數形結合思想在中職數學解題中的應用

韋忠厚

【摘 要】本文針對數形結合思想在中職數學教學中應用比較少的情況，論述中職教師應將數形結合思想貫穿教學全過程，將數形結合思想與函數問題、集合問題、方程問題、空間問題等進行多點對接，提出整合數形結合思想教學資源、優化數形結合思想的教學設計、落實數形結合思想教學活動、創新數形結合思想訓練對策等教學建議。

【關鍵詞】中職數學 數形結合思想 解題應用

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）42-0130-02

數形結合思想是一種將數量關系與圖形形象相結合，將抽象知識與具體形象相互轉化的數學方法。數形結合思想既是優化數學知識演繹，促進學生對數學新知識的認知和理解的重要數學思想，也是學生用以分析和解決數學問題的有效方法。教學中，教師應立足數形結合思想的本質內涵，圍繞數學知識的特點和課堂教學的目標要求，靈活運用數形結合思想設計多樣的教學活動，有效引導學生在更深層次上把握數形結合思想的應用，豐富學生解決數學問題的技巧和方法，提高學生的學習能力和學習效率。

一、整合數形結合思想教學資源解決函數問題

中職數學學科的大部分教學內容與數量關系和圖形關系有關，這為在教學中滲透數形結合思想提供了豐富的對接點和融合點。教師要研究教材、深潛生活，從中挖掘有助于在教學中滲透數形結合思想的教學元素，加強數形結合思想教學資源的整合與投放，為學生應用數形結合思想解決數學問題創造更多契機。特別是在教學函數時，教師應積極尋找合適的函數教學的切入點，做好數形結合思想教學資源的開發整合和靈活投放，從而引導學生一一厘清函數表達式與函數圖形的數形關系，將抽象的函數問題變為直觀、易懂的數學圖形，降低函數問題的分析難度，幫助學生快速找到解決問題的思維突破口，提高學生解決函數問題的效率。

函數教學具有很強的拓展性，教師可根據學生數學能力發展的需求，引入不同考查類型、運用不同解題思路和方法的函數問題，鍛煉并提高學生運用數形結合思想解決問題的能力。如人教版中職數學必修1《基本初等函數》這一章節，涵蓋了指數函數、對數函數、冪函數三種函數的教學內容。教師在開展教學活動時，應根據每種函數的具體性質和特點，廣泛整合數形結合思想教學資源，引導學生運用這一思想解決相應的函數問題。在具體教學中，教師可操作如下：在新知演繹環節，教師向學生展示代表性較強的幾組函數圖形，讓學生觀察、比較函數表達式和函數圖象的對應關系，理解函數的數圖關系特點，從而更加深入地理解函數的內涵;在課堂訓練環節，教師進一步篩選數形結合思想的訓練資源，開展“根據函數表達式繪制相應的函數圖形”和“根據函數圖象推導函數表達式”兩個維度的訓練活動，深化學生對函數性質、函數圖象等的認知，強化數形結合思想的運用。

在本章節的教學中，教師圍繞章節教學主要目標，系統整合與指數函數、對數函數、冪函數等核心知識相關的數形結合思想教學資源，并在新知教學中利用這些感性認知素材增強學生學習數學的直觀體驗，促進數學新知的生成，確保學生能夠準確構建三種函數的認知體系;在課堂訓練環節，設計正向、逆向兩個維度的訓練活動，有效增強了學生使用數形結合思想構建函數問題解題模型的能力。

二、優化數形結合思想的教學設計解決集合問題

數形結合是一種涵蓋領域非常廣的數學學習思想方法，在利用這一思想教學不同數學知識、解決不同類型數學問題時，教師要立足教學實際、學生學情，不斷調整、優化課堂教學策略和指導方法，教會學生運用數形結合思想的方法，最大限度地發揮數形結合思想的教學價值、實用價值。集合問題是中職數學的重要教學內容，教師指導學生運用數形結合思想分析集合問題時，需要準確把握不同集合的性質，教會學生正確畫出集合的數軸圖、文氏圖等，讓學生學會運用指向性更明確的數形結合思想辨別、區分其中的關鍵解題要素，幫助學生構建多種類型的集合問題的解題模型，使學生能夠快速、準確地解決集合問題。

數軸圖、文氏圖是解決集合問題常見的兩種圖形，教師應根據集合問題的考查特點，剖析這兩種圖形所適用的集合問題類型，合理選用兩種圖形分析和解決集合問題，提高學生數形結合思想的應用能力。如題：“設集合A={x|x≤3}，B={x|x<1}，求A∩B，A∪B分別為？”這一問題的考查維度局限于數量層面，數軸圖能夠直觀反映其中的數量關系。解題時，教師首先要求學生根據題意分別畫出集合A、集合B的數軸圖，然后觀察兩個圖形所包含的數學信息，學生很快便找出A∩B，A∪B對應的區域。而文氏圖則適合用于解決更為復雜的集合問題，如題：“某班有50人報名參加兩門學科競賽，參加A學科競賽的人數為33人，參加B學科競賽的人數為30人，且兩門學科競賽都參加的人數比都不參加的人數的3倍少3人，求只參加B學科競賽的有多少人？”解決這一問題時，教師著重引導學生使用文氏圖正確分析不同集合間的交集、并集關系，獲取已知條件中的數量關系從而解決問題。

教師根據集合問題考查維度的差異性，有針對性地教學生運用數軸圖和文氏圖分析、解決不同類型的集合問題，充分體現了數形結合思想在解決集合問題方面的獨特優勢，提高了學生對數形結合思想的重視程度，強化了學生解決集合問題的思維訓練，使學生能夠根據不同問題靈活選擇不同數形結合方法。

三、落實數形結合思想教學活動解決方程問題

很多數學應用題的解決都需要使用方程式分析、表達題目所呈現的數量關系，并畫出對應的圖形才可解決問題。教師應以這些數學應用題為抓手，加強數形結合思想教學活動的組織與落實，讓學生在運用數形結合思想解決問題的過程中碰撞出更多智慧的火花。在中職數學中，有很多數學應用題都存在容易被忽視的隱性條件，這對學生的綜合性思維與分析性思維提出了更高要求，教師在開展數形結合思想教學活動時要做好思維啟發，著重引導學生學會利用數學圖形挖掘題目中的隱性解題要素，避免學生解題時出現錯誤答案或遺漏正確答案。

解決方程問題需要學生綜合分析題目中的數據，但是題目涉及的數據往往都比較錯綜復雜，學生要想快速厘清數量關系，采取數形結合的方法是一條捷徑。如有這樣一道題目：“某地區為盤活資本，決定投資建設線路板廠和機械加工廠。經預算，如果引進新工藝，線路板廠和機械加工廠可能獲得的最大盈利率分別是95%和80%，可能產生的最大虧損率分別為30%和10%。在最多出資100萬元的情況下，要求確保可能出現的資金虧盈不超過18萬元，如何投資兩個工廠才能實現可能利潤的最大化？”面對此類與生活息息相關的“最優化”問題，筆者要求學生自主思考、確定題干提供的數量關系，然后根據條件列出線性約束條件和設定目標方程，將方程問題轉化為函數問題，并繪制相關圖形構建解題模型。隨后，筆者組織學生交流分享思考路徑、解題方法、解題思路和過程，分享自己關于運用數形結合思想解決方程問題的感受和自身的理解。

教學中，教師要尊重學生的學習主體地位，在設計教學活動時賦予學生充足的思考時間和廣闊的思維空間，增強學生運用數形結合思想解決數學問題的活力。在該例題教學中，教師依托生活實際問題，設計更具自主性、探究性的互動學習活動，讓學生在交流討論和說理表達中深入學習數形結合思想，并在思維的多元交互中彌補自身解題思維、解題方法的不足，豐富了學生解決方程問題的思路和方法，提高了學生解決數學問題的能力。

四、創新數形結合思想訓練方式解決幾何空間問題

滲透數形結合思想，強化學生數學解題能力，是一個系統化的教學工程，需要連貫性較強的教學規劃。也就是說，教師應創新數形結合思想訓練方式，圍繞特定的數形結合思想應用方法開展長期、系統的教學，不斷深化學生對數形結合思想的理解和應用，給學生帶來更具持續性的思維訓練。空間問題是中職數學的重要內容，學生在處理一些復雜的空間圖形時，只是簡單地從圖形角度入手，難以發現解決問題的關鍵點，容易陷入解題的“死胡同”。教師依托典型性較強的空間問題，指導學生運用數形結合思想，將抽象復雜的空間問題轉化成代數計算問題，降低了復雜空間圖形的分析難度，能夠有效提高學生解決空間問題的效率。

如在《函數模型及其應用》這一小節的內容中，存在很多“裁剪鐵板”“菜園用地規劃”等關于空間利用的生活問題，解決這類問題需要學生靈活構建函數計算模型。要想實現這一教學目標，教師在展開相關例題教學時，可借助信息技術向學生呈現這些復雜生活問題所涉及的圖形元素，開展直觀教學活動，讓學生根據問題信息利用電腦或教學交互機繪制相關圖形，并認真觀察圖形素材，在反復繪制、觀察、糾正的過程中，發現有利于解決問題的定性關系，然后構建與問題條件密切相關的函數模型，將空間問題轉化為代數問題，助力學生解決空間問題。

教學中，教師利用信息技術創新了數形結合思想的訓練模式，用直觀教學活動助推學生探索解決空間問題的有效方案，在直觀圖形和定性關系相互轉化中找到正確的解題切入點，提高了學生數學解題思維訓練的品質。此外，教師還可以進一步拓展數形結合思想訓練的范圍，設計更多的課后數學學習實踐活動，讓學生結合生活現象、生活問題自主發掘數學問題，加深學生運用數形結合思想的實踐體驗，促進學生數形結合思想的有效內化。

總而言之，中職數學學科涉及的知識內容非常廣泛，對學生的思維品質要求更高，要想提高學生學習數學的效率，教師需要充分調動學生的學習積極性，教會學生更多行之有效的學習方法和應用技巧。而數形結合思想可以輔助學生從數量關系和圖象兩個維度理解、運用數學知識，豐富學生解決數學問題的方法和手段，從而達成深度學習的目標。在教學中，教師要加強數形結合思想與函數問題、集合問題、方程問題、空間問題的多點對接，教會學生運用數形結合思想更加有效地分析和解決不同類型的數學問題，增強學生數形結合思想解決實際問題的應用能力，凸顯了數形結合思想在數學教學和學習中的實用價值，推動學生數學學科核心素養的發展。

【參考文獻】

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（責編 施景茗）