數學建模思想融入高等數學的教學研究

楊人子 王靜

[摘 要]培養創新型人才是高等教育發展的必然要求。將建模思想融入高等數學的教學環節中，從課堂設計、課內互動和課后反饋方面給學生營造一個發現和研究知識的氛圍，培養學生利用各種發散性思維方法去解決問題，將高等數學從“是什么”的知識型的教學轉變為探究“為什么”的能力型的教學，從而激發學生的創新熱情，提高學生的創新能力。

[關鍵詞]數學建模;高等數學;教學方法

[中圖分類號] G420 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）03-0103-04

從高校基礎教學開始培養學生的創新精神和創新能力，是當前教學改革的一個重要研究方向。高校學生的大學階段正是其人生思想最為活躍、最有激情的黃金時期，也是世界觀逐步形成和逐漸走向成熟的重要時期，教師先進的教學理念和對教學內容傳授的深度和廣度，極大影響著學生對未來生活的創新熱情和創新能力。數學建模思想，是將生活中的實際問題客觀構建成相應數學模型的過程。將建模思想融入教學環節中，就是將傳授知識的過程轉化為帶領學生參加研究和發現的過程。在這個過程中，學生的創新潛能得到激發，創新能力得到提高。在這樣環境中成長起來的大學生，才有可能成為拔尖的創新型人才。本文結合自身的教學情況，從數學建模思想的角度，在高等數學的教學中，探究數學概念的淵源和應用，闡述數學思維的深度和廣度，強調培養學生探究“為什么”的能力型的教學，而不僅僅著重“是什么”的知識型的學習，潛移默化地去激發學生的創新熱情和提高學生的創新能力，進而培養創新型大學生。

一、融入數學建模思想的高等數學教學特點

所謂的建模思想，就是將生活中遇到的問題客觀地構建出一個數學模型的過程。其主要就是把一個復雜的問題簡單化、抽象化，確定變量和參數，轉化為某種數學問題，運用數學解題方法尋找答案。建模思想的解題思維可以提高學生的想象力、觀察力和創造力，這是一種將創造能力和解決實際問題融在一起的新思維。如果教學還是按照以前的傳統教育模式開展，缺乏對學生的啟發性，忽視對學生探索精神的鼓勵，使學生只是在課堂上獲得知識而沒有實踐驗證，只是傾向于難題、偏題的做題訓練，這是對學生創造性的扼殺，很難提高教育質量。隨著教學的發展和社會需求，新的教育方式應該跟生活緊密聯系在一起，融入建模思想的教學倡導讓學生主動構建問題模型，而不是單純做難題片面地提高成績。高數教師是大學基礎課程任課教師，若在教學中能對知識面的深度和廣度上多做拓展，努力展現高等數學特有的活力和魅力，激勵學生從基礎學科開始就去創造性地分析問題和解決問題，逐步積累養成正確的學習習慣，這能夠影響他們在其他方面的發展，也就可能培養出具有創新能力的領軍式人才。

（一）把知識當成課題去研究

高等數學的一些概念，如極限、導數和積分等，學生已在高中學習，但學習內容僅限于把它們當成公式來計算使用，并未探討這些知識概念的產生、發展和總結。現在讓學生重新審視已學過的數學概念，將說歷史、講方法、論思想等內容有機滲透到教學環節中，改變其被動接受的學習現狀，引導學生思考：概念的起源、數學形式的轉化過程、現有方法的局限性、關鍵環節等問題。教師將課堂內容當成正在研究的課題，帶領學生審視知識的發現和研究的全過程。學生以全新的方式重新學習學過的數學概念，不僅能領悟數學概念的本質，研究的過程又能讓他們獲得頑強探討問題的勇氣，也不會因為過程的挫折而感到沮喪。教師講解定理證明嚴密的邏輯推理是必需的，但定理的發現、總結和歸納過程，更能引發學生對深入學習知識的積極探索欲望。

（二）強調科學思想方式

學生學習高等數學階段，應牢記公式和結論，但要不斷提醒他們注重數學的精神、思想和方法，絕不能“不知其所以然”。因為各種公式或理論會隨著時間環境的推移，使人逐步地有所遺忘，而科學思想方法卻可以保留下來，它讓人思路開闊，善于聯想。思維規范化將提高學習和工作效率，從而受益終生。在課堂中，對實際現象進行分析，從中找出因素關系，轉化為抽象的符號表示，用各種實例反復歸納與演繹，并進行各種可能性討論，最終得到公理化結論。這種經過抽象符號化、最優化決策和公理化總結等過程獲得的數學知識，會有效地提高學生對問題的洞察力和敏感性，學生不僅學習了高數知識，更是學到了科學的思想方法，這也是信息時代對高等數學教學提出的要求。

（三）理論與實踐多結合

高等數學的基礎概念來源于歷史上各種典型問題，剖析其過程，讓學生更容易明白為什么學這些知識。在這個信息爆炸的時代，各門學科呈現相互交叉的趨勢，數學已成為對各種專業學生都有吸引力的一門學科。重視實際性問題的討論，讓學生看到數學與自然科學、社會科學以及哲學的相互聯系和促進，小到生活中的小事件，大到自然宇宙的大奧秘，數學在其他學科領域呈現的多樣化，帶給學生嶄新的視角——數學就在我們身邊，研究和發現的樂趣會推動學生產生對討論問題的興趣和勇氣，實現實際問題與數學模型、數學模型與解讀自然的交互模式。

（四）培養數學鑒賞力

數學學習講究統一與和諧，具有簡潔、對稱和演變等特性。只有對事物有本質的深刻認識和正確萃取，才能將具有共同特點的不同事物和現象統一抽象為一體，用簡潔的方式闡述內在的客觀規律，并挖掘問題的對稱性和演變性規律。這是數學理論的美妙之處。高等數學的概念和公式很多，經常對數學知識做比較和總結，鑒別好與壞、重要與不重要、基本與非基本，是學生學習過程中很重要的事情，也是培養數學鑒賞力的方法。具有數學鑒別力的學生懂得區分事物主次，能夠抓住事物本質，自然高數也就學得好。

二、高等數學教學中建立數學建模思想的實踐措施

在高等數學教學環節中，數學建模思想的融入對高數教師提出了更高的要求。教師除了對課本內容要有較好把握，還需要對數學文化和數學與各學科之間的交叉互融有所了解，同時需要介紹當代前沿科技，讓學生感受數學在他們未來的學習生活中的重要性。下面從課堂設計、課內互動和課后反饋等四個方面介紹融入數學建模思想的高數教學實踐措施。

（一）教師在課堂中多提“為什么”，引導學生主動投入新知識的研究中

基礎課的學習，教師不僅要告訴學生“是什么，學什么”，更要告訴學生“為什么”。提出問題有時比解決問題更為重要，因為它會讓一個復雜的問題以淺顯的形式呈現出來，讓人思考，從而帶動學生自然地進入學習之中。如在學習高等數學的開篇時，讓學生思考：微積分是怎么來的？為什么會有微積分這個理論？古時人們用微積分來解決什么樣的問題？隨著科技發展，力學和天文學以及更多的工業技術的發展，在造船、航海、建筑、機器制造，運河和堤壩的修建上，很多實際問題得不到解決，如變速運動的瞬時速度，曲線的切線，或者不規則圖形的面積、弧長、體積是多少，在某一種條件下求最大最小值等等問題。這些問題單憑想象是解決不出來的，所以人們不斷探討就產生了微積分。再如均勻幾何圖形的質心，從一維空間線段的中點，到二維空間三角形三條中線的交點，再到三維空間四面體六個中面的交點，那么四維空間的單體是什么樣子，質心如何求，進一步n維空間情況如何？人們借助類比，將直觀的三維空間升級為四維空間、n維空間，也就產生了解析幾何。解析幾何使我們把幾何性質變成代數性質，通過類比把代數性質移植到了高維空間。在高等數學的學習中，每一種理念有不同的歷史背景，通過觀察、操作、實驗、歸納、猜想等手段，教師提出恰當的問題，如同畫龍點睛，讓學生領悟知識的本質，也讓學生理解很多數學概念是從實際生活中抽象出來的，取于生活也用之于生活。在高數教學環節中，課時緊張的原因會讓很多這種疑難雜題直接跳過不講解，這就需要教師將數學建模思想融入平日的教學中，提出關鍵問題，引導學生把在課堂上學習的定理作為特定的模型，把定理條件作為模型的假設，舉一反三解決問題。建立建模思想的教學模式，不僅讓學生學到了知識，還推動了學習的積極性。如下是課堂教學中使用的一些圖片和小視頻，直觀地呈現數學與生活的關系。

（二）在習題課、作業練習中，題目的趣味性有利于數學建模思想的培養

“學好高數就是刷題！”這似乎已成了大一新生對高等數學的普遍認識。學生疲于各種習題集的刷題，一些人在此過程中失去了對高數學習的興趣。的確，高等數學中的極限計算、導數計算、積分計算等需要不斷練習才能得以鞏固，但是若讓學生明白掌握了這些知識的思想方法，反反復復地做題并不無必要。因此課堂的例題和課后的練習題，除去必要的練習鞏固目的，題目的趣味性是吸引學生不斷學習的動力，一個又一個生動實際的例子，會讓學生感受到數學的美妙，享受思維的樂趣和能力提高的愉悅，學習的興趣也就保持高漲了。比如在導數的章節，警匪的追擊問題轉化為切線和弧長的討論、丁字路口木棍的通過轉化為求棍長的最小值、龜兔賽跑轉化為相關變化率的求解、火箭發射脫離地球引力的速度轉化為反常積分的計算，等等。一些競賽的題目也可以拿來討論，如機場出租車載客的最優策略、同心鼓項目使得連續顛球次數最多的數學模型、柴油機工作過程中壓力和噴油量的函數關系、高溫作業專業服裝關鍵部位的最優厚度、物料加工作業流程的優化調度模型和求解算法，等等。這些實際問題都需要用數學建模的思想來解決，學生利用已掌握的數學理論知識，將其轉化為數學模型進而解決，這也就做到把知識型問題轉化為能力型問題，強化了學生的數學實踐應用意識。如下為方向導數和積分的應用題目，無論學生能否求解出來，題目的趣味性都會吸引他去做探究。

（三）教學內容的大框架，會給學生提供廣闊的思維發展空間

教學內容的大框架，是指教師對教學內容要有高屋建瓴的掌控能力。高等數學的包容性很強，是所有理工科專業課的基礎，教學內容廣度和深度的提高，會讓教學更多些理性、多些必然和多些趣味，學生自然也就多些理解。如在討論級數時，從函數空間線性分解的角度引入冪級數和傅里葉級數，可以引導學生進一步思考某區間上正交的多項式基;在三重積分中，球面坐標系的定限問題在高等數學的課本中通常未做闡述，只是舉例說明，若引入坐標網格和坐標切片，不僅使球面坐標系，也使更多的n重積分一目了然;拉格朗日中值定理中輔助函數的構造，引入利用集合、泛函和極值的思想方法解決，而這也是平面區域共形分類的黎曼定理的思想方法。數學與其他學科的交叉，使新專業和新發展趨勢不斷產生，信息技術、醫學圖像、特征識別、人工智能、數據應用等新工科領域中的應用，展現了數學的特有魅力。教師平日有意識收集前沿科學發展的信息，并能結合相應的數學知識在課堂教學中有所體現，這種對教學內容的寬廣視野將帶給學生更廣闊的思維發展空間，讓教學從句號式的教學轉化為省略號式的教學。如下的截圖為課后利用網絡與學生交流的題目，有目的地提出問題，讓學生自主尋找答案。

（四）借助計算機和網絡教育資源，提高學習效率

計算機的應用給各種專業技術帶來了高速的發展，其強大的計算能力能夠準確地解決那些反復機械的計算問題。高等數學的學習顯然離不開計算，但必須清楚計算機的作用是輔佐教學和學習，通過計算機的計算讓學生更有效、更有說服力地思維，數學實驗這門課程就發揮了這樣的作用。實驗課上，學習Mathematica軟件，通過一些具體的實例的示范讓學生品味各種數學概念的奧秘，直觀地表示會讓他們思維豁然開朗。如用數形結合的方法觀察數列極限，隨著n的無限增大，數列無限趨近于某個常數;泰勒多項式對于函數近似程度隨著階數的提高而提高，但是對于任意確定次數的多項式，它只在展開點附近的一個局部范圍內才有較好的近似精確度;參數方程確定的函數和極坐標函數通過作圖對其有真實全面的了解。再如一些積不出來的不定積分，可以利用軟件編程確定;收斂性是極限與級數學習的基本問題，同樣可以利用軟件計算結果幫助我們預判。網絡讓教師和學生的交流更為便捷，平臺上的各種知識資源可以及時地傳送給學生和反饋給教師，一些考核方式也完全可以在網絡平臺上得到實現。如下的截圖為利用Mathematica軟件所做的一些數學概念的討論圖。

三、總結

古人云：“授之以魚，不如授之以漁。”時代在發展，培養人才的模式在改變，高等教育方式也在不斷創新改革。在高等數學的教學過程中，教師不要把知識當成教條，把知識的應用當成機械的模仿行為，而要轉變教育觀念，融入數學建模思想，探究數學概念的淵源和應用，闡述數學思維的深度和廣度，潛移默化地去激發學生的創新熱情和提高學生的創新能力，這樣才能實現創新型人才的培養。

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[責任編輯：林志恒]