慢『漫』地教數學
——『慢』是拓寬思考的角度

文 孫貴合

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。”角度不同，便能欣賞到不同的風景。但為什么我們總看不到新的風景？“不識廬山真面目，只緣身在此山中。”因為我們習慣了用一個角度、一個方向去看待問題。當一個人對一件事情有了認識之后，總是習慣性地按照自己原有的方式去思考，很難再從不同的角度和方向去思考解決這件事情的其他方法。思維定勢在心理學上是指人在進行心理操作活動中的一種準備狀態，定勢表現為問題解決過程中的思維傾向性，常按照自己已經掌握的或者熟悉的方法去解決問題。但當一個人面對一件新的事物時，不會被思維定勢影響，因此考慮問題會有很多不同的方向，這時是“頭腦風暴”式的思考，因此會出現很多我們想都沒有想過的方法，這也是教育真正的意義。同時如果運用得當，還能夠為教學帶來意想不到的效果。在教學時，教師由于多年的學習和教學經驗對知識本身產生了思維定式，因此當學生有了新的角度，很多時候會被教師所扼殺，所以教師更應該多聽一聽學生的發言，從而也讓我們自己有更多思考的角度。

案例《圓的面積》。

在教學這節課的時候，我讓學生思考：圓是一個曲線圖形，那要計算它的面積，你有什么辦法？

生1：我可以把圓一點一點地分割成很多小正方形或小長方形，然后一個個地計算出它們的面積，便可以得到圓面積的近似值。（微分的思想，無限分割。這也是人類最開始計算圓的面積的方法）

師：這是一種很好的方法，但操作起來好像很麻煩，還有不同的方法嗎？

生：我們可以把圓的面積轉化成我們所學過的圖形的面積，然后再進行計算。比如長方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形等。

師：這個同學結合了我們以前所學過的圖形，把一個新的圖形轉化成以前所學過的圖形，然后再計算，這是一種很好的方法。而且“轉化”也是數學中很重要的一種思想。關于“轉化”還有這樣一個小故事：一天，消防員覺得數學家的工作不錯，于是他跑到數學家面前問：“您看看我有沒有當數學家的潛質？”數學家說：“您看上去不錯，可是您要回答我兩個問題。”消防員說：“行，您問吧。”數學家說：“巷子里有一個貨棧，一只消防栓和一卷軟管。貨棧起火，您怎么辦？”消防員回答：“我把消防栓接到軟管上，打開水龍頭，把火澆滅。”數學家說：“完全正確！最后一個問題：假設您走進小巷，而貨棧沒有起火，您怎么辦？”消防員疑惑地思索了半天，終于答道：“沒著火，那我就回去了。”數學家說：“那你可以回去了，你不適合做數學家。”消防員問：“那數學家會怎么解決呢？”數學家回答：“如果是數學家解決這個問題，那得把這個房子點著了，這樣我就把問題轉化為一個我已經解決過的問題了。”可見“轉化”的思想多么重要。好，那同學們自己動手嘗試一下吧！

（學生操作，把圓轉化成以前所學過的平面圖形，并結合面積計算中各部分之間的關系，推導出圓的面積計算公式）

生：老師，我把圓的面積轉化成了長方形。（因為是常用的推導方法，所以具體推導過程略）

生：我把圓的面積轉化成了三角形的面積。（如圖1）

圖1

生：把一個圓平均分成十六等份，然后拼出了一個近似的三角形，這個三角形的底就是圓周長的四分之一，高就是四個半徑，這樣三角形的面積便得到了：

生：老師，我還可以把圓的面積轉化成梯形的面積。（具體方法略）

生1：老師，還用剛才我的方法——分成很多小正方形，這是我想的但我沒做出來，就是在圓里畫很多小的正方形，然后在圓外面再畫一個大的正方形，數一數圓里有多少個小正方形，然后看一看大正方形里有多少個小正方形，便能得到圓的面積占正方形面積的幾分之幾，因為正方形的面積是能夠計算的，所以也能夠計算出圓的面積。

師：那你能夠找到圓的面積公式嗎？

生1：沒有找到。

師：你的方法很好，但我們還是轉化成以前所學過的圖形的面積更簡便。

把圓的面積轉化成長方形、三角形、梯形等都在教師的意料之中，這也是提前就準備好的，因為不轉化成這樣的圖形學生是沒辦法得到圓的面積公式的。對于生1 的想法，教師也給予了充分的肯定，但并沒有引起足夠的重視，認為這種方法不能計算圓的面積。后來在無意中了解數學史，看到了這樣一幅圖片和文字說明：

早在公元前1650年，埃及草紙文獻中就記載了圓的面積計算方法。人們用大小均勻的麥粒將圖2 鋪滿，分別數出正方形和圓形里的麥粒，算出圓面積大約是正方形面積的九分之八。這已經很接近現在圓的面積πr2。而且這里面包含了大量的數學思想和文化，這也是人類認識世界最基本的思想。如果想要得到圓面積更精確的結果，可以把麥粒變成小米，這也就是單位細化的思想。許多知識的發展都是單位細化的過程，為什么有了一位小數還要有兩位、三位小數，有了長度單位“米”還需要分米、厘米、毫米，這都是為了得到更加精確的結果在進行單位細化。而且在這個過程中真正體現了“轉化”的思想：要計算圓的面積，但不直接計算圓的面積，而是轉化成計算圓與正方形之間的關系。其他的幾種方法中也有轉化：把圓轉化成長方形、平行四邊形、三角形等等，但都是同一類別的轉化。而這種轉化才是真正地用一種中間量來進行比較，這種轉化才是真正解決生活中問題的最有用的轉化思想。曹沖稱象，把大象轉化成了石頭；希臘學者阿基米德為國王鑒定過一頂王冠，看它是否是純金制成的，把這個問題轉化成了體積與質量的比；買同等材質的毛線，哪一卷長，可以轉化成稱重量等等，這些生活中真正的轉化才是我們學習的目的。如果在課堂中慢下來，讓學生把話說完，把想法加以細化，我想收獲會更大，因為學生全新的角度，也會給教師帶來新的思考、新的突破。所以課堂是師生共同成長的舞臺，“弟子不必不如師，師不必賢于弟子”，“慢”下來，讓學生帶我們從不同的角度欣賞數學的美。

圖2