一道數(shù)學(xué)試題的教學(xué)與思考

蘇利

摘要：解題教學(xué)作為一種教學(xué)形式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中居于重要地位。解題教學(xué)不只在于解題，還在于培養(yǎng)學(xué)生的思維、挖掘數(shù)學(xué)思想方法、關(guān)注和培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題教學(xué)? 教學(xué)思考

解題教學(xué)作為一種教學(xué)形式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中居于重要地位。解題教學(xué)不只在于解題，還在于挖掘題目背后的教育價(jià)值。下面，筆者結(jié)合一道試題，就教學(xué)與思考加以闡述，與大家交流。

一、教學(xué)再現(xiàn)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為22，點(diǎn)2，2在C上。

（1）求C的方程;

（2）直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O，且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M。證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值。

這是2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)第20題。問題提出后，學(xué)生獨(dú)立思考，自主探究。十分鐘后，生1給出了如下的解答（解法1）。

解法1：（1）由題意有a2-b2a2=12，又4a2+2b2=1，解得a2=8，b2=4。所以橢圓的方程為x28+y24=1。

（2）設(shè)直線l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。將y=kx+m代入x28+y24=1，得2k2+1x2+4kmx+2m2-8=0。

x1+x2=-4km2k2+1，故x0=x1+x22=-2km2k2+1，y0=kx0+m=m2k2+1。

于是直線OM的斜率k′=y0x0=-12k，即k′k=-12。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值-12。

師：你是如何想到這種解法的？

生1：由直線與橢圓的方程，利用消元法可得到線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而證明出結(jié)論。

師：其他同學(xué)有不同的想法嗎？

生2給出了另一種解答（解法2）。

解法2：（1）同上;

（2）設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，則x0=x1+x22，y0=y1+y22。因?yàn)锳，B在橢圓上，所以x128+y124=1x228+y224=1，兩式相減得，x1-x2x1+x28+y1-y2y1+y24=0，即y1-y2x1-x2·y0x0=-12。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值-12。

師：你如何想到的呢？

生2：由點(diǎn)差法可以得到直線的斜率以及所截弦的中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而可以證明結(jié)論。

師：以上兩位同學(xué)分別用消元法、點(diǎn)差法給出了不同的解答。

師：若把“橢圓C：x28+y24=1”改為“橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0”，其他條件不變，（2）的結(jié)果如何？

生3：仍是定值，其過程如下：

設(shè)直線l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。將y=kx+m代入x2a2+y2b2=1，得a2k2+b2x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0。

x1+x2=-2kma2a2k2+b2，故x0=x1+x22=-kma2a2k2+b2，y0=kx0+m=mb2a2k2+b2。

于是直線OM的斜率k′=y0x0=-b2ka2，即k′k=-b2a2。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值-b2a2。

師：有什么規(guī)律嗎？

生3：其定值是y2與x2的分母比值的相反數(shù)。

師：其他同學(xué)同意生3嗎？

生4：我用點(diǎn)差法得到的結(jié)果和生3相同。

師：若把“橢圓C：x28+y24=1”改為“圓C：x2+y2=r2r>0”，其他條件不變，（2）的結(jié)果如何？

生5：是定值-1，結(jié)果符合生3得到的規(guī)律，其過程如下：

設(shè)直線l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。將y=kx+m代入x2+y2=r2，得k2+1x2+2kmx+m2-r2=0。

x1+x2=-2kmk2+1，故x0=x1+x22=-kmk2+1，y0=kx0+m=mk2+1。

于是直線OM的斜率k′=y0x0=-1k，即k′k=-1。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值-1。

師：若把“橢圓C：x28+y24=1”改為“雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0”，其他條件不變，（2）的結(jié)果還符合生3得到的規(guī)律嗎？

生6：不符合。

師：為什么？

生6：橢圓和圓都是封閉曲線，而雙曲線不是，它們的方程也有差別。

師：生6觀察得很仔細(xì)。其他同學(xué)同意他的觀點(diǎn)嗎？

生7：我認(rèn)為符合生3的規(guī)律，當(dāng)把雙曲線的方程中間的符號(hào)移到分母，得到x2a2+y2-b2=1，其過程如下：

設(shè)直線l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。將y=kx+m代入x2a2-y2b2=1，得a2k2-b2x2+2kma2x+a2m2+a2b2=0。

x1+x2=-2kma2a2k2-b2，故x0=x1+x22=-kma2a2k2-b2，y0=kx0+m=-mb2a2k2-b2。

于是直線OM的斜率k′=y0x0=b2ka2，即k′k=b2a2。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值b2a2。

師：雖然雙曲線的方程形式與橢圓不同，但是通過變形，就可以統(tǒng)一到一種形式下。

師：若把“橢圓C：x28+y24=1”改為“拋物線C：y2=2px（p>0）”，其他條件不變，（2）的結(jié)果如何？

生8：不為定值，其過程如下：

設(shè)直線l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。將y=kx+m代入y2=2px，得k2x2+2km-px+m2=0。

x1+x2=-2（km-p）k2，故x0=x1+x22=-km-pk2，y0=kx0+m=pk。

于是直線OM的斜率k′=y0x0=kpp-km，即k′k=k2pp-km不為定值。

師：生8給出了很好解釋。那么什么樣的曲線才符合規(guī)律呢？

生9：曲線的方程符合x2p+y2q=1，其中p，q為常數(shù)。

生10：p，q還要同正或異號(hào)。

師：生9，生10說得很好。通過前面的探究，大家能總結(jié)出這個(gè)規(guī)律嗎？

生11：若曲線C：x2p+y2q=1（p，q為常數(shù)，且同正或異號(hào)），直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，則直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值-qp。

師：生11歸納得很好。通過今天的學(xué)習(xí)，我們不僅得到了曲線的一個(gè)性質(zhì)，還認(rèn)識(shí)了一種研究問題的方法：從特殊到一般。下面有兩個(gè)思考題，大家課下繼續(xù)探究：

思考1.設(shè)A（n，0）是x軸上的任一點(diǎn)，其他條件不變，直線AM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值嗎？

思考2.若把“橢圓C：x28+y24=1”改為“橢圓C：（x-p）2a2+（y-q）2b2=1（a>b>0，p，q為常數(shù)）”，（2）的結(jié)果如何？

二、教學(xué)思考

（一）解題教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的思維

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版）指出，要著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生的思維。眾所周知，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)之一就是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。在新課教學(xué)中，教師應(yīng)盡力創(chuàng)設(shè)問題情境，使學(xué)生在探究知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展中學(xué)會(huì)感知、觀察、歸納、類比等邏輯思考的方法，從中培養(yǎng)思維能力。而解題教學(xué)一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和核心，在培養(yǎng)學(xué)生思維方面有著不可替代的作用。在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析題目，探尋解決問題的不同方法，拓寬思維的廣度。從試題開始，沿著不同的方向拓展，挖掘問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，訓(xùn)練學(xué)生思維的深度。聯(lián)想到本題教學(xué)，給學(xué)生充分的時(shí)間思考，從而得到消元、點(diǎn)差兩種方法。在本題解決的基礎(chǔ)上，沿著橢圓、圓、雙曲線、拋物線這條線探究下去，得到了圓錐曲線的一個(gè)性質(zhì)，從而使學(xué)生的思維得到很好的鍛煉與培養(yǎng)。

（二）解題教學(xué)要注重思想方法

波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就是意味著解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題。解題教學(xué)基于不同的學(xué)情，是否也該如此呢？解題教學(xué)是有講究的，解題只是解題教學(xué)的一部分，只是完成教學(xué)的一步。解題技巧可以有，但不是重點(diǎn)，思想方法是重點(diǎn)，但還不是全部，還有題目本身所散發(fā)的數(shù)學(xué)本質(zhì)以及教育價(jià)值。章建躍博士曾指出，當(dāng)解題技巧脫離思想方法時(shí)，技巧就變成雕蟲小技了。因此，解題教學(xué)不僅僅是關(guān)注解題技巧，而是聚焦解題的思想方法以及題目背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，尤其對(duì)于由“特點(diǎn)”的題目，要從深度與廣度兩個(gè)方面加以探究，挖掘題目背后的教育意義，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)與創(chuàng)新意識(shí)。基于此，對(duì)于本題教學(xué)，筆者不僅引導(dǎo)學(xué)生探尋出消元、點(diǎn)差這兩種解法，而且進(jìn)行了深度上的拓展，學(xué)生收獲的不僅是兩種實(shí)用的解題方法，還收獲了探究問題的一種方法：從特殊到一般。在這個(gè)過程中，還收獲了一個(gè)解析幾何的性質(zhì)，而探究數(shù)學(xué)的樂趣也彌漫在其中。

（三）解題教學(xué)要關(guān)注學(xué)生

高中數(shù)學(xué)教育，就是幫助學(xué)生獲得適應(yīng)現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。簡單地講，數(shù)學(xué)教學(xué)要以學(xué)生為主體，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。解題教學(xué)也不例外，要避免“遇到新課搞探究，逢到解題搞講授”。講授固然是一種重要的教學(xué)方法，在某些知識(shí)的教學(xué)中起著不可替代的作用，比如符號(hào)的書寫等，但是不能因此而放棄學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流的機(jī)會(huì)。教師要充分信任學(xué)生，敢于放手，“無為而治”，樂享其成。而對(duì)于本題教學(xué)，教師圍繞學(xué)生提出問題，然后給學(xué)生充分的時(shí)間思考，一步一步獲得最后的“圓滿結(jié)局”。

（四）培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)

現(xiàn)代教育理念提倡培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，而提出問題比解決問題更重要，要提出問題，首先要有問題意識(shí)，然后才能在具體的數(shù)學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)并提出問題。問題意識(shí)的培養(yǎng)不是一朝一夕的事，而是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。教師應(yīng)秉著“看過問題三百個(gè)，不會(huì)解題也會(huì)提”的思想，做好示范。只有學(xué)生看得多了，才會(huì)慢慢有了問題意識(shí)，才能提出問題。新課教學(xué)如此，解題教學(xué)亦如此。

（五）解題教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的。這不僅說明培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要性，還說明了素養(yǎng)形成與發(fā)展的途徑。作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用的一種，解題教學(xué)要在這方面做好表率，教師要善于挖掘題目背后的數(shù)學(xué)思想方法，從中提煉數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育價(jià)值。比如本題是一道解析幾何題，涉及橢圓方程、離心率，橢圓與點(diǎn)、橢圓與直線的位置關(guān)系，直線的斜率等知識(shí)，是典型的數(shù)形結(jié)合的案例，可以挖掘直觀想象這一素養(yǎng)。而利用消元法或點(diǎn)差法，建立兩直線間的斜率關(guān)系，從而證明命題，這一過程可以提煉邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。從本題出發(fā)，分別從橢圓、圓、雙曲線以及拋物線，對(duì)題目進(jìn)行拓展，從中歸納出一個(gè)結(jié)論，進(jìn)一步滲透邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。總而言之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要一個(gè)過程，只有教師抓住機(jī)會(huì)，在教學(xué)中加以滲透，方能見效。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]章建躍.數(shù)學(xué)教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社.2017.

[3]王鵬飛.基于核心素養(yǎng)的解題教學(xué)的行動(dòng)研究[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2016（12）：17-21.