打磨 打通 打開 高觀點視角下的復習與整理
——以《正、反比例復習》為例

文｜錢建兵

“高觀點”思想是德國杰出的數學家菲利克斯·克萊因于20世紀初在《高觀點下的初等數學》這本書中提出來的。克萊因認為，基礎數學的教師應該站在更高的（高等數學）視角來審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單；一個稱職的教師應當掌握或了解數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程以及數學教育演化的經過。數學教材的編排具有螺旋上升的特點，知識之間的層級較為明顯，教學中需要在更高的視角審視、理解層級較低的問題，從而理解數學的本質。早期通過鋪墊、滲透的知識，在高級階段通過適當地喚醒、拾取，學習者前后的經驗得以延續與貫穿，形成知識的序列與結構。如學習新知過程中的復習鋪墊、反思回顧等環節，就是一種喚醒舊經驗連接新經驗的過程。本文以《正、反比例的復習》為例，著眼于高觀點，瞻前顧后，從而達到融會貫通、深度理解知識的教學目標，形成完整的知識結構。

一、打磨已知：在比較中精致結構

格式塔心理學認為：學習主要不是加進新痕跡或減去舊痕跡的問題，而是要使一種完形改變成另一種完形。這種完形的改變可以因新的經驗而發生，也可以通過思維而產生，學習就是知覺重組或認知重組，知覺重組或認知重組注重的是認清事物的內在聯系、結構和性質。只有通過整理比較，形成清晰的結構，才能更有效地去融合之前的知識與經驗，將兩個獨立存在而實質具有聯系的結構進行融合。對概念的清晰認識是建立良好知識結構的前提，所謂清晰，就是要厘清相似概念的聯系與區別，從更細致處去把握概念，將原有認識進行打磨，在形成知識結構的基礎上整體把握知識的本質與內涵。如對正比例與反比例的理解，不是僅從外部“比值一定”“乘積一定”或是圖象上去區別二者，而是要深入概念的整體與內部，增強學生對比例是表示關系即函數思想的理解。“正”“反”是相對的概念，只有通過對比，才能體現自身。

通過兩個例子對兩個概念進行梳理。經過比較，得出了正、反比例的相同點：都有兩個變化的量，一個量的變化引出另一個量的變化，且變化中都有不變的因素。在此基礎上，可以打磨細節，讓學生說一說對“正”“反”的理解，有的學生從變化方向角度去解釋，也有的學生從圖形利用圖象進行描述。根據學生的回答形成下表，由此學生對正、反比例相同與不同的認識從粗糙走向精致。

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通過學生條理清楚的表達，以表格、思維導圖等形成知識之間的聯系。通過具體例子，首先幫學生提取相關概念的內涵與外延；再組織比較，形成了比較清晰的正、反比例的概念結構。要特別重視結構的精致過程，結構越通透，其吸納整合其他知識、同化融合其他結構的能力就越強。

二、打通舊知：在“吐故”中融合結構

結構融合即建立新結構與原有概念或結構之間的聯系，把原有概念與結構納入新的認知結構中，使原有概念被賦予新的意義與視角。由于之前是以滲透的形式教學，是經過了適合兒童思維水平改造后呈現，所以知識呈現的視角會與正式學習時有所不同。當兒童正式學習某一知識時，因首因效應，對先前改造后學習的知識會有深刻的印象，后期學習時也不會從新的視角去認識，結構的整合并不是自動的。所以教學要在恰當的時候積極尋找中間地帶，促進兩個結構系統對質，并積極促進舊的結構同化融入到新的知識結構之中。

正比例與反比例在學習了乘、除法的計算之后逐步滲透，教材以探索規律的形式讓學生感受變化的思想。如（圖1）：

圖1

這樣的例子在教材中非常多，有練習中的也有以規律、性質等教學形式出現的，如商不變的規律、分數的基本性質、比的基本性質等。可以說，通過之前的學習，學生能感受到一個量的變化引起另一個量的變化，對變化的方向也較為清晰，但不能跟正、反比例聯系起來，也不能建立起變量的概念，算術的思維始終影響代數思維的發展。對規律的解釋，還只是一種經驗，缺少相應的理性抽象的思考。因此，從學生思維發展的角度講，需要一個提升與轉變。

從正、反比例的學習過程來看，需要融會貫通才能深度理解。在教學中，我們發現學生是基于具體計算比值相等、乘積相等或圖象直觀去判斷兩個量存在哪種比例關系，對于用關系式進行判斷，由于不能（或缺少相應的元認知）將自己想到的關系式根據乘、除法之間的關系轉化后進行判斷，學生對正反比例的判斷能力較差。如，三角形的底一定，面積和高是什么比例關系？學生首先想到的是面積計算公式，而不會主動地將這個公式轉化成面積除以高等于底除以2，然后判斷比例關系，但是卻知道“面積不變，底擴大多少，高要縮小多少”這樣的關系。

在對正、反比例的概念進行梳理之后，引導學生用比例去思考之前學過的知識，以深化對比例的認識。

首先是乘法中的變化規律。出示（圖2）：

圖2

說一說這是什么規律？能用比例的知識解釋嗎？并讓學生用字母關系式a×b=c（a、b、c 均不為0）表示，說一說三個量的比例關系。在完成抽象表達之后回到情境，說一說常用數量關系中的比例關系：單價×數量=總價、工作效率×工作時間=工作總量……

接著是從比例的視角發現除法中的變化規律。用字母關系式：a÷b=c（a、b、c 均不為0）表示后引導學生用比例的知識解釋：商不變的規律、分數的基本性質、比的基本性質。小結：一個乘法或除法關系式的三個量中，只要一個量確定了，就可以確定其他兩個量是正比例或反比例關系。可以根據乘法或除法關系式判斷比例關系。用比例的眼光看面積、體積的變化規律：正方形邊長乘以或除以一個不為0 的數，周長怎么變化？圓的半徑擴大3 倍，周長怎么變化？

當學生從現在的學習角度去看原來的知識與結構并獲得一種解釋時，不僅僅是一種結構的形成，更是理解上的深入。學生會產生“原來那就是比例，原來比例就是之前學習的變化規律”的想法，這樣更有助于學生理解比例的意義。通過這樣的回顧，從一個更高的視角看原有的知識，“站起來環顧四周”更容易有一種整體感，促進原有知識的同化或順應，讓新結構得以形成，理解得到深入。

三、打開未知：在“納新”中延伸結構

當舊知通過反思融入結構中，產生一個新結構，結構仍處于平衡狀態。這時，教學要引導學生再一次制造沖突，制造新的不平衡，將這個結構開放、生長、延伸。皮亞杰認為，全部數學都可以按照結構的建構來考慮，而且這種建構始終是完全開放的……這種結構或者正在形成“更強的”結構，或者在由“更強的”結構來予以強化。

從復習課的角度講，復習的要點在于溝通知識之間的聯系，形成更大、更清晰、更牢固的知識網絡。所謂更大，就是瞻前顧后，站在現在去俯視原有的知識，將原來教材中滲透的、不系統的知識放到現在的一個比較系統的知識中，形成一個結構。瞻前，就是如本課中，對乘、除法運算中的變化規律從正、反比例的角度對其解釋。顧后，就是將現有知識放在一個更高的觀點上，讓學生更近距離地去接觸這一知識的本質，正、反比例是函數的學習基礎，讓學生畫比值不同的比例感受一下，為后續學習打開一扇窗。瞻前顧后，復習課應做到上不封頂、下要保底。

如果將正、反比例的學習放在一個更上位的概念系統中看，應該是函數學習的一部分。因此，這一內容的學習應該是中學函數知識的前期準備，在這一準備中，應該有著后續學習所需要的“種子”，正如前期學習乘除法中的變化規律一樣。在教學中我是這樣滲透和鋪墊的。首先通過《學習單》（圖3）引導，畫出的圖象。

圖3

圖4

組織觀察：這些直線有什么變化？你覺得與什么有關？學生發現直線的傾斜程度與比值有關。再引導學生聚焦直線的傾斜程度：傾斜程度的大小是從哪里看出來的？比值與夾角有什么樣的關系呢？這些問題，讓學生意識到正比例的價值，更激發了學生探究的欲望。重要的是讓學生能對正比例產生問題，問題使結構常新，新的結構始終保持著一種開放的狀態。

高觀點下的復習整理，要整理、貫通，促使結構的生成。一是知識內部的聯系緊密，加強知識之間的聯系，從模型、本質的角度去理解知識，促使知識的“原來—現在—將來”能成為一個牢固的整體；二是不斷在學生心中產生問題，保持結構的開放，使結構常新。