較高，因此需要在兩板之間注入絕緣液來避免高壓造成的擊穿，同時減小運動時兩塊板子之間的摩擦。

圖1 靜電電機結構示意圖

圖2 靜電電機電壓變換示意圖

以此類推，通過在平衡位置處為定子板電壓換相，動子板可以獲得持續向右的力。圖2b為定子板三相電壓的換相時序。從圖中看出，定子板在一個周期內共換相6次，將一個周期劃分成6個時態，每個時態內動子板都經歷一次水平推力從固定值減小到零的過程。

2 電機受力理論分析

首先做如下兩點假設：

（1）由于電極導體厚度（mm級）與電機厚度（mm級）相比非常小，電機導體視為平面導體。

（2）電極導體電荷均勻分布，即面電荷密度為常數。忽略邊緣效應。

為簡化分析，假設電機定子介質、動子介質和絕緣液的介電常數相同，此時電機模型如圖3所示。采用圖示坐標系后，每根導體C的中心點坐標為（x, 0,z），帶電量為Q，電勢為（以無窮遠處為零電勢），施加電壓為U，=1,…,10。

圖3 電機模型

計算靜電場中導體受力一般有兩種方法：①通過計算導體處電場強度得到導體受力；②通過靜電系統能量的虛位移法計算受力。由于電場強度計算涉及到矢量運算比較復雜，本文采用第②種方法。圖3所示靜電系統的靜電能為

當動子在方向有一微小位移D時，各個電極的帶電量和電勢都會產生變化，由此系統靜電能會有相應變化D，則動子的受力為

因此需計算在固定電壓下，動子處于不同位置時導體的帶電量和其電勢。

第C根導體的電勢為

在多層介質存在情況下，導體的電勢不僅與其自身帶電量有關，還與介質界面上的極化電荷有關。因此本文首先計算單一介質情況下的電勢，然后計算三層介質下的電勢。

2.1 單一介質情況下的電勢

由于導體是等勢體，其自電勢可認為是導體上電荷在導體中心點處產生的電勢，單一介質下自電勢如圖4所示，表示為

圖4 單一介質下自電勢

式中，為第根導體在其自身位置產生的電勢，稱為自電勢；為介質的介電常數；為導體寬度；為導體長度；電勢的上標0表明該電勢為原導體產生的電勢，以區別于后面的鏡像導體。

單一介質中的互電勢可認為是導體上電荷在導體中心點處產生的電勢，單一介質互電勢如圖5所示，表示為

2.2 三層介質情況下的電勢

為計算本文兩種材料三層介質下靜電體系的電勢分布，首先計算一般性的三種材料三層介質中點電荷的電勢，各層介質的介電常數分別為1、2和3，介質界面相距，電荷距第Ⅰ層介質距離為，三層介質點電荷系統如圖6所示。采用柱坐標系，點電荷位于原點，用靜電場的電勢傅里葉積分變換求解邊界條件下的Ⅱ區泊松方程和Ⅰ、Ⅲ區拉普拉斯方程，各區的電勢[15]可寫為

式中，()、1()、2()和()為待定系數；J0()為零階貝塞爾函數。

邊界條件為

本文關心的是點電荷所在II區域的電場分布2。由邊界條件和方程組可以求出

其中

利用貝塞爾函數的積分

可得

由此可將式（7）改寫為

由此可知在三層介質情況下，Ⅱ區中的電勢2是原來點電荷產生的電場及向無窮多鏡像電荷產生電場的疊加（全空間為介電常數為2的介質）。各電荷的位置及大小見表1。

表1 電荷位置及大小

Tab.1 The position and amount of charge

式中，的計算方法同互電勢（見式（5））。

式中，k,i為自電勢系數。

同理，互電勢可寫為

式中，k,j為互電勢系數。

由式（4）和式（5）可知，自電勢系數和互電勢系數僅與材料屬性、電機幾何尺寸以及導體相對位置有關，與電學參數無關。不同的動子位置對應不同的電勢系數。

至此，靜電電機各導體的電勢可寫為

其中

由于

因此，將式（14）通過式（15）的運算后能夠得到9個方程。同時

將式（15）和式（16）聯立，最終得到關于Q的10個方程，求解得到，代入式（14）得到，然后由式（1）獲得動子在特定位置處的系統靜電能量。將動子在各個位置處的靜電能量由式（2）進行差分，最終獲得靜電電機動子在各位置處的受力。

2.3 電場強度分布計算

一般而言，電機施加的電壓越高，電機輸出力越大。但可施加的最大電壓受限于電機材料的擊穿場強，因此需校核特定電壓下電機的最大電場強度。

C導體在空間某點處產生的電勢可參考式（13）得出，記為，因此全部導體在該處產生的電勢為

由于電場強度為

其中

因此電場強度大小為

據此可以得出確定的電壓下動子在不同位置處靜電電機全空間的電場強度大小，由此校核電機 參數。

2.4 理論計算結果

電機的計算參數見表2。

表2 電機計算參數

Tab.2 The parameters of motor for caculation

設置a、b和s1的電壓為1kV，c和s2的電壓為0V。由于定子3根導體構成一個空間周期，因此計算過程中動子運動范圍為3根定子導體極距（計算步數為150步），計算在該電壓下動子運動過程中的受力過程和電機中的最大電場強度。電機長度為一個定子空間周期，約2.5mm。電機動子受力曲線如圖8所示。

圖8 電機動子受力曲線

利用同樣方法獲得圖2a所示的6個時態下動子板的推力曲線合并如圖9所示。每個時態下推力曲線的波形都類似，且后一個時態的波形比前一個時態右移半個定子極距。同時，利用該圖可以對定子板矩形波電壓的換相點進行設計，如在推力最大、推力為零或平均推力最大處換相，以實現電機在一個方向上的持續運動。

圖9 靜電電機6個時態推力曲線合并

3 有限元仿真驗證

為了驗證上述理論模型的準確性，利用Maxwell 2D模型對該靜電電機進行有限元仿真，建立靜電電機的有限元模型如圖10所示。

圖10 靜電電機的有限元模型

選擇材料時，將定子板、動子板和絕緣液都選擇為相對介電常數為2的絕緣材料Polyimide Quartz，外層空氣介質選擇Air，電極材料選擇為Copper。邊界條件選為氣球邊界，半徑為1cm。圖11為動子在一個周期內的電機受力仿真曲線。

對比圖8和圖11，兩者的大小和變化趨勢基本一致，從而驗證了所提數學模型的正確性。

4 電機參數分析

由于電機參數很多，因此有必要了解各參數分別對電機最大推力的影響程度，以期指導電機設計。

在前述靜電電機數學模型的基礎上，利用Sobol靈敏度分析法對各參數的靈敏度進行分析。數學模型中有8個主要變量：輸入電壓、相對介電常數、電極長度、電極寬度、板間距、定子板厚度、動子板厚度和電極間距，輸出量設定為動子板一個周期內推力的最大值。此時的樣本數量為8，設置采樣的數量為4。用Sobol Sequence對樣本進行取樣，生成4行16列矩陣。將矩陣的前8列設置為矩陣，后8列設置為矩陣，用矩陣中的第列替換矩陣中的第列，得到矩陣，由此得到10組矩陣。靈敏度分析各參數的取值范圍見表3。

表3 靈敏度分析各參數的取值范圍

Tab.3 The value range of parameters for sensitivity analysis

利用Sobol法靈敏度分析計算公式，得到各個自變量對動子最大推力靈敏度的影響指數，靜電電機各參數對推力的靈敏度如圖12所示。

圖12 靜電電機各參數對推力的靈敏度

從圖12中可以看出，輸入電壓和相對介電常數r對電機推力的影響程度最大，其次為兩板間距SR，電極寬度對推力的影響最小。據此可優化電機本體來增大電機的輸出力。

由電機的理論模型可以獲得電機最大推力和最大電場強度與電機參數之間的關系，如圖13所示。

結合各參數對受力輸出的影響結果，對電機參數進行了優化，優化后電機參數見表4。

表4 優化后電機參數

Tab.4 The optimised motor parameters

圖14 優化后的電機推力曲線

圖15 優化后的電機電場強度

5 結論

本文針對目前基于電容可變原理的直線型靜電電機缺乏理論模型的現狀，以一種雙激勵直線型靜電電機為例，通過求解多層介質情況下的泊松方程和拉普拉斯方程，獲得電機內部電場分布情況。繼而用靜電能量的虛位移法獲得電機推力特性，由此建立起完整的電機數學模型并計算得到電機動子運動一個機械周期的推力曲線和最大電場強度曲線。然后由二維有限元模型驗證了所提數學模型的正確性。最后結合數學模型，利用Sobol靈敏度分析法獲得電機各個參數對電機最大推力的靈敏度，以指導該類電機的設計。

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Theoretical Research and Performance Simulation of Electrostatic Motor

（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures Nanjing University of Aeronautics and Astronautics Nanjing 210016 China）

Electrostatic motor has the merits of no magnets, no coils, simple structure and high efficiency, which has potential application prospects in microelectromechanical systems (MEMS). However, there is no theoretical model for the linear electrostatic motor based on variable capacitance. Taking a double-excited linear electrostatic motor as an example, the distribution of electric field inside the motor was obtained by solving the Poisson equation and Laplace equation in the case of multi-layer media. Then, the thrust characteristics of the motor were obtained through the virtual displacement method, thereby establishing a complete mathematical model of the motor and calculating the thrust curve and the maximum field strength of the electric motor. The thrust curve can be used to guide the design of the motor commutation system. Then, a two-dimensional finite element model of the motor was established, and the simulation results have verified the correctness of the mathematical model. Finally, according to the relationship between each parameter of the motor and the maximum thrust, combined with the Sobol sensitivity analysis, the motor was optimized. The results show that the input voltage, the permittivity and the distance between the stator and the slider have the greatest influence on the motor thrust, while the electrode width has the least influence. Accordingly, the design of such motors can be guided.

Linear electrostatic motor, mathematical model, analysis of multi-medium electric field, sensitivity analysis

TM359.4

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.200598

國家重點基礎研究發展計劃資助項目（2015CB057503）。

2020-06-03

2020-09-30

李華峰 男，1974年生，教授，博士生導師，研究方向為新型電機的運行理論及控制。E-mail: lihuaf@nuaa.edu.cn（通信作者）

王伊凡 女，1994年生，碩士，研究方向為電機本體設計。E-mail: wangyifanwy@163.com

（編輯 陳 誠）