化歸與轉化思想在高考數學解題中的運用

羅文軍

化歸與轉換的思想，就是在研究和解決數學問題時采用某種方式，借助某種函數性質、圖像、公式或已知條件將問題通過變換加以轉化，進而達到解決問題的思想等價轉化總是將抽象轉化為具體，復雜轉化為簡單、未知轉化為已知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法.

1.化歸與轉化的思想方法：解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題（相對來說，對自己較熟悉的問題），通過新問題的求解，達到解決原問題的目的.

2.化歸與轉化應遵循的基本原則：

（1）熟悉化原則;（2）簡單化原則;（3）和諧化原則;（4）直觀化原則;（5）正難則反原則

3.化歸與轉化的途徑：

（1）從問題的反面思考;（2）局部向整體的轉化;（3）未知向已知轉化;（4）固定向重組的轉化;（5）抽象向具體轉化;（6）個別向一般的轉化;（7）數向形的轉化;（8）定量向定性的轉化;（9）主元向輔元的轉化.

以下結合一些經典試題，談談化歸與轉化思想在高三解題中的運用.

題型一：化歸與轉化思想簡單化原則的體現

化歸與轉化思想簡單化原則在解題中的體現主要有：（1）將比較代數式的大小的問題，運用同構法，通過構造函數，化歸為利用函數的單調性根據自變量的大小比較函數值的大小或者根據函數值的大小比較自變量的大小;（2）將概率與統計問題化歸為集合間的基本關系與基本運算問題.

例1. 若2a+log2a=4b+2log4b，則（ ）

A. a>2bB. a<2bC. a>b2???? D. a

【解析】由指數冪的運算性質和對數的運算性質可得，2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，

又因為22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b，

所以2a+log2a<22b+log22b.

令f（x）=2x+log2x，由指數函數和對數函數性質以及函數單調性的性質可得f（x）在（0， +∞）上單調遞增，由f（a）

【評析】本題考查了指數冪和對數的運算，函數的單調性的性質，構造函數后，把問題化歸與轉化為根據函數單調性，由函數值的大小比較自變量的大小，體現了化歸與轉化思想的簡單化原則.

例2. 設命題p ∶ 4x-3≤1，命題 q∶ x2-（2a+1）x+a（a+1）≤ 0. 若？劭 p是？劭 q的必要不充分條件，則實數a 的取值范圍是__________.

【解析】由4x-3≤1，得■≤x≤1，記A={x│■≤x≤1};

由 x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，可得 a≤x≤a+1，記 B={x│a≤x≤a+1}.

因為？劭 p是？劭 q的必要不充分條件，所以q是p的必要不充分條件，所以p是q的充分不必要條件，所以A？芴B，所以a≤■，a+1≥1，解得0≤a≤■，所以實數a的取值范圍是[0，■].

【評注】本題的解答中，先把兩個命題中的不等式的解集分別用集合A和集合B表示，再由？劭 p是？劭 q是的必要不充分條件轉化為p是q的充分不必要條件，再轉化為集合A為集合B的真子集，解得a的范圍.

題型二：化歸與轉化思想直觀化原則的體現

化歸與轉化思想直觀化原則在解題中的體現主要有：（1）畫出函數圖像后，利用函數圖像研究函數的性質，進而直觀的解決與函數有關的問題;（2）立體幾何問題中，將立體問題平面化，畫出軸截面或者中截面，利用平面幾何問題破解題目.

例3. 設a， b∈R，則|“a>b”是“aa>bb”的（ ）

A. 充要不必要條件??????? B. 必要不充分條件

C. 充要條件???????????????? D. 既不充要也不必要條件

【解析】構造函數f（x）=xx=x2，x≥0-x2，x<0 函數圖像如圖1，

由圖像可知f（x）=xx在R上單調遞增.

當a>b時，f（a）>f（b），即aa>bb，a>b？圯aa>bb.

當f（a）>f（b），即aa>bb時， a>b，aa>bb？圯a>b，

所以a>b？圳aa>bb，“a>b”是“aa>bb”的充要條件，故選C.

【評注】本題是一道比較復雜的充分必要條件問題，通過觀察題目，通過類比和聯想，運用化歸與轉化思想，構造函數f（x）=xx后，畫出這個函數的圖像，運用圖像法判斷這個函數在其定義域R上為單調遞增函數，把a和b看成這個函數的兩個自變量，aa和bb分別看成這個函數的函數值f（a）和f（b），由增函數的性質可以得出，a>b？圳aa>bb，所以a>b是aa>bb的充分必要條件，體現了化歸與轉化思想的簡單化和直觀化原則.

例4. 已知某個機械零件是由兩個有公共底面的圓錐組成的，且這兩個圓錐有公共點的母線互相垂直，把這個機械零件打磨成球形，該球的半徑最大為1，設這兩個圓錐的高分別為h1，h2，則h1+h2的最小值為________.

【答案】2■.

【解析】由題意可知，打磨后所得半徑最大的球是由這兩個圓錐構成的組合體的內切球，內切球的半徑R=1，如圖為這個組合體的軸截面示意圖，圓O為內切球的軸截面， E， F， G， H分別為切點，連接OA， OB， OC， OD， OE， OF， OG， OH，由題意可知AB⊥BC， AD⊥DC，AC=h1+h2，R=OE=OF=OG=OH=1，則S四邊形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC=■R×AB+■R×BC+■R×CD+■R×AD =■R（2AB+2BC）=R（AB+BC），所以AB×BC=AB+BC.

由基本不等式可得AB×BC=AB+BC≥2■，則AB×BC≥4，當且僅當AB=BC時等號成立.

所以（h1+h2）2=AC2=AB2+BC2≥2AB×BC≥8，當且僅當AB=BC時等號成立，故h1+h2 的最小值為2■.

【評注】本題的解答運用了化歸與轉化的思想，通過研究組合體和其內切球的軸截面，把空間立體幾何問題化歸為平面幾何問題，做到了把問題直觀化的原則.

題型三：化歸與轉化思想熟悉化原則的體現

化歸與轉化思想熟悉化原則在解題中的體現主要有：（1）不等式題目中，把含一個參數的不等式恒成立問題，通過分離變量，化歸為求函數在給定區間上的最值問題;（2）立體幾何題目中，利用長方體或者正方體模型，把一些三棱錐、四棱錐和三棱柱的外接球問題化歸為熟悉的長方體或者正方體的外接球問題.

例5. 若對任意的x∈（0， +∞），ax-ln（2x）≥1恒成立，則實數a的最小值是_______

【解析】由已知可得，對任意的x∈（0，+∞），a≥■恒成立，

令g（x）=■，g′（x）=■=■，

令g′（x）=0，則1-ln（2x）=0，則x=■，

當00，g（x）單調遞增;當x>■時，g′（x）<0，g（x）單調遞減，

所以當x=■時， g（x）取得最大值 g（x）max =g（■）=■=■，

所以a≥■，所以a的最小值為■.

【評注】本題的解答運用了分離變量法，分離變量后，構造函數后，把a≥g（x）在（0， +∞）上恒成立等價轉化為a≥

[g（x）]max（x∈（0，+∞）），轉化為求函數g（x）在（0， +∞）上的最大值問題，g（x）的最大值即為a的最小值，本題體現了化歸與轉化思想的熟悉化原則.

例6. 設數列 {an} 的前n項為Sn，a1=1，當n≥2時，an=2anSn-2S2n.

（1）求數列 {an} 的通項公式;

（2）是否存在正數k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k■對一切正整數n都成立？若存在，求k的取值范圍，若不存在，請說明理由.

解：（1）因為當n≥2時，an=2anSn-2S2n，

所以an=■，n≥2，所以（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2S2n，

所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以■-■=2，n≥2，

所以數列{■}是以■=1為首項，以2為公差的等差數列，

所以■=1+2（n-1）=2n-1，所以Sn=■，

所以，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=■-■=-■，

因為a1=S1=1，所以an=1， n=1-■. n≥2

（2）設f（n）=■，

則■=■=■>1，

所以f（n）在 n∈N？鄢上遞增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，

因為f（n）min =f（1）=■，所以0

【評注】第（1）問運用了數列的前n項和Sn與通項an之間的關系an=Sn-Sn-1（n≥2），把an 轉化為Sn-Sn-1，再合并同類項后運用取倒數法，再根據等差數列的定義得出數列{■}的通項公式，再得出數列{an}的通項公式;第（2）問分離變量后構造函數f（n），用作商法判斷f（n）的單調性，把不等式f（n）≥k在n∈N？鄢上恒成立等價轉化為f（n）min≥k（n∈N？鄢），兩問都運用到了化歸與轉化思想.

題型四：化歸與轉化思想和諧化原則的體現

化歸與轉化思想和諧化原則在解題中的體現主要有：（1）解三角形問題中利用正弦定理實現邊角的互化;（2）在三角函數問題中，將形如y=asinx+bcosx的函數問題利用輔助角公式化歸為形如y=Asin（？棕x+？漬）的函數問題;（3）解析幾何中，將兩直線垂直化歸為斜率乘積為-1或者方向向量的數量積為0;（4）將形如？滋=■形式的最值問題，轉化為動直線斜率的最值問題.

例7. △ABC的內角A， B， C的對邊分別為a， b， c，已知b-c=a·cosC-c·cosA.

（1）求角A;

（2）若a=3，求b+2c的最大值.

【解析】（1）因為b-c=a·cosC-c·cosA，

由正弦定理可得，sinB-sinC=sinAcosC-sinCcosA，

所以sinB-sinC=sin（A-C）

所以sin（A+C）-sinC=sin（A-C），

所以sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC，

所以cosA=■，因為0

（2）由（1）可得，C=■-B，

由正弦定理得，■=■=■=2R，

所以■=■=■，

所以b=2■sinB，c=2■sin（■-B），

所以b+2c=2■sinB+4■sin（■-B）=2■（2sinB+■cosB）=2■sin（B+？漬），

其中tan？漬=■，？漬∈（0，■），

由B∈（0，■），存在B使得B+？漬=■，所以sin（B+？漬）的最大值為1，

所以b+2c的最大值為2■.

【評注】第（1）問運用正弦定理實現邊轉化為角，再逆用兩角差的正弦公式，運用內角和定理以及誘導公式，再運用兩角和的正弦公式和兩角差的正弦公式，得出cosA的值，得出角A的值;第（2）問運用了正弦定理將關于邊的最值問題化為角的最值問題，運用三角形內角和定理以及誘導公式，再運用輔助角公式，化為三角函數在給定范圍上的最值問題;兩問都運用了化歸與轉化思想，體現了和諧化原則.

例8. 已知函數f（x）=■，則f（■）+f（■）+f（■）+…+ f（■）的值為_____.

【解析】由于直接計算有困難，先探求一般的規律，

因為f（x）=■，所以f（1-x）=■=■=■，

所以f（x）+f（1-x）=1，

倒敘相加可得f（■）+f（■）+f（■）+…+ f（■）=1009.

【評注】本題的解答中體現了特殊問題轉化為一般化，運用了化歸與轉化思想，先通過探究在宏觀上把握問題的一般規律，再將特殊問題破解.

題型五：化歸與轉化思想的正難則反原則在解題中的體現

化歸與轉化思想的正難則反原則在高中數學解題中的體現主要有：（1）間接證明方法中的反證法在解題中的運用;（2）概率問題中對立事件和互斥事件的概率公式的運用.

例9. 等差數列{an}的前n項和為Sn，a1=1+■，S3=9+3■.

（1）求數列{an}的通項an與前n項和Sn;

（2）設bn=■（n∈N？鄢），求證：數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列.

【解析】（1）設公差為d，由已知得a1=■+1，3a1+3d=9+3■，

所以d=2，故an=2n-1+■，Sn=n（n+■）.

（2）證明：由（1）得bn=■=n+■.

假設數列{bn}中存在三項bp、 bq、 br（p、q、r互不相等）成等比數列，則b2q=bpbr，即（q+■）2=（p+■）（r+■），

所以（q2-pr）+（2q-p-r）■=0.

因為p，q，r∈N ，所以q2-pr=0，2q-p-r=0，所以（■）2=pr，（p-r）2=0，

所以p=r，這與p≠r矛盾.

所以數列 {bn} 中任意不同的三項都不可能成為等比數列.

【評注】本題的解答的第（2）問中運用了反證法，先反設假定要證的結論不成立，而設出結論的反面成立，將這個反設作為條件，運用等比數列的定義和通項公式，通過推理，得出p=r與已知條件相矛盾，所以反設錯誤，所以要證明的結論成立，反證法歸屬于間接證明方法，第（2）問運用了化歸與轉化的思想.

例10. 擲一個骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數點出現”，事件B表示“小于5的點數出現”，則一次試驗中，事件A+B發生的概率為____.

【答案】■.

【解析】擲一個骰子的試驗有6種可能結果，依題意P（A）=■=■，P（B）=■=■，所以P（B）=1-P（B）=1-■=■，顯然A與B互斥，從而P（A+B）=P（A）+P（B）=■+■=■.

【評注】先由古典概型概率公式求出事件A和事件B的概率，再由對立事件概率公式求出事件B的對立事件B的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B的概率化歸為求P（A）和P（B）的和，運用了化歸與轉化思想.

責任編輯 徐國堅