慢『漫』地教數(shù)學(xué)
——『慢』是拓寬思考的角度

文 孫貴合

“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同?！苯嵌炔煌隳苄蕾p到不同的風(fēng)景。但為什么我們總看不到新的風(fēng)景？“不識廬山真面目，只緣身在此山中?！币驗槲覀兞?xí)慣了用一個角度、一個方向去看待問題。當(dāng)一個人對一件事情有了認(rèn)識之后，總是習(xí)慣性地按照自己原有的方式去思考，很難再從不同的角度和方向去思考解決這件事情的其他方法。思維定勢在心理學(xué)上是指人在進(jìn)行心理操作活動中的一種準(zhǔn)備狀態(tài)，定勢表現(xiàn)為問題解決過程中的思維傾向性，常按照自己已經(jīng)掌握的或者熟悉的方法去解決問題。但當(dāng)一個人面對一件新的事物時，不會被思維定勢影響，因此考慮問題會有很多不同的方向，這時是“頭腦風(fēng)暴”式的思考，因此會出現(xiàn)很多我們想都沒有想過的方法，這也是教育真正的意義。同時如果運用得當(dāng)，還能夠為教學(xué)帶來意想不到的效果。在教學(xué)時，教師由于多年的學(xué)習(xí)和教學(xué)經(jīng)驗對知識本身產(chǎn)生了思維定式，因此當(dāng)學(xué)生有了新的角度，很多時候會被教師所扼殺，所以教師更應(yīng)該多聽一聽學(xué)生的發(fā)言，從而也讓我們自己有更多思考的角度。

案例《圓的面積》。

在教學(xué)這節(jié)課的時候，我讓學(xué)生思考：圓是一個曲線圖形，那要計算它的面積，你有什么辦法？

生1：我可以把圓一點一點地分割成很多小正方形或小長方形，然后一個個地計算出它們的面積，便可以得到圓面積的近似值。（微分的思想，無限分割。這也是人類最開始計算圓的面積的方法）

師：這是一種很好的方法，但操作起來好像很麻煩，還有不同的方法嗎？

生：我們可以把圓的面積轉(zhuǎn)化成我們所學(xué)過的圖形的面積，然后再進(jìn)行計算。比如長方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形等。

師：這個同學(xué)結(jié)合了我們以前所學(xué)過的圖形，把一個新的圖形轉(zhuǎn)化成以前所學(xué)過的圖形，然后再計算，這是一種很好的方法。而且“轉(zhuǎn)化”也是數(shù)學(xué)中很重要的一種思想。關(guān)于“轉(zhuǎn)化”還有這樣一個小故事：一天，消防員覺得數(shù)學(xué)家的工作不錯，于是他跑到數(shù)學(xué)家面前問：“您看看我有沒有當(dāng)數(shù)學(xué)家的潛質(zhì)？”數(shù)學(xué)家說：“您看上去不錯，可是您要回答我兩個問題。”消防員說：“行，您問吧?！睌?shù)學(xué)家說：“巷子里有一個貨棧，一只消防栓和一卷軟管。貨棧起火，您怎么辦？”消防員回答：“我把消防栓接到軟管上，打開水龍頭，把火澆滅。”數(shù)學(xué)家說：“完全正確！最后一個問題：假設(shè)您走進(jìn)小巷，而貨棧沒有起火，您怎么辦？”消防員疑惑地思索了半天，終于答道：“沒著火，那我就回去了?！睌?shù)學(xué)家說：“那你可以回去了，你不適合做數(shù)學(xué)家?！毕绬T問：“那數(shù)學(xué)家會怎么解決呢？”數(shù)學(xué)家回答：“如果是數(shù)學(xué)家解決這個問題，那得把這個房子點著了，這樣我就把問題轉(zhuǎn)化為一個我已經(jīng)解決過的問題了。”可見“轉(zhuǎn)化”的思想多么重要。好，那同學(xué)們自己動手嘗試一下吧！

（學(xué)生操作，把圓轉(zhuǎn)化成以前所學(xué)過的平面圖形，并結(jié)合面積計算中各部分之間的關(guān)系，推導(dǎo)出圓的面積計算公式）

生：老師，我把圓的面積轉(zhuǎn)化成了長方形。（因為是常用的推導(dǎo)方法，所以具體推導(dǎo)過程略）

生：我把圓的面積轉(zhuǎn)化成了三角形的面積。（如圖1）

圖1

生：把一個圓平均分成十六等份，然后拼出了一個近似的三角形，這個三角形的底就是圓周長的四分之一，高就是四個半徑，這樣三角形的面積便得到了：

生：老師，我還可以把圓的面積轉(zhuǎn)化成梯形的面積。（具體方法略）

生1：老師，還用剛才我的方法——分成很多小正方形，這是我想的但我沒做出來，就是在圓里畫很多小的正方形，然后在圓外面再畫一個大的正方形，數(shù)一數(shù)圓里有多少個小正方形，然后看一看大正方形里有多少個小正方形，便能得到圓的面積占正方形面積的幾分之幾，因為正方形的面積是能夠計算的，所以也能夠計算出圓的面積。

師：那你能夠找到圓的面積公式嗎？

生1：沒有找到。

師：你的方法很好，但我們還是轉(zhuǎn)化成以前所學(xué)過的圖形的面積更簡便。

把圓的面積轉(zhuǎn)化成長方形、三角形、梯形等都在教師的意料之中，這也是提前就準(zhǔn)備好的，因為不轉(zhuǎn)化成這樣的圖形學(xué)生是沒辦法得到圓的面積公式的。對于生1 的想法，教師也給予了充分的肯定，但并沒有引起足夠的重視，認(rèn)為這種方法不能計算圓的面積。后來在無意中了解數(shù)學(xué)史，看到了這樣一幅圖片和文字說明：

早在公元前1650年，埃及草紙文獻(xiàn)中就記載了圓的面積計算方法。人們用大小均勻的麥粒將圖2 鋪滿，分別數(shù)出正方形和圓形里的麥粒，算出圓面積大約是正方形面積的九分之八。這已經(jīng)很接近現(xiàn)在圓的面積πr2。而且這里面包含了大量的數(shù)學(xué)思想和文化，這也是人類認(rèn)識世界最基本的思想。如果想要得到圓面積更精確的結(jié)果，可以把麥粒變成小米，這也就是單位細(xì)化的思想。許多知識的發(fā)展都是單位細(xì)化的過程，為什么有了一位小數(shù)還要有兩位、三位小數(shù)，有了長度單位“米”還需要分米、厘米、毫米，這都是為了得到更加精確的結(jié)果在進(jìn)行單位細(xì)化。而且在這個過程中真正體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的思想：要計算圓的面積，但不直接計算圓的面積，而是轉(zhuǎn)化成計算圓與正方形之間的關(guān)系。其他的幾種方法中也有轉(zhuǎn)化：把圓轉(zhuǎn)化成長方形、平行四邊形、三角形等等，但都是同一類別的轉(zhuǎn)化。而這種轉(zhuǎn)化才是真正地用一種中間量來進(jìn)行比較，這種轉(zhuǎn)化才是真正解決生活中問題的最有用的轉(zhuǎn)化思想。曹沖稱象，把大象轉(zhuǎn)化成了石頭；希臘學(xué)者阿基米德為國王鑒定過一頂王冠，看它是否是純金制成的，把這個問題轉(zhuǎn)化成了體積與質(zhì)量的比；買同等材質(zhì)的毛線，哪一卷長，可以轉(zhuǎn)化成稱重量等等，這些生活中真正的轉(zhuǎn)化才是我們學(xué)習(xí)的目的。如果在課堂中慢下來，讓學(xué)生把話說完，把想法加以細(xì)化，我想收獲會更大，因為學(xué)生全新的角度，也會給教師帶來新的思考、新的突破。所以課堂是師生共同成長的舞臺，“弟子不必不如師，師不必賢于弟子”，“慢”下來，讓學(xué)生帶我們從不同的角度欣賞數(shù)學(xué)的美。

圖2