高考數學試卷中的對稱之美賞析

謝廣喜

科學之美，美在對稱，對稱性是圖像（或表達式）作一定的變換后而保持不變的一種性質（這個變換就稱為對稱變換）. 有時也討論兩個圖像是否關于某個對稱軸對稱. 由于對稱的情況下問題具有一些不對稱時所不具有的獨特性質，如果我們解題時能發現并充分利用這些獨特的特點，就可方便解題.因此具有對稱性的問題（如選擇題或填空題等）就容易被猜出答案，解答題也容易由問題的對稱性出發產生一些特殊的研究問題的辦法（如對稱引參、附加強化條件等），故具有對稱性的問題相對比較容易，而不具有對稱性的問題則相對困難.

研究近年來出現的一些試題，我們發現：高考命題（包括競賽試題）有從對稱性的問題向非對稱性的問題轉變的趨勢，值得注意.下面我們主要研究在對稱性思想指導下如何探求解題思路.

一、置換對稱（交換對稱）

對于任意有意義的x， y，如果表達式f（x， y）總有f（x， y）= f（y， x），即交換x， y，表達式不變，我們稱字母x， y對于表達式f（x， y）具有置換（交換）對稱性.

例1. 已知集合A={（x， y） | x2+y2≤3， x∈Z， y∈Z}，則A中元素的個數為（）

A. 9???????? B. 8???????? C. 5???????? D. 4

【簡解】首先我們注意到坐標原點（0， 0）∈A ，除此以外，在第一象限及x軸正半軸僅有兩個點（1， 0）、（1， 1）∈A，把這兩個點關于x軸對稱，x軸對稱，直線y=±x對稱，坐標原點中心對稱，顯然點（-1， 0）、（0， 1）、（0， -1）、（-1， -1）、（-1， 1）、（1， -1）也都∈A，于是，A中的元素個數是2×4+1=9個，選A.

【評注】這是一道非常簡單的題目，很多考生采有枚舉法求解，但往往會由于遺漏而失分，以上處理手法，非常簡潔雅致，結果一目了然.

【類題聯想】

1.（從對稱到不對稱）設x， y∈R，且xy≠0，則（x2+■）（■+4y2）的最小值為________.

【簡解】本題求解方法是宜先作恒等變換，最后再用基本不等式即可（避免多次放縮產生不等式取等號之間的矛盾要求），即（x2+■）（■+4y2）=5+4x2y2+■≥5+4=9，即所求最小值為9，（易知當x2y2=■時取等號）.

【評注】如果讀者有印象，就會發現這道題的命制就回避了2005高考重慶卷第5題的內在弊端，將該題關于x， y對稱的形式變成了不對稱的形式，因此難度增加了. 當然，如果知道柯西不等式，也可直接利用二維的柯西不等式求解之，此處從略.

例2. 已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F做兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則 |AB|+|DE| 的最小值為（）

A. 16???????? B. 14???????? C. 12???????? D. 10

【解析】拋物線y2 =4x的焦點為F（1， 0），由題意知l1， l2的斜率均存在，不妨設l1的斜率為k，則l1：y=k（x-1），將其與y2=4x聯立消去y得k2x2-（2k2+4）x+k2 =0，設該方程的兩個根分別為x1，x2，則x1+x2=2+■，由拋物線定義，易知：

|AB|=x1 +x2 +2=4+■，將 |AB| 表達式中的k用-■替換，立得 |CD|=4+k2，于是：

|AB| + |DE|=8+4（k2+■）≥8=8=16，當k=±1時不等式取等號，正確答案為A.

【評注】以上解題過程中我們巧妙利用過F做兩條互相垂直的直線l1， l2的斜率的內在聯系，書寫過程縮減了一半，這就是一種關系對稱的表現.

例3.? 已知橢圓C：■+■=1（a> b>0），四點P1（1，? 1），P2（0， 1），P3（-1， ■），P4（1， ■）中恰有三個點在橢圓上.（1）求C的方程，（2）略.

【簡解】（1）我們充分注意到橢圓方程C：■+■=1（a> b>0）所表示的曲線不但關于x軸對稱，而且關于y軸對稱，還關于原點 O（0，? 0）中心對稱，所以，一般地，若點（x0 ， y0）在橢圓上，則（±x0 ， ±y0）均在橢圓上（其中正負號任意組合，通常為四個點，若其中一個坐標分量為0，則僅為兩個點），所以P3（-1， ■），P4（1， ■）兩點必然同在或同時不在橢圓上，而已知四點中恰有三點在橢圓上，所以P3（-1， ■），P4（1， ■）兩點必然同在橢圓上;另一方面，若P1（1， 1）在橢圓上，由對稱性知P5（-1， 1）也在橢圓上，但已有P3（-1， ■）在橢圓上，而P3，P5橫坐標分量相等，必有縱坐標分量絕對值相等，即 |■| = | 1 |，而這是不可能的，即P1（1， 1）不在橢圓上，于是由題意知P2（0， 1）在橢圓上，結合P2（0， 1）的幾何意義知b=1，將b=1及P4（1， ■）坐標代入橢圓方程得■+（■）2 =1，得a=2，于是■+y2=1為所求.

例4. 設點P在曲線y=■ex上，點Q在曲線y=ln（2x）上，則 |PQ| 最小值為（）

A. 1-ln2???????? B. ■（1-ln2）

C. 1+ln2???????? D. ■（1+ln2）

【解析】發現函數y=■ex與函數y=ln（2x）互為反函數，所以二者的圖像關于y=x對稱，這是求解本題的關鍵，這樣一來，這兩個函數間的最小距離就是其中一個函數（如y = ■ex）上的任意一點P（x， ■ex）到直線y=x的距離的2倍，（注意：此舉將原來的曲線到曲線的距離轉化為直線到曲線的距離，而后者的情況相對簡單），由于點P（x， ■ex）到直線y=x的距離為d=■，下面構造函數求利用導函數法求最小值. 設函數g（x）=■ex-x ？圯g′（x）=■ex-1？圯g（x）min=1-ln2？圯dmin=■.于是：

|PQ|min=2dmin=■（1-ln2），正確答案為B.

【類題聯想】

1. 已知函數f（x）（x∈R）滿足f（x）=f（2-x），若函數y=|x2-2x-3| 與y=f（x）圖像的交點為（x1 ， y1），（x2 ， y2），···，（xm ， ym），則■xi =（）

A. 0???????? B. m???????? C. 2m???????? D. 4m

【解析】注意到f（x）=f（2-x），則y=f（x）圖像關于直線x=1對稱，同時y=|（x-1）2-4| 也關于直線x=1對稱，所以這兩個函數的交點也關于直線x=1對稱，不妨設x1

二、齊次對稱

不妨以三個變量情形為例，若對于任意非零實數？姿，有f（x， y， z）≡f（？姿x， ？姿y， ？姿z），則稱表達式f（x， y， z），是齊次對稱的，比如我們很熟悉的■，■等等，都是具有齊次對稱性的表達式，對于齊次表達式，將其中所涉及的所有變量（為簡單起見，也僅以三個字母為例）x， y， z，定義一個空間直角坐標（x， y， z），稱■為該點到坐標原點距離（或模），則我們有重要結論：只要x2+y2+z2≠0，則■取為大于零的任意實數，不影響齊次表達式的最后結果，這也正是很多齊次不等式證明時常有的類似措詞“由題意，可不妨取■=1”等等的由來.

例5. 已知a， b， c為正數，且滿足abc=1，證明：

（1）■+■+■≤a2+b2+c2;（2）（a+b）3 +（b+c）3 +（c+a）3 ≥24.

【證明】（1）用分析法，不等式左邊是-1次方，右邊是2次方，利用已知條件abc=1，原命題等價為齊次化后的不等式bc+ca+ab≤a2+b2+c2，而現在這個不等式是很容易證明的，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加即得;

（2）也用分析法，類似地，同樣按照齊次化思想，由abc=1，待證問題等價于證明（a+b）3 +（b+c）3 +（c+a）3 ≥24abc.（*）. 而這一不等式也是容易證明的，

由a， b， c為正數，則有（a+b）≥2■，進而（a+b）3 ≥

8■，同理有：

（b+c）3 ≥8■，（c+a）3 ≥8■，于是：

（a+b）3 +（b+c）3 +（c+a）3 ≥8（■+■+■）≥8×3·■=24abc，于是（*）式成立，從而要證不等式成立.

【評注】第一步如何變換？如何想到這樣變？這是不少考生覺得頭疼的問題，以上我們按照齊次化的思想，初步回答了這兩個問題，為讀者解題思路的展開指明了方向.

此處讀者如果熟悉重要的關系式bc+ca+ab≤a2+b2+c2，及恒等式（a+b+c）2 =a2+b2+c2+2bc+2ca+2ab，我們還可得到重要的不等式鏈：？坌a， b， c∈R，有3（bc+ca+ab）≤（a+b+c）2 ≤3（a2+b2+c2），感興趣的讀者可自己證明體驗一下.

同時，2013年高考全國卷Ⅱ理第24題也可用上面的辦法求解.

例6. 已知a， b>0，試求f（a， b）=■+■的最大值.

【簡解】我們注意到：①該表達式關于是齊次對稱的，令t=b/a>0就能實現齊次減元;②該表達式關于a， b是交換對稱的，則t=1就可能取得最值（易知此時f（a， a） =■），于是試將問題等價轉化為：已知t=b/a>0，證明g（t） = f（a， b）=■+■的最大值為■，我們下面用分析法探究之：已知t>0，要證明■+■≤■.

等價于（■-■） +（■-■）≤0;

等價于 -（■+■）≤0;

等價于 -（t-1）（■+■）≤0;

等價于 -（t-1）（4t3-5t2+5t-4）≤0;等價于 -（t-1）（4t2-t+1）≤0，而 -（t-1）2≤0，二次三項式（4t2-t+1）的二次項大于0，其判別式小于0，知（4t2-t+1）> 0，于是 -（t-1）2（4t2-t+1）≤ 0 成立（當時t=1時取等號），所以二元函數f（a， b）的最大值為■.

【評注】將■平均分開來使用也是基于對稱性的考慮，如此一來，很容易產生第一個因式（t-1），從而降低了問題的難度（若不，去分母后的結果是一般的一元四次多項式，困難可想而知）.

責任編輯 徐國堅