淺析高階行列式的幾種計算方法

姜小霞 王海揚 田應信 譚楊

摘? 要：行列式是線性代數中非常重要的內容，也廣泛應用于許多實際問題的解決，它為求解線性方程組問題提供了工具。然而高階行列式的計算卻是這部分的難點，需要根據所求高階行列式的形式，分析其所具有的特點，采用適當的方法將高階行列式的計算進行簡化。該文將主要針對3種特殊形式的高階行列式進行分析，從而給出相應的計算方法。

關鍵詞：行列式? 遞歸法 三對角型? 爪型

中圖分類號：G642?? ??????????? 文獻標識碼：A? ???????????? 文章編號：1672-3791（2021）01（a）-0225-03

Analysis of Several Calculation Methods of High-order Determinant

JIANG Xiaoxia? WANG Haiyang? TIAN Yingxin? TAN Yang

（Tongren Polytechnic College，Tongren，Guizhou Province，554300 China）

Abstract： Determinant is a very important content in linear algebra， it is widely used to solve many practical problems. It provides a tool for solving linear equations. However， It is difficult to calculate high-order determinant. We need to analyze its characteristics according to the form of higher-order determinant. In this paper， three special forms of high-order determinant are analyzed and the corresponding calculation methods are given.

Key Words： Determinant; Recursive method; Tridiagonal type; Claw type

《線性代數》是理工科專業一門必修的基礎課程，而行列式理論雖然是該課程中的基礎部分，卻也是該課程中非常重要的部分，為求解線性方程組問題提供了工具，在實際生活中許多問題的研究中，都有著廣泛的應用。在行列式的應用過程中，必不可少地涉及行列式的計算。但行列式的計算，特別是高階的計算是一個很復雜和麻煩的問題，一直以來也是很多學生學習的難點。該文將針對3種特殊形式的高階行列式，給出相應的計算方法。

1? 高階行列式的計算

在n階行列式的定義中，給出了行列式的值是由所有取自不同行不同列的n個元素所構成的乘積的代數和，這為n階行列式提供了直接計算行列式值的方法。但是在實際計算中，發現n階行列式的值是由n！項組成的代數和，且每一項是n個數的乘積，這使得計算并不簡單。這時，可以利用行列式的性質，將高階行列式變形，轉換稱為一些比較容易求出結果的行列式的形式，比如，將行列式轉換稱為含有較多0元素的行列式，甚至有些行列式可以轉換稱為具有特殊形式的行列式，進而可以快速得出行列式的結果。但是，n階行列式的形式比較多，很多時候很難快速的將行列式轉化成為像上三角形或是下三角形這樣的特殊形式。為此，在計算n階行列式時，需要不斷觀察n階行列式的特點，然后針對不同類型的行列式的特點，選擇合適的方法來計算n階行列式的值。

1.1 遞歸法

遞歸法計算行列式，是指在計算n階行列式Dn時，若根據所求行列式的特點，可以找到Dn、Dn-1或者是Dn與Dn-1、Dn-2之間的聯系，從而可以構建他們之間的遞歸關系，最后利用D1和D1低階行列式的值，得到Dn的結果。

例1 計算n階行列式。

通過觀察發現，此行列式中，只有3條線（主對角線和兩條次對角線）上的元素是非0元素，而其余各元素均為0，像這樣形式的行列式，稱其為三對角線型行列式。對于這樣的n階行列式的計算，可以快速找到Dn與Dn-1、Dn-2之間的關系，從而得出n階行列式的結果。

解：將行列式Dn按第一列展開可得：

整理可得，由此遞推關系可得：

（1）

又因為，于是得到：

（2）

當α≠β時，由于α和β的對稱性，同理可得：

（3）

由（2）和（3）式可解得：

（4）

當α=β時，由可以推出，將代入即可得出。

因此

1.2 可化為爪型行列式的計算

爪型行列式是指形如：

主對角線以及位于第1行和第1列這3條線上的元素非0，而其余元素均為0的行列式。針對這種類型的行列式的計算問題，可以將第2列至第n列分別乘以加到第1列，轉化為上三角形行列式，或者可將第2行至第n行分別乘以加到第1行，轉化為下三角形行列式，均可以得出所求行列式的結果。

例2 計算n階行列式。

解：此行列式出來主對角線上的元素外，其余元素均為1，于是從第二行開始，每一行減去第1行，可得爪型行列式。

從第2列開始直至第n列分別乘以加到第1列，可轉化為上三角形行列式。

于是便容易得出：

例3 計算n階行列式。

解：此題形式上與例2有區別，其中除了主對角線和第1行第1列上的元素外，其余元素均為β，實質上仍然可以利用行列式的性質將其轉化為爪型行列式進行計算。首先將第1行的倍分別加到第2，3，…，n行，再從第2列開始直至第n列分別乘以加到第1列，即：

1.3 綜合應用

在n階行列式計算中，很多時候行列式比較復雜，很難直接運用一種方式就得出結果，可能需要綜合采用幾種方法才能計算出結果。

例4 計算n階行列式。

解：此行列式的特點是主對角線上的元素為x，主對角線下的元素為z，主對角線以上的元素全為y，若將該行列式直接轉化為上（下）三角形比較難，可利用行列式的性質，將該行列式拆成2個行列式之和。

將上式右端中第1個行列式按第n行展開，第2個行列式從1行至第n-1行分別依次減去其后一行，然后再按照第n列展開，可得

（4）

由于在此行列式中，y和z處在對稱位置，同理可得：

（5）

聯立（4）和（5）式，消去Dn-1，可以得出：

在上式行列式中，若y=z，則可以采用與例2類似的方法求解，這里不再重復。

2? 結語

總之，在n階行列式的計算中，由于行列式的變化形式比較多，計算行列式的方法也有很多。該文只是針對這3種特殊的形式給出了相應的計算方法。實際上，有很多的方法可以用來計算行列式，只是每一種方法可能只適用于具有某些特點的行列式的計算，并不適用于求解所有的行列式。因此，對于不同形式的行列式，先要觀察行列式所具有的特點，具體情況具體分析，也可以和以往碰到的一些情況進行對比聯系，然后再采用適當的方法，將求解過程簡化，從而能較快地求出行列式的值。

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