基于分形維數的正則化圖像復原方法

王亞云

摘要：正則化方法是指在空間域上以符合圖像特征的先驗信息作為約束條件，尋找與模糊圖像最近似的清晰圖像以作為解的一種圖像復原算法。本文研究正則項的泛函形式，基于單一全局泛函的不足，將圖像空間看作微分流形，以圖像分形維數為特征進行分類，進而對不同區域采取不同的泛函約束，得到正則化模型。仿真實驗表明，該方法比單一范數形式復原效果更佳。

關鍵詞：圖像復原;正則化;微分流形;分形維數

中圖分類號： TP391? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）02-0166-03

Abstract： The regularization method in image restoration area is a means for obtaining the restored image that approximate to the damaged image by setting the regulation term with a novel prior assumption within the image space. Due to the defect of the traditional single assumption， we can take the image space as a manifold. The feature can be identified by fractal dimension so that the images can be classified. Then the model can decide the form of the regularization term by using the different prior assumptions. It is verified that the new model achieves the desired results.

Key words： image restoration; regularization; manifold; fractal dimension

圖像在形成、傳輸和存儲等過程中因退化因素如模糊、噪聲等形成降質圖像。圖像復原即為根據降質圖像尋找清晰圖像的過程。實際應用中，圖像復原是指依據圖像退化的先驗知識及降質圖像信息，建立圖像退化模型進而求解[1]。近幾十年中，圖像復原方法大致分為基于濾波的算法、基于統計模型的算法及正則化算法。由于對模糊、噪聲成因缺少先驗知識，圖像復原問題往往復雜且具有不適定性，即不滿足解的存在性、唯一性及穩定性。自Tikihonov提出正則化方法以來，不適定性問題獲得了有效的修正方法。正則化方法是指在空間域上以符合圖像特征的先驗信息作為約束條件，尋找與模糊圖像最近似的清晰圖像以作為解。圖像的先驗信息在模型中以正則項的形式出現。因此，正則化項的選取對于復原效果具有重要意義。

正則化項若取為L2范數，則能較好平滑圖像中的噪聲，但易丟失圖像的邊緣細節，而L1范數能保留邊緣細節，但在平滑區域易造成“分片常數”的現象。因此，考慮在不同特征的圖像區域借助圖像在流形上的特點構造不同的正則化項，建立圖像復原模型。

1 圖像復原及正則化方法

圖像的模糊在數學描述上體現為卷積，噪聲則具備統計特征，一般服從正態分布。通常情況下，圖像的退化過程最簡單的模型如下：

對上述模型進行最小二乘估計，求解得出：

分析可知，該問題的解存在不適定性。通過在目標函數中添加正則項，引入關于真實解的先驗信息約束，可穩定該問題的解，這種方法即為正則化方法。由此，得到修正后的正則化模型：

其中，第一項為保真項，表示原始圖像模糊后與觀測圖像距離，主要用于抑制噪聲;第二項為正則項，a為正則化參數，用以平衡保真項和正則項，進而影響圖像復原效果。正則化項的確定是正則化方法的關鍵。如Tikhonov正則化[2]選取原圖像的二次函數作為正則化項，以限制解為平滑解，抑制噪聲。其模型為：

該模型對于實際問題中存在大量邊緣紋理細節的圖像復原時因平滑解而使得復原圖像丟失大量細節。

以Tikhonov正則化為代表的二次型正則化模型通過構造二次正則項獲取平滑解，因此非二次型正則化項可以解除平滑性約束、保留圖像邊緣紋理細節。其中，最具代表性的是全變差（TV）模型[3]：

總體上說，對于正則化項的優化主要體現在兩方面：（1）正則化項中高通濾波器（如梯度算子等）的選擇，以區分圖像的邊緣和高頻振蕩成分;（2）正則化項中能量泛函的范數形式的確定。

2 流形正則化算法

2.1 流形正則化模型

正則化方法一般對圖像整體采用統一能量泛函形式。基于對泛函形式的分析，對于一副包含大量邊緣輪廓信息的圖像來說，Tikhonov正則化模型求解的效果顯然不如TV模型，反之，對于“分片常數”的圖像，后者復原效果不如前者。考慮一個圖像不同部分可能具備不同特征，進而使用不同的泛函形式，以平衡平滑圖像噪聲和保持圖像紋理特征這一對矛盾。

受文獻[4][5]啟發，將圖像空間看成“流形”，對局部圖像塊進行特征的確定進而決定其在流形中的位置，根據位置的不同采用不同的能量泛函形式，即為“流形”正則化方法。為方便討論，將圖像分為兩類，分片常數類和邊緣紋理特征明顯類，進而正則化項泛函形式二分為L1形式及L2形式。為區分這兩類圖像，考慮圖像塊的分形維數作為特征。由此得到流形正則化模型：

2.2 分形維數

分形理論是現代數學與非線性科學研究中新興分支。分形維數是分形特征的定量描述。自然界大多數表面在空間上都是分形的，其映射成的灰度圖像是具有相同分形特征的表面，且分形維數越大，圖像表面越粗糙，維數越小越光滑[6]。因此考慮用分形維數描述圖像紋理粗糙程度。規則分型常以Hausdorff維數作為分形維數，不規則分型維數計算方法種類較多，本文選取差分盒子維方法計算[5]。

一副圖像的分形維數值介于2.0-3.0之間，圖像平滑區分形維數接近2，紋理區接近3。選取測試圖像如圖1所示。

分別選取平滑區域1、紋理區域2，根據差分盒子維方法，計算得出區域1分形維數為2.000，區域2分形維數為2.585。對于區域1使用L2范數有利于去噪，區域2使用L1范數保留紋理特征，即根據第i塊區域的分形維數Di確定[λi]取值。為此，定義：

實驗中，為實現全體像素的分類，須估算每一個像素點的分形維數。為此，將256*256大小的圖像分為16*16小塊，每一塊像素為16*16，計算出每一子塊的分形維數，利用線性插值，估算各像素點分形維數。圖2顯示了利用分形維數對圖像house、lake中不同特征圖像子塊的分類結果。可見，分形維數對于平滑區域和紋理區域的分類較為清晰。

2.3 變分梯度流模型

確定參數[λi]后，利用變分法得到流形正則化模型的梯度流方程：

根據假設，各圖像塊互不相交，故每個圖像塊上擴散方程為：

由變分法，得上式對應的偏微分方程形式為：

2.4 模型求解

利用上式近似求解時，將[λi]取值相同的子圖像塊合并為大圖像塊，接著在大圖像塊上進行擴散。因此，[λi]與圖像塊[fi]交叉變化，設計算法如下：

（1） 初始化：實驗中，對大小為256*256的圖像分割為16*16的小塊，計算出各圖像塊的[λi]值，將取值為0、1的子塊分別合并成大圖像塊;

（2） 在大圖像塊上，利用（5）式進行迭代，得到擴散結果[fi];

（3） 根據（2）中更新的[fi]重新計算每個子塊的[λi]值，重復步驟（1）;

（4） 交叉進行（2）（3），直到迭代穩定為止。

3 實驗結果及分析

考慮高斯模糊，點擴散函數為：[k（x，y）=e-x2+y22σ2]，將點擴散函數離散為[[-3σ，3σ]2]矩陣并進行歸一化處理。在matlab2018a環境下，首先將原始圖像灰度值歸一化處理，計算高斯函數與原始圖像的卷積，接著給模糊圖像附加方差為0.01的高斯白噪聲。

針對下列兩個測試圖像圖像，分別使用L1泛函、L2泛函及流形化模型泛函，結果如圖3所示。

從圖像中可以看出，流形正則化方法在去噪方面不如L1范數形式，在避免“分片常數”效應方面有優勢，圖像子塊的均獲得較好復原;與L2范數形式相比，流形正則化保留了更多的邊緣紋理細節。

引入評價指標MSE、PSNR對house、lake兩幅圖像復原效果進行比較評價，其中：

計算結果如下：

4 小結

本文基于正則化項范數形式對于圖像復原效果的影響以及將圖像視為非歐幾何中的微分流形的觀點，基于圖像內蘊幾何性質—分形維數為特征，在圖像流形上建立不同形式的泛函形式，得到相應正則化模型。以house、lake為實驗對象，比較不同泛函形式下圖像復原效果，圖像直觀以及峰值信噪比PSNR客觀取值均表明，該模型比單一范數約束復原效果更佳。

參考文獻：

[1] 張彬，于欣妍，朱永貴.圖像復原優化算法[M].北京：國防工業出版社，2018.

[2] Tikhonov A N. On the solution of ill-posed problems and the method of regularition[J]. Soviet Mathematics，1963（4）：1035-1038

[3] Umut Guclu，Yagmur Gucluturk，Chu kiong Loo. Evaluation of fractal dimension estimation methods for feature extraction in motor imagery based brain computer interface[J]. Procedia Computer Science，2011，3：589-594

[4] 于欣妍，王亮，羅四維.基于微分流形的圖像復原方法方法[J].北京交通大學學報，2015，5（39）：1-7.

[5] 金文清.基于微分流形的圖像處理和算法研究[D].南京：南京理工大學，2015.

[6] 趙瑩，高雋，陳果，馮文剛.一種基于分形理論的多尺度紋理特征提取方法[J].儀器儀表學報，2008，4（29）：177-781.

[7] 王迪吉.基于分形維數的紋理特征的提取與應用[J].石河子大學學報（自然科學版），2007，5（25）：650-653.

[8] 趙海英，楊光俊，徐正光.圖像分形維數計算方法的比較.計算機系統應用，2010，20（3）：238-246.

【通聯編輯：唐一東】