條條大路通圓心
——小議與圓相關的距離問題

韓 敏

在判斷直線與圓的位置關系和圓與圓的位置關系時，可以通過距離來衡量.我們看兩個簡單的結論：

結論1：已知點P(x0,y0)在圓M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0) 的外面，則圓M上任一點到點P距離的最大值為最小值為

圓是最完美的曲線，正因為其完美，很多的距離問題都與之相關.

結論2：已知直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)與圓M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)相離，則圓M上任一點到直線l距離的最大值為最小值為

敲黑板

有些習題“套路深”，在表述的過程中，會故意避免“距離”一詞的出現，從而讓距離問題披上了一層神秘.

你發現了嗎？結論1 的本質是點與點之間的距離，而結論2 的本質是點到直線之間的距離.

一、將“距離”隱藏

1.利用不等式道“距離”

例 1圓C:(x-h)2+(y-1)2=1在不等式x+y+1≥0 所表示的區域內，則h的最小值為________.

解析二元一次不等式可以表示一條直線的某一側平面區域，圓在該區域內即要求圓心到直線的距離大于或等于半徑.

同時要求圓心(h,1) 在直線x+y+1=0 的上方，所以h≥-2，

即h的最小值為-2.

2.利用幾何圖形道“距離”

例 2過直線l:y=2x上一點P作圓C:(x-8)2+(y-1)2=2的切線l1,l2，若l1,l2關于直線l對稱，則點P到圓心C的距離為________.

解析因為l1,l2關于直線l對稱，所以有CP⊥l，即求圓心到直線的距離.

二、將“圓”隱藏

1.利用軌跡方程得到“隱形圓”

例 3在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:(x-a)2+(y-a+2)2=1及點A(0,2)，若圓上存在點M，滿足MA2+MO2=10，則實數a的取值范圍是________.

解析由MA2+MO2=10 可知點M的軌跡為圓，所以本題實際上是圓與圓的位置關系，要求的是兩個圓心之間的距離的范圍.

設點M(x,y)，由MA2+MO2=10 可知：x2+(y-2)2+x2+y2=10，

化簡得圓C′：x2+(y-1)2=4.

所以該圓C′與圓C相交，則有

2.利用圓的定義得到“隱形圓”

例 4在平面直角坐標系xOy中，△ABC的外接圓方程為x2+y2=4，∠ACB=

M為AB邊的中點，設P(-2,2)，則線段PM長度的取值范圍是__________.

解析由∠ACB=可知∠AOB=，MO=1，所以點M的軌跡為圓，實際上是圓上一點與圓外一點的距離問題.

由∠ACB=，知∠AOB=，所以OM=OAcos60°=1，

圖1

所以點M的軌跡方程為x2y2+=1，點M在以O為圓心，半徑為1 的圓上.

又P(-2,2)，則OP=，所以

所以線段PM長度的取值范圍是

三、將存在性問題轉化為距離

1.利用圖形的對稱性進行轉化

例 5已知圓C的方程為x2+y2-4x=0，若直線y=k(x+1)上存在一點P，使得過點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則實數k的取值范圍是__________.

解析因為所作的兩條切線是垂直的，所以點P和兩個切點，圓心四個點構成一個正方形.

圓C的方程為(x-2)2+y2=4，圓心為C(2,0)，所以圓心到直線的距離

2.利用直角三角形進行轉化

例 6設點M(x0,1)，若在圓O:x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是________.

解析直線MN與圓O有公共點，即圓心O到直線MN的距離小于等于1.

如圖2，過OA⊥MN，垂足為A，

在Rt△OMA中，因為∠OMN=45°，所以|OA|=|OM|sin 45°=解得|OM|≤

因為點M(x0,1)，所以解得-1≤x0≤1，

故x0的取值范圍是[-1,1].

圖2

牛刀小試

1.已知直線ax+y-2=0 與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數a=________.

2.在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l:y=2x-4，設圓C的半徑為1，圓心在直線l上，若圓C上的點M，滿足MA=2MO，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為________.

3.圓C的方程(x-1)2+(y-1)2=9，直線l:y=kx+3與圓C相交于A,B兩點，M為弦AB上一動點，以M為圓心，2 為半徑的圓與圓C總有公共點，則實數k的取值范圍是________.