淺談初中數學分類討論思想在解題中的應用

肖燕

摘要：分類討論作為一種比較常見的數學思想，通過引導學生把握數學對象的內在規律，能夠幫助學生組織、歸納數學知識，可以有效促使學生的概括能力以及思維條理性得到良好發展。靈活運用分類思想充分分析題目，可以幫助學生對問題進行全面的分析，基于不同情況進行具體分析，得出不同的答案，可有效提高學生解答習題的正確率，并且分類思想的運用，還可以有效鍛煉學生邏輯思維。本文通過總結多年教學經驗，從初中數學解題教學視角出發，對分類討論思想的原則以及意義進行了分析，針對如何有效運用分類討論思想以提高解題教學的效果提出了幾點策略建議。

關鍵詞：數學習題;分類討論;數形結合

引言：學生步入初中階段后，無論是學習內容，亦或是思維方式等方面都產生了不小的變化。在初中數學教學中，分類討論不僅是教學重點，還是教學難點，為了對初中生進行選拔，中考試卷中通常會在設置分類討論題，對學生邏輯思維以及解題能力進行考查。因此，在平時的解題教學中，數學教師明確分類討論思想的重要性，并將這一思想通過教學傳達給學生，改善學生的數學思維，這樣學生在進行習題解答時，才可以充分分析題目，不僅可以確保答案的全面性、完整性，還可實現復雜問題簡單化，從而提高學生答題效率。

一、分類討論在代數中的應用

在初中數學教學中，代數是一個比較常見的知識點，學生一般會遇到各種各樣的相關問題，此時，學生需要對題目內容進行認真觀察，基于分類思想，對題目的多種情況進行全面分析。通常來說，在解答這類數學題時，需要引導學生展開多方位的思考，根據不同的情況分析題目。

以這一習題為例：x的方程（k-2）x^2+4x+2=0有實數根，求k的取值范圍。在進行這一類問題的解答時，基于分類討論思想分析題干，需要分兩種情況進行考慮：第一種，當k-2≠0的時候，這個方程為一元二次方程，那么判別式為△=4^2-4X2（k-2）=32-8K≥0，由此可以得出k≤4;第二種，當k-2=0時，方程為一元一次方程，4x+2=0，有實數根 ，綜上所述，若方程（k-2）x2+4x+2=0總有實數，則k≤4。基于分類思想，分情況進行習題解答，可最終得到正確、完整的答案。但是，如果學生缺乏分類討論思想，面對這類代數題，通常會無法產生解題思路，或者是提供的答案不完整。由此可見，分類討論思想對學生來說至關重要。

二、分類討論在幾何中的應用

（一）在三角形中的應用

1.全等三角形和相似三角形的存在性問題（這段請寫手根據實際情況展開）

2.特殊三角形（等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形）的存在性問題

例在平面直角坐標系中，O為原點，已知A（2，-1），P是x軸上的一個動點，若以P、O、A為頂點的三角形是等腰三角形，則符合條件的動點P的個數為（）

A.2B.3 C.4 D.5

分析：本題可分為三種情況：

①以OA為腰，若點O為頂角頂點時，以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸的交點有兩個;

②以OA為腰，若點A為頂角頂點時，以點A為圓心，OA長為半徑畫弧，與軸的交點有一個（除了點O外）;

③以OA為等腰三角形的底，作線段OA的垂直平分線與x軸的交點有一個。

所以在x軸上共有4個點，使得P、O、A為頂點的三角形是等腰三角形

（二）在四邊形中的應用

如平行四邊形、菱形、矩形、正方形的存在性問題，這類問題大多可轉化為特殊三角形的存在性問題來解決，

（三）在其他幾何（圓、線段、角）中的應用

在解答這道習題時：在一個直角坐標系中，直線 上有一個半徑為1的圓，圓心P點的坐標為（ ，m），將圓P向斜下方直線移動，移動速度為每秒1個單位，請問：圓P與x軸相切需要幾秒。這道習題中有一個關鍵信息，即“圓P與x軸相切”，所以必須運用分類討論思想，考慮到所有圓P與x軸相切的情況，之后針對不同情況進行解答，才能確保答案的完整性。首先，題干中提到圓P經過移動會與X軸相切，此時圓P處在第一象限，這是大多數學生都會想到的第一種情況，但還存在另外一種可能，當圓P與X軸相交之后，如果繼續沿著直線移動，當圓P移動到第三象限時，圓P與x軸會相切。因此對這道習題進行解答，必須運用分類討論思想，全面分析任何一種存在的可能，確保完整全面的解答該習題。在幾何問題的解答過程中，除了分類討論思想，還要注重運用數形結合思想，可以有效將抽象的數學知識進行轉化，學生可以清晰直觀的觀察已知條件，從而促使學生對題干形成深刻的理解，可有效促使學生的解題正確率獲得改善。

答時，主要涉及到線段和三角形，尤其是與三角形高相關的問題，靈活運用分類討論思想，分析所有存在的可能，并針對每一種可能進行解答，可確保答案的完整性。

以這樣一道習題為例：一個等腰三角形的兩條邊的邊長分別是5cm和7cm，求證：這個等腰三角形的周長是多少cm？很多學生閱讀這一題目時都認為這是一道簡單的習題，三下五除二就得出了答案，但是結果卻是錯誤的。這是由于學生進行習題解答時，沒有運用分類思想，導致得出的答案是片面的，所以教師在教學過程中，一定要滲透分類思想，促使學生養成全面分析問題的習慣和意識，這樣才能有效提高學生的數學思維，促使學生的數學學科核心素養全面提升。在拿到這個題目的時候，學生總是想當然的認為這個等腰三角形的腰長是5cm或者7cm，很難考慮到5cm和7cm都是這個等腰三角形腰長的情況，所以對于問題的思考不夠全面。在進行這道習題的回顧時，教師幫助學生明確分類討論思想的重要性，以及運用該思想進行習題解答的方式，幫助學生加深印象，才能有效促使學生的解題正確率獲得提高。

3.分類討論與圓

直線與圓的位置關系可以分為三種，分別為：直線與圓相切、直線與圓相交、直線與圓相離，在進行關于的圓的習題解答時，必須運用分類討論思想，全面考慮每一種可能存在的情況，確保答案的完整性。

2.分類討論與角

關于角的習題具有不確定性的特點，這是因為射線的位置和角的旋轉方向是不確定的，所以在進行關于角的習題解答中，要充分運用分類討論思想，結合題干中的已知條件，導入數形結合思想，先復制圖，再結合不同情況進行繪圖和思考，可以幫助學生對題目有更加直觀的了解。

以這樣的一道習題為例：已知 為30度，∠AOB 是∠BOC三倍，那么∠AOC 是多少度。學生可以先對題干進行分析，并將已知條件用繪畫的形式畫出來，并且要確保圖畫的準確性。結合題目中已經給出的確定條件，可以將 畫出來，但線段OA的方向是不確定的，線段OA可以在線段OB的上方，也可以在線段OB的下方，學生必須充分運用分類思想，才能對題干進行透徹分析，從而得到全面的答案。

結語：綜上所述，在初中數學解題過程中，分類討論思想是一個比較常見的解題方法，在測試題中出現頻率也比較高，而且，縱觀當前階段的數學試卷發現，總是有學生由于不善于運用分類討論思想，而導致給出的答案不完整，所以，教師要加強對分類討論思想的滲透，特別是代數、幾何、實際問題等，一定要有意識地滲透分類討論解題思想，幫助學生更加透徹地認識這一解題方法，并靈活運用到解題過程中，可有效幫助學生提高解答習題的效率和正確率。

參考文獻：

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