結構不良 數列稱王
——老師，我怎樣學會深度學習數列

王思儉

新高考試卷中出現的結構不良問題偏愛數列與解三角形，有何破解妙招？蘇州中學的“學霸”們正討論得熱火朝天！

“結構不良型”試題主要指試題的目標、條件和解決三者中至少有一個沒有明確界定的問題.將結構不良試題進行問題表征，即將題目設置的探索創新情境抽象成常規數學問題模型，是解決問題的關鍵.

新題速遞（2021·蘇州中學周練）在①an+1-an=；②an-an-1=8n-4(n≥2)兩個條件中，任選一個，補充在下面問題中，并求解.

問題：已知數列{an}中，a1=3，__________.

（1）求an；

敲黑板

先觀察題目結構特征，找出內在聯系，然后再確定解題策略.

疑惑的小A：考試時我先是選擇條件①，兩邊平方后，太煩瑣.利用條件②做，運算又出問題了.這兩個備選條件選哪一個較快呢？

“長手哥”點撥：對條件①一定要平方嗎？由條件②，可以想到什么數學模型？第（2）小題的模型應該采用什么策略呢？

機智的小B：若選①，可以發現兩個根式的被開方式之差恰好是“an+1-an”，于是利用添項去項和平方差公式可以轉化為等差數列問題.

由an+1-an=得(an+1+1)-(an+1)==，即

又a1=3，所以是首項為2，公差為2 的等差數列.

“長手哥”提醒：遇到“兩個根式”的組合，不要輕易平方；數列題中，已知式子的結構特征要分析到位；平方差公式頻繁出現，值得我們重視.

不服氣的小A：第（2）小題，直覺告訴我，應該是裂項求和法，先求和再放縮.

（小于1？真是奇哉怪也！題目有錯嗎？）

機智的小B：你太想當然啦！裂項時要注意等價性.括號外應該有因此

“長手哥”點撥：小A 思路正確，但由于裂項錯誤，導致求和錯誤，“知錯就改”，應檢查運算過程，及時發現失誤.

努力的小A：我選②求解時，用累加求和法，由an-an-1=8n-4(n≥2)可得：an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(8n-4)+(8n-12)+…+12+3=+3=4n2-1，所以當n∈N*時，an=4n2-1.

機智的小B：雖然你注意到了項數，但整個過程仍不嚴謹，你求的結論是當n≥2 的情況，還應檢驗n=1 的情況.應該補充：

當n=1 時，a1=3，符合an=4n2-1，所以當n∈N*時，an=4n2-1.

敲黑板

計算“陷阱”你踩了嗎？此時求和的項數不是n，而是n-1.

“長手哥”提醒：求解過程要規范嚴謹，簡潔明了，既不要拖泥帶水，也不要跳步缺項.本題的第（2）小題左邊不等式最容易證明，因為an＞0，因此Tn是單調遞增的數列，所以.你只有學會觀察，才會有更加簡潔的方法，且容易拿到應該拿到的分數.

經典再現（2020·山東模考卷）在①b1+b3=a2，②a4=b4，③S5=-25 這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值；若k不存在，說明理由.

設等差數列{an}的前n項和為Sn，{bn}是等比數列，________，b1=a5，b2=3，b5=-81，是否存在k，使得Sk＞Sk+1且Sk+1＜Sk+2？

自信的小A：這題比上一題復雜，我選擇了條件①，并且順利求解，但不知道是否其他條件是否更簡便.

根據題意，因為b2=3，b5=-81，{bn}是等比數列，所以q3==-27?，q=-3，b1==-1，所以bn=-(-3)n-1.由b1=a5，得a5=-1.

獲知關于{bn}全部信息，獲知a5，缺d.

選①，b1+b3=a2時，a2=-10，又a5=-1，所以d=3，a1=-13，

要使Sk+1＜Sk，且Sk+1＜Sk+2，

敲黑板

先觀察題干條件，能提供給我們什么信息？還需要什么條件才能求解？

機智的小B：將要求的不等式等價轉化為ak+1＜0，ak+2＞0，即-1+3 (k-4)＜0且-1+3(k-3)＞0，即因為k∈Z，所以k=4.

“長手哥”點評：這種思路繞過求和，直接利用通項公式的性質來求解，非常簡潔.實際上，選②最簡單，這是因為最終目標轉化為ak+1＜0，ak+2＞0，于是公差d＞0.因為a4=b4時，a5=-1，a4=b4=27.所以d=a5-a4=-2 8＜0，與d＞0 矛盾，所以k不存在.

勤奮的小A：若選③，因為S5=-25，利用等差數列性質得S5=5a3，即a3=-5.

因為又a5=-1，所以d=2，a1=-9.所以前七項為-9，-7，-5，-3，-1，1，3，而等差數列是單調遞增數列，所以k=4 符合題意.

敲黑板1.“結構不良型”試題一般比較基礎，需要我們細致而快速審題；2.迅速做出選擇，補充完整結構，不必過于糾結；

3.具有一定的開放性、探究性，結論并不一定統一.

實戰演練

在①對任意n≥2，n∈N＊，滿足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)，②Sn+1-2=Sn+an，③Sn=nan+1-n(n+1)這三個條件中任選一個，補充在下面問題中.

問題：已知數列{an} 的前n項和為Sn，a2=4，________，若數列{an}是等差數列，求數列{an}的通項公式；若數列{an}不一定是等差數列，說明理由.