《小數除法》單元分析及關鍵課例設計說明

文｜裴云姣 姜雪華

《小數除法》是北師大版五年級上冊第一單元的內容，這一單元內容繁、雜、難，知識點眾多。

一、有什么

首先，我們認真研讀《數學課程標準（2011年版）》、教師用書及教材，力圖較為準確地勾勒出單元教學目標及教材體系框架結構，分析本單元在教材知識體系及學生素養培養活動中所處的地位與作用。

其次，我們仔細對比北師大版與人教版單元課例結構。北師大版除數是整數的小數除法分3 個課時展開教學，例1 重在理解基本算理、算法；例2 解決被除數有余數和需要添0 繼續除的問題；例4、例5 解決商首位、中間不夠除，需添0 的問題。除數是小數的除法分為2 個課時，例6 是被除數和除數小數部分位數相同的除法，例7 呈現被除數和除數小數部分位數不同的問題。后續的其他關鍵課例重點學習：用四舍五入法取商的近似數；用計算器來探索除數大于1、小于1 和接近1 時被除數與商的大小關系；認識循環小數及四則混合運算和兩個專項練習。同時我們對比了人教版教材的單元目錄，發現從例1 到例5 大致與北師大版教材編排相符，只是在個別課時及例子關注點上與北師大版教材略有不同：比如北師大版的解決問題注重兩步混合運算的實際應用，人教版的解決問題注重用“去尾法、進一法”取近似值，而北師大版則是將這個知識點分散在一些練習之中。

二、缺什么

首先從知識的邏輯結構上來看。北師大版教材將《小數除法》安排在五年級上冊第一單元展開教學，該單元內容獨立，而人教版教材在第一單元學習了《小數乘法》之后，再過渡到第三單元的《小數除法》，內容更具關聯性，邏輯結構也更為合理。

其次從學生的認知結構上來看。學生對余數的意識較強，但是講不清算理，說明在知識的學習過程中會做題但是不明其“所以然”。同時，無論是北師大版還是人教版，都是借助“長度”或“分錢”的方式單純地理解小數部分“除”的道理和方法，這無形中割裂了小數部分“除”與整數部分“除”的內在聯系，直接影響學生對小數除法本質的深入理解。

三、補什么

從教學內容來看，近似數、循環小數等其他關鍵課例獨立性較強，不作調整。考慮到學生的已有經驗及學生的認知結構，我們思考了以下幾個問題：

首先考慮是否可以從整數除法引入，感受商是小數產生的必要性？

實際上，除數是整數的小數除法的真正生長點是有余數的除法，也就是在分物、測量等過程中如果有剩余，在整數范圍內是用“余數”來表示，而要想得到更精確的結果，就需要用小數（或分數）來表示。這樣，自然就產生了小數，其實這也是小數除法的源頭。由此看來，整數除法不僅是除數是整數的小數除法的邏輯基礎，也是其真正的教學起點。

其次考慮除數是整數的除法能否整合成2 課時展開教學？

對于例1“11.5÷5”學生已經有了怎樣的認知基礎呢？我們發現結合情境，學生基本能理解算理，主要的困惑點在于豎式中的余數，“15 個0.1”為什么寫“15”，而不是寫“1.5”。

基于以上思考，在整體遵循教材邏輯結構的同時，對例題的“邏輯順序”進行了微調，對內容進行了適當的整合與拓展，形成了本單元整合框架。

將被除數有余數需添0 繼續除與被除數無余數這兩節課整合成一個課時展開教學，感受小數除法的必要性，使之不獨立、不孤立。后續兩個例題的教學則體現其重要性：包括除法豎式的規范，溝通算理算法，強調除法的位值等。這樣更利于對比溝通整數除法與小數除法之間的區別與聯系，讓除數是整數除法的學習更具結構化。根據問題需要，更改了例題情境、數據，讓情境更具有現實意義，讓數據更具整體性。同時增加了小數除法巧算這一拓展內容，進一步理解小數除法的算理、算法。

四、教什么？

基于以上分析，我們確定了第一課時作為關鍵課例，創設連續情境，以“26÷4”回顧以往知識基礎，以“29.5÷5”作為重點鞏固，以“36.9÷6”進行運用拓展的情境串教學。

環節一：回顧舊知，生長新知

1.根據信息，提出數學問題。

預設1：某商店每本書多少元？

師：怎樣列式？口算甲商店每本書的價格。

2.從整除到帶余除法，提出質疑引思考。

師：后來甲商店的價格有所變化，（板書擦去24元，出現26 元）請再算一算。

預設2：結果是每本6 元余下2 元。

師：看來比6 元（多），比7 元又（少），余下的2 元還能繼續分嗎？怎么分？獨立嘗試，完成后可以和同桌交流一下你的想法。

3.反饋交流（展示部分學生作品）。

師：這個繼續往下分的過程在豎式中怎樣表示？

師：同學們在遇到余下2 元不夠除時，都想到了把2 元轉化成20 角繼續往下分的辦法，在豎式中又該怎樣表示呢？

【設計意圖：從整數除法引入，能自然喚醒舊知，不至于讓小數除法來得太突兀，再從整除到帶余除法，因為有了繼續往下分的需要，也就順理成章地產生了小數的需要，體會其必要性。】

環節二：自主探究，溝通算理

1.開放多元，大任務驅動。

活動要求：可以接著繼續研究甲商店中的問題，或者選擇其他兩個商店中的問題，并思考，通過這道題的研究，能為另外兩道題的解決提供哪些可借鑒的經驗？（展示學生作品）

（1）橫式VS 豎式。

師：仔細觀察，說說你看懂了什么，有什么疑問？

預設1：①和③是列式計算的，②和④是用豎式計算的。

預設2：①和②很相似，它們都把29.5 元進行兩次均分，先分25 元，再將剩下的4.5 元轉化成45角繼續分。

師：在豎式中找一找這兩次均分的過程，連一連。

師：你是怎么看出豎式中的45 表示的是45 角的？

小結：原來一個小小的小數點起到了分界的作用，小數點的左邊表示元，右邊表示角，所以這個45就表示45 角。

（2）正例VS 錯例。

師：方法②和方法④很相似，認為這里需要點上小數點的舉手，認為不需要的舉手，那就讓我們來場辯論賽吧，說說各自的理由。

小結：有了被除數中的小數點，豎式中的45 不寫小數點同樣能表示45 角，不寫更簡潔。

【設計意圖：以大任務為驅動，以大問題為導向，開展自主探究，借助課堂生成的資源展開教學，通過橫式與豎式的“連”，正例與錯例的“辯”，幫助學生進一步明晰算理，掌握算法。】

環節三：模型建構，溝通算理

1.具體VS 抽象。

師：29.5÷5 還能解決生活中的哪些問題呢？

預設1：把29.5 米長的繩子，平均分成5 份，每份長5.9 米。

師：此時，小數點前面的5 表示的是（米），小數點后面的這個9 表示的是（分米）。

師：繼續思考，如果小數點前面的5 表示5 個1，那么這個9 表示（9 個0.1），因為小數點左邊第一位是（個位），右邊第一位就是（十分位），那么這里的45就表示（45 個0.1）。

【設計意圖：幣值和長度是學生學習和理解小數除法意義的“腳手架”，在前測中發現，在具體的情境中，學生會更容易想到“繼續分”，學生在借助情境講述“29.5÷5”的“故事”中慢慢抽象到計數單位的描述，對于學生來說這種抽象的過程是至關重要的。】

環節四：多重對比，法明理通

師：哪些同學探究了另外兩個問題？請你向大家介紹自己的想法，其他同學邊聽邊思考，他們在解決問題的過程中與你研究的這道題有哪些相同的地方？

1.被除數無余VS 添0 再除。

預設1：我選擇的是26÷4 這道題，這個2 后面添個0，表示20 角，然后在商這里（6 的后面）點上小數點，這個5 就表示5 個1 角了，所以結果是6.5 元。

師：為什么要在商6 的后面添上小數點？

預設2：36.9÷6=6.15（元），把整數部分的36 先除以6，商是6，9 個0.1 平均分成6 份，商1，余3，添0繼續除，結果就是6.15 元。

師：從這位同學的表達中，你聽出了有幾次均分的過程，在豎式中指一指、說一說。

預設3：第一次分整數部分36 個1；第二次分9個0.1 商在十分位，余3 個0.1，轉化成30 個0.01 繼續分；第三次分30 個0.01，商在百分位。

（教師再次引導學生關注小數點的意義，引起共鳴：小數點大作用）

2.相同VS 不同。

師：觀察這些除數是整數的小數除法，它們之間有什么相同點和不同點？

預設1：關注小數點的問題，理解其意義，再次溝通整數除法與小數除法之間的關系。

預設2：關注余數的問題，溝通“降級再分”的算理。

師：通過今天的學習，我們發現余下的數不夠分時，可以“降級再分”，也就是轉化成更小的計數單位繼續往下除。

【設計意圖：對比是數學學習的重要手段，本環節通過被除數無余與有余的對比及三種類型同與不同的對比，緊緊圍繞“小數點”和“降級再分”這兩個要素展開交流，在多重對比中明晰算理，理通則法明。】