含多剛性約束的兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析

王世俊，同長(zhǎng)虹，羅冠煒

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070；2.蘭州城市學(xué)院 培黎機(jī)械工程學(xué)院，蘭州 730070；3.蘭州交通大學(xué) 甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730070)

機(jī)械系統(tǒng)各個(gè)零部件之間、零部件與固定邊界之間，由于生產(chǎn)安裝的需要以及加工精度的限制不可避免地存在間隙與約束。間隙和約束的存在使機(jī)械系統(tǒng)在工作時(shí)會(huì)發(fā)生碰撞振動(dòng)，從而導(dǎo)致機(jī)械系統(tǒng)的噪聲水平加劇、零部件加速磨損。沖擊振動(dòng)動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)于具有沖擊振動(dòng)和運(yùn)動(dòng)限制約束的機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能和噪聲抑制的匹配設(shè)計(jì)具有實(shí)際意義。人們對(duì)揭示沖擊振動(dòng)動(dòng)力學(xué)的基本性質(zhì)并擴(kuò)展其在實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)中的應(yīng)用表現(xiàn)出了濃厚的興趣，這一領(lǐng)域的研究不斷增加。Shaw等[1]研究了一類單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中存在基本周期碰撞振動(dòng)、亞諧碰撞振動(dòng)以及混沌等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，并且討論了擦邊分岔可能導(dǎo)致的奇異性，使光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中所使用的一些研究方法無法直接應(yīng)用于非光滑系統(tǒng)的分岔研究中。Nordmark[2]在含剛性約束正弦激勵(lì)的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)中，應(yīng)用定性分析的方法研究了由擦邊分岔而產(chǎn)生的奇異點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)控制單個(gè)參數(shù)變化時(shí)穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)會(huì)發(fā)生擦邊分岔而進(jìn)入非周期運(yùn)動(dòng)，同時(shí)給出了系統(tǒng)發(fā)生擦邊分岔的判定準(zhǔn)則。在Nordmark開創(chuàng)性研究的基礎(chǔ)上，關(guān)于擦邊分岔奇異性的研究大量展開。Weger等[3]通過試驗(yàn)研究證實(shí)了一類含間隙-彈性約束系統(tǒng)Grazing分岔的存在性及其伴隨涌現(xiàn)的部分行為特征。Humphries等[4]用不連續(xù)幾何的觀點(diǎn)研究了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Grazing分岔和鞍結(jié)分岔的關(guān)聯(lián)關(guān)系，揭示了Grazing分岔臨界點(diǎn)鄰域內(nèi)鞍結(jié)分岔時(shí)而出現(xiàn)時(shí)而消失的原因。碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在低頻區(qū)域表現(xiàn)出顫碰振動(dòng)，受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[5-10]。Wagg研究了兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在低頻條件下具有黏滯特性的完整顫碰振動(dòng)，并利用數(shù)值分析解釋了顫碰-黏滯解的“隆起”現(xiàn)象。

隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算性能的不斷提升，許多學(xué)者在整個(gè)參數(shù)域范圍內(nèi)研究碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。Zhang等[11]針對(duì)一類具有正弦變化的中心載荷的黏性阻尼的淺拱系統(tǒng)，研究了其給定參數(shù)下的大量共存吸引子，并分析了其存在邊界。文獻(xiàn)[12-15]較為系統(tǒng)地研究了單自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)在具有單側(cè)或雙側(cè)約束時(shí)，在雙參數(shù)平面上的動(dòng)力學(xué)行為。李國芳等[16]研究了一類兩自由度自驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性，通過獲得其在雙參數(shù)域的平均驅(qū)動(dòng)速度分布圖，得到了系統(tǒng)參數(shù)選擇的最佳范圍。文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[18]分別研究了具有單側(cè)剛性約束和雙側(cè)剛性約束的兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，定義了基本周期運(yùn)動(dòng)群p/1，通過多參數(shù)協(xié)同仿真，在雙參數(shù)域平面研究了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能與參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，并研究了系統(tǒng)非完整顫碰撞振動(dòng)和完整顫碰撞振動(dòng)的產(chǎn)生機(jī)理。隨著碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的研究不斷深入，其研究方法應(yīng)用于許多工程實(shí)際。呂小紅等[19]以小型振動(dòng)沖擊式打樁機(jī)為工程背景，研究了沖擊鉆進(jìn)系統(tǒng)的各類周期振動(dòng)在二維參數(shù)平面內(nèi)的存在區(qū)域和分布規(guī)律，揭示了基本周期沖擊振動(dòng)p/1的分岔特點(diǎn)。Yan等[20-22]研究了切削系統(tǒng)中非線性動(dòng)力學(xué)行為。高學(xué)軍等[23-24]研究了車輛系統(tǒng)蛇行運(yùn)動(dòng)中輪軌沖擊振動(dòng)。伍新等[25]以振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)為研究對(duì)象，研究了系統(tǒng)在雙參數(shù)平面發(fā)生Neimark-Sacker分岔的區(qū)域，并以此為依據(jù)設(shè)計(jì)系統(tǒng)工作的概周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間。石建飛等[26]研究了兩自由度減振鏜桿系統(tǒng)的安全盆侵蝕與分岔，以此指導(dǎo)減振鏜桿的設(shè)計(jì)及參數(shù)優(yōu)化。Zhai等[27]研究了三大件式貨車系統(tǒng)的蛇行運(yùn)動(dòng)的橫向穩(wěn)定性，考慮了一系懸掛中軸箱與導(dǎo)框間隙、干摩擦等強(qiáng)非線性因素的影響。

在以往的研究中，研究的動(dòng)力學(xué)模型主要為：具有單側(cè)約束或雙側(cè)約束的單自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)；僅與固定約束間存在間隙的或兩質(zhì)塊間存在約束、間隙的兩自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)。針對(duì)兩自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)，并同時(shí)具有多處約束、間隙的研究較少，而多間隙、約束條件下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性更加能反映機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際工作狀況。在研究方法上，以往的研究中主要借助單參數(shù)分岔圖分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，這很難在整個(gè)參數(shù)域范圍揭示系統(tǒng)的分岔特性、周期運(yùn)動(dòng)的模式類型和存在區(qū)域?？紤]到實(shí)際的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)常?？梢院?jiǎn)化為兩自由度、多間隙、約束的沖擊振動(dòng)系統(tǒng)，而雙參數(shù)協(xié)同仿真能在整個(gè)參數(shù)域范圍描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，從而為系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供更為有效的理論指導(dǎo)。本文針對(duì)含多剛性約束的兩自由度機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)，采用多參數(shù)協(xié)同仿真的研究方法，分析了在激振頻率和間隙值所組成的(ω,δ)-參數(shù)平面上基本周期碰撞振動(dòng)、亞諧碰撞振動(dòng)的存在區(qū)域和轉(zhuǎn)遷規(guī)律，以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化時(shí)對(duì)其的影響。

1 力學(xué)模型

圖1 力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model

引入無量綱時(shí)間和參數(shù)

(1)

得圖1模型的無量綱運(yùn)動(dòng)方微分程

(2)

兩質(zhì)塊與剛性約束面碰撞前后的瞬時(shí)速度為

(3)

兩質(zhì)塊相互碰撞前后瞬時(shí)速度可根據(jù)動(dòng)量守恒確定

(4)

對(duì)于碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，部分參數(shù)條件下質(zhì)塊Mi可能于某個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間區(qū)段內(nèi)黏滯于剛性約束面處。圖1模型是帶有多剛性約束的振動(dòng)系統(tǒng)，因此系統(tǒng)有可能在某運(yùn)動(dòng)時(shí)間區(qū)段內(nèi)于多處剛性約束面呈現(xiàn)黏滯現(xiàn)象。由黏滯現(xiàn)象發(fā)生的條件可以分析出質(zhì)塊Mi在各剛性約束面的黏滯條件：

(5)

直至該合力改變方向，即F1(t)<0；

(6)

直至該合力改變方向，即F1(t)>0；

(7)

直至該合力改變方向，即F2(t)>0；

(8)

式中，N(t)為兩質(zhì)塊間的相互作用力。

(9)

當(dāng)N(t)>0，兩質(zhì)塊黏滯在一起發(fā)生同步運(yùn)動(dòng)，直至其相互作用力消失，即N(t)=0。

部分無量綱參數(shù)的最大取值范圍是可確定的，如μm∈(0,1)，μk∈(0,1)，μc∈(0,1)，f∈[0,1]，為分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性與參數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系提供了便利。多約束誘發(fā)了振動(dòng)系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。以質(zhì)塊M1和約束A1的雙側(cè)碰撞、質(zhì)塊M2和約束A2的單側(cè)碰撞、質(zhì)塊M1和質(zhì)塊M2在約束A12的相互碰撞來描述圖1系統(tǒng)的周期碰撞振動(dòng)的模式類型。對(duì)于約束A12和約束A2處的單邊碰撞，采用符號(hào)p/n來描述系統(tǒng)在單邊約束處的周期碰撞振動(dòng)的模式類型；對(duì)于約束A1處的雙邊碰撞，采用符號(hào)n-r-q來描述系統(tǒng)于雙邊約束處的周期碰撞振動(dòng)的模式類型，其中：n為系統(tǒng)的振動(dòng)周期與激勵(lì)力周期的比值(n=1,2,3,…)；p為在單邊約束處的碰撞次數(shù)(p=0,1,2,3,…)；r和q分別為雙邊約束左側(cè)和右側(cè)碰撞次數(shù)(r,q=0,1,2,3,…)。對(duì)于n=1時(shí)，存在單側(cè)碰撞和雙側(cè)碰撞的基本周期運(yùn)動(dòng)群p/1(p≥1)和1-r-q(r,q≥1)，而0/1和1-0-0分別向1/1和1-1-1(或1-0-1，1-1-0)轉(zhuǎn)遷規(guī)律與p/1和1-r-q分別向(p+1)/1和1-(r+1)-(q+1)(或1-r-(q+1)，1-(r+1)-q)相類似，從而將0/1和1-0-0也納入基本周期運(yùn)動(dòng)群。多參數(shù)仿真分析中為辨識(shí)描述各約束處的周期和碰撞的特征符號(hào)的值n，p，r和q，建立如下幾種Poincaré截面

(10)

X(i+1)=f(X(i),μ)

(11)

2 系統(tǒng)碰撞振動(dòng)模式類型和分岔特性

機(jī)械系統(tǒng)常發(fā)生構(gòu)件與約束的碰撞振動(dòng)，同時(shí)也存在構(gòu)件間的碰撞振動(dòng)。在圖1模型中，可以將間隙分為兩類，即兩質(zhì)塊與固定約束之間的間隙δ1和δ3以及兩質(zhì)塊之間的間隙δ2?？紤]δ1和δ3取定值，δ2變化情況(記為δ2=δ)，選取參數(shù)μm=0.5，μk=0.5，μc=0.5，ζ=0.1，R=0.8，δ1=δ3=0.95為基準(zhǔn)參數(shù)。激振頻率ω和兩質(zhì)塊之間的間隙δ作為分岔參數(shù)，通過多目標(biāo)多參數(shù)協(xié)同仿真可以獲得在(ω,δ)-參數(shù)平面上系統(tǒng)各類周期碰撞振動(dòng)的發(fā)生域、相鄰周期碰撞振動(dòng)間的轉(zhuǎn)遷規(guī)律以及分岔特性。在(ω,δ)-參數(shù)平面的二維參數(shù)圖中，用不同深淺的顏色標(biāo)記不同類型運(yùn)動(dòng)，并用p/n標(biāo)識(shí)單邊約束的碰撞振動(dòng)，n-r-q標(biāo)識(shí)雙邊約束的碰撞振動(dòng)。圖2中未標(biāo)識(shí)的深灰色區(qū)域主要是模式類型為概周期和混沌的碰撞振動(dòng)，以及未辨識(shí)周期碰撞振動(dòng)(主要包括周期數(shù)或者碰撞次數(shù)過高且發(fā)生域極小的周期碰撞振動(dòng))。下文圖中：Gr為Real Grazing實(shí)擦邊分岔；Gb為Bare Grazing虛擦邊分岔；PD為周期倍化分岔。

圖2 不同激振力分配比f條件下，振動(dòng)系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面內(nèi)周期碰撞振動(dòng)的模式類型和分布區(qū)域Fig.2 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different force distribution ratios f

參數(shù)f反映了激振力在質(zhì)塊M1和M2間的分配比例，f越小則M2上的激振力分配比例越小，首先分別考慮不同激振力分配比f=0.5，f=0.8，f=0時(shí)的三種工況。

當(dāng)f=0.5時(shí)，即激振力平均分配于質(zhì)塊M1和M2。在圖2(a)～圖2(c)中，可觀察到反映各約束處的周期碰撞振動(dòng)在(ω,δ)-參數(shù)平面上的發(fā)生域和分岔特征。在約束A1處，如圖2(a)所示，(ω,δ)-參數(shù)平面上質(zhì)塊M1于約束A1處主要呈現(xiàn)非碰撞振動(dòng)1-0-0，僅在ω=1.0附近的帶狀區(qū)域，存在基本周期碰撞振動(dòng)1-0-1，1-1-0，1-1-1 和1-2-1，在ω=1.0左側(cè)較小激振力頻率的帶狀域內(nèi)質(zhì)塊M1呈現(xiàn)單側(cè)碰撞振動(dòng)1-0-1，隨激振頻率增大1-0-1振動(dòng)轉(zhuǎn)遷為1-1-1振動(dòng)；在約束A2處，如圖2(c)所示，基本周期碰撞振動(dòng)1/1的帶狀發(fā)生域和約束A1處的基本周期碰撞振動(dòng)(1-0-1，1-1-1和1-1-0)的總發(fā)生域基本一致；在約束A12處，如圖2(b)所示，(ω,δ)-參數(shù)平面上除ω=1.0附近的小間隙參數(shù)域內(nèi)存在2/1振動(dòng)，其余參數(shù)域?qū)?yīng)的振動(dòng)類型基本上為無碰撞振動(dòng)0/1。由于該模型中多約束和間隙的存在，質(zhì)塊不僅和固定約束之間存在碰撞振動(dòng)，質(zhì)塊之間也存在相互碰撞振動(dòng)，但在激振力平均分配于質(zhì)塊M1和M2工況下，系統(tǒng)于(ω,δ)-參數(shù)平面的較大參數(shù)域內(nèi)呈現(xiàn)非碰撞周期振動(dòng)，少量的基本周期碰撞振動(dòng)主要發(fā)生于ω=1.0附近的帶狀區(qū)域。

圖3 系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的相圖，f=0.8，ω=1.1，δ=0.6Fig.3 Phase plane portraits of the system periodic motion,f=0.8，ω=1.1，δ=0.6

圖4 系統(tǒng)的總體分岔圖，f=0，δ=0.4Fig.4 Bifurcation diagrams of the system,f=0，δ=0.4

圖5 系統(tǒng)完整顫碰振動(dòng)的時(shí)間響應(yīng)圖，f=0，ω=0.05，δ=0.4Fig.5 Time series of complete chattering-impact motion,f=0，ω=0.05，δ=0.4

圖7 基本周期振動(dòng)及相關(guān)舌形域內(nèi)的單參數(shù)分岔圖Fig.7 Bifurcation diagrams of fundamental impact motions and related tongue-shaped regions

通過對(duì)舌形域(Ⅰ)和舌形域(Ⅱ)的研究，可以發(fā)現(xiàn)低頻域內(nèi)基本周期碰撞振動(dòng)p/1向(p+1)/1轉(zhuǎn)遷規(guī)律，此時(shí)的變化主要表現(xiàn)在振動(dòng)周期與激勵(lì)力周期的比值n=1不變，碰撞次數(shù)p隨著ω的減小并伴隨著Grazing分岔的發(fā)生而遞增。如圖6(e)所示的參數(shù)域中，可以觀察到隨著間隙值δ增大，碰撞次數(shù)p=1不變，周期數(shù)n逐次增加的亞諧振動(dòng)區(qū)域，其參數(shù)域呈半環(huán)狀層疊分布，并且隨著周期數(shù)n的增加逐步收窄，為了方便起見，此處區(qū)域記為半環(huán)狀域(Ⅰ)。相鄰的半環(huán)狀域1/n運(yùn)動(dòng)和1/(n+1)運(yùn)動(dòng)之間夾雜了復(fù)雜的亞諧碰撞振動(dòng)。以1/1運(yùn)動(dòng)和1/2運(yùn)動(dòng)為例，其間夾雜的亞諧碰撞振動(dòng)主要有：2/3，3/4，4/5，4/6，5/6，6/7，6/8運(yùn)動(dòng)。

圖6 圖2(h)的局部描述Fig.6 Partial description of figure 2(h)

3 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)周期碰撞振動(dòng)模式類型和分布域的影響

系統(tǒng)無量綱化參數(shù)μm，μk，μc取值范圍是(0,1)，在基準(zhǔn)參數(shù)時(shí)的取值是0.5，這里可以在取值范圍內(nèi)選取具有代表性的值，研究系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)周期碰撞振動(dòng)模式類型和分布區(qū)域的影響。這里選擇f=0的工況進(jìn)行研究，該工況能夠較好地反映低頻域內(nèi)，質(zhì)塊M1與約束A1，質(zhì)塊M1和質(zhì)塊M2于約束A12碰撞振動(dòng)的模式類型，并表現(xiàn)出了較為豐富的低頻動(dòng)力學(xué)特性。此時(shí)的基準(zhǔn)參數(shù)為：μm=0.5，μk=0.5，μc=0.5，ζ=0.1，R=0.8，δ1=0.95，f=0。這里主要考慮系統(tǒng)的阻尼系數(shù)ζ，質(zhì)量分布比μm，剛度分布比μk分別選取不同參數(shù)值時(shí)對(duì)于振動(dòng)系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面上碰撞振動(dòng)模式類型和分布域的影響。

圖8 不同阻尼系數(shù)ζ條件下，振動(dòng)系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面內(nèi)周期碰撞振動(dòng)的模式類型和分布區(qū)域Fig.8 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different damping coefficient ζ

圖9 系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖，ζ=0.2，δ=0.4Fig.9 Bifurcation diagrams of the system,ζ=0.2，δ=0.4

可見，振動(dòng)系統(tǒng)隨著阻尼系數(shù)ζ的增大，關(guān)聯(lián)約束A1和約束A12的(ω,δ)-參數(shù)平面中基本周期碰撞振動(dòng)的存在域增大，亞諧碰撞振動(dòng)以及未識(shí)別的碰撞振動(dòng)模式類型以及存在域減?。魂P(guān)聯(lián)約束A12的(ω,δ)-參數(shù)平面中基本周期碰撞振動(dòng)p/1的帶狀域隆起減小，相鄰基本周期碰撞振動(dòng)轉(zhuǎn)遷過程中的舌形域減小。

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，各構(gòu)件的質(zhì)量常常不相等，質(zhì)量分布比μm作為重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)影響著系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。在μm∈(0,1)的參數(shù)范圍，按照間隔Δμm=0.1等間隔取值，可以繪制不同μm下的(ω,δ)-參數(shù)平面上的雙參數(shù)圖，這里選取較小值μm=0.2和較大值μm=0.8與基準(zhǔn)參數(shù)相比較。質(zhì)量分布比越大，則質(zhì)塊M2在總質(zhì)量(M1+M2)中所占的比值越大。當(dāng)μm=0.2時(shí)，與約束A1關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖10(a)所示，低頻域內(nèi)質(zhì)塊M1對(duì)于約束A1左側(cè)的單邊基本周期碰撞振動(dòng)1-r-0其分布區(qū)域與基準(zhǔn)參數(shù)μm=0.5時(shí)大致相同；在中等頻率域，具有雙邊碰撞的基本周期運(yùn)動(dòng)1-1-1的存在域向較小間隙閾延伸，并且其間嵌入的亞諧碰撞振動(dòng)顯著減少(主要形式為2-2-2運(yùn)動(dòng))，單側(cè)碰撞振動(dòng)1-1-0存在域減小；高頻域內(nèi)(ω,δ)-參數(shù)平面右側(cè)大部分區(qū)域呈現(xiàn)為周期數(shù)n=1非碰撞振動(dòng)1-0-0，夾雜了少量的無碰狀運(yùn)動(dòng)2-0-0，3-0-0，4-0-0。關(guān)聯(lián)約束A12的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖10(b)所示，參數(shù)平面右上角區(qū)域主要呈現(xiàn)為無碰撞振動(dòng)0/1，中等頻率域主要呈現(xiàn)為基本周期碰撞振動(dòng)，其間夾雜了少量的亞諧碰撞振動(dòng)(主要為1/2，2/2，1/3)；低頻域內(nèi)基本周期碰撞振動(dòng)p/1(p≥2)的帶狀域被黏滯運(yùn)動(dòng)參數(shù)域和未標(biāo)識(shí)的深灰色區(qū)域切割，完整性遭到了破壞。約束A2處如圖10(c)所示。當(dāng)μm=0.8時(shí)，與約束A1關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖10(d)所示，低頻域內(nèi)質(zhì)塊M1對(duì)于約束A1左側(cè)的基本周期碰撞振動(dòng)1-r-0(r≥2)存在域與基準(zhǔn)參數(shù)時(shí)類似，中等頻域內(nèi)主要呈現(xiàn)為1-1-0運(yùn)動(dòng)，其間嵌入了大量的未識(shí)別灰色區(qū)域以及亞諧碰撞振動(dòng)(主要為2-2-0，3-3-0運(yùn)動(dòng))。與約束A12關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖10(e)所示，低頻域內(nèi)黏滯運(yùn)動(dòng)的發(fā)生域收窄，基本周期碰撞振動(dòng)p/1(p≥2)的帶狀域變寬，相鄰基本周期碰撞振動(dòng)間的舌形轉(zhuǎn)遷域變得很小而不易觀察；中頻域內(nèi)主要呈現(xiàn)為基本周期碰撞振動(dòng)1/1，亞諧碰撞振動(dòng)1/2，2/3，3/4，以及較多的未識(shí)別灰色區(qū)域。約束A2處如圖10(f)所示。

圖10 不同質(zhì)量分配比μm條件下，振動(dòng)系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面內(nèi)周期碰撞振動(dòng)的模式類型和分布區(qū)域Fig.10 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different mass ratios μm

可見，較小的質(zhì)量分布比μm，使振動(dòng)系統(tǒng)在關(guān)聯(lián)各約束處的(ω,δ)-參數(shù)平面上基本周期碰撞振動(dòng)存在域增大，亞諧碰撞振動(dòng)和未識(shí)別的灰色區(qū)域急劇減?。惠^大的質(zhì)量分布比μm使(ω,δ)-參數(shù)平面上基本周期碰撞振動(dòng)的存在區(qū)域減小，同時(shí)嵌入較多的亞諧碰撞振動(dòng)和包含概周期運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)以及未識(shí)別運(yùn)動(dòng)的深灰色區(qū)域，使振動(dòng)系統(tǒng)在關(guān)聯(lián)各個(gè)約束的(ω,δ)-參數(shù)平面的運(yùn)動(dòng)模式類型更為復(fù)雜且不可預(yù)測(cè)。

約束剛度分布比μk表示質(zhì)塊M2固定于基座的剛度K2，在總剛度(K1+K2)中所占的比值，μk越大則表示剛度K2相較于剛度K1越大。在μk∈(0,1)的參數(shù)范圍，按照間隔Δμk=0.1等間隔取值，選取較小值μk=0.2和較大值μk=0.8與基準(zhǔn)參數(shù)相比較。當(dāng)μk=0.2時(shí)，與約束A1關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖11(a)所示，低頻域內(nèi)質(zhì)塊M1對(duì)于約束A1左側(cè)的單邊基本周期碰撞振動(dòng)1-r-0(r≥2)以及黏滯運(yùn)動(dòng)的存在域向小間隙壓縮而減小，特別是1-2-0運(yùn)動(dòng)的存在域相較于基準(zhǔn)參數(shù)時(shí)顯著減小，而雙邊基本周期碰撞振動(dòng)1-2-1的存在域顯著增加；在激振頻率ω增大的方向上，依次主要呈現(xiàn)為基本周期碰撞振動(dòng)1-1-1，1-1-0，亞諧碰撞振動(dòng)2-2-2，2-2-1，6-5-2的帶狀域；在高頻域小間隙范圍嵌入了較大存在區(qū)域的深灰色區(qū)域，以及高周期數(shù)n的無碰撞振動(dòng)(主要為2-0-0，3-0-0，4-0-0)。與約束A12關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖11(b)所示，低頻域內(nèi)的基本周期碰撞振動(dòng)p/1(p≥2)的帶狀域相較于基準(zhǔn)參數(shù)時(shí)顯著收窄，并且弓形的隆起幾乎消失，相鄰基本周期碰撞振動(dòng)間的舌狀域也隨之減??；在中等頻率域內(nèi)，主要呈現(xiàn)為亞諧碰撞振動(dòng)1/2，2/2，4/6，2/3，基本周期碰撞振動(dòng)1/1的存在域減??；高頻域小間隙范圍，主要呈現(xiàn)為亞諧碰撞振動(dòng)1/3，1/2，1/4，以及較大面積的灰色區(qū)域。約束A2處如圖11(c)所示。當(dāng)μk=0.8時(shí)，與約束A1關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖11(d)所示，低頻域內(nèi)基本周期碰撞振動(dòng)1-r-0(r≥2)的帶狀域中嵌入了大量的深灰色區(qū)域，雙邊基本周期碰撞振動(dòng)1-2-1，1-1-1向較大間隙閾收縮使其存在區(qū)域急劇減??；中等頻率內(nèi)主要呈現(xiàn)為單邊基本周期碰撞振動(dòng)1-1-0，其間嵌入了少量的亞諧碰撞振動(dòng)(主要為2-2-0)，以及深灰色區(qū)域；高頻域范圍主要呈現(xiàn)為無碰撞周期振動(dòng)。與約束A12關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面，如圖11(e)所示，低頻域內(nèi)基本周期碰撞振動(dòng)p/1(p≥2)的帶狀域顯著變寬，弓形隆起更為突出，相鄰基本周期碰撞振動(dòng)帶狀域之間夾雜的舌形域增大；中等頻域內(nèi)，基本周期運(yùn)動(dòng)1/1，1/2存在域內(nèi)嵌入了較大面積的深灰色區(qū)域，以及少量的亞諧碰撞振動(dòng)(主要為6/2，2/3)。約束A2處如圖11(f)所示。

圖11 不同約束剛度比μk條件下，振動(dòng)系統(tǒng)在(ω,δ)-參數(shù)平面內(nèi)周期碰撞振動(dòng)的模式類型和分布區(qū)域Fig 11 Pattern types and existence regions of periodic-impact motions of the vibration system in the (ω,δ)-parameter plane with different constraint stiffness ratios μk

可見，較小的剛度分布比μk使振動(dòng)系統(tǒng)在與約束A1關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面上低頻域內(nèi)雙邊基本周期碰撞振動(dòng)存在域增大，中等頻域內(nèi)呈現(xiàn)較多的亞諧碰撞振動(dòng)；與約束A12關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面上，低頻域內(nèi)，基本周期碰撞振動(dòng)p/1(p≥2)帶狀域變窄、弓形隆起消失并且向低頻域壓縮。當(dāng)剛度分布比μk較大時(shí)，與約束A1關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面上低頻域內(nèi)雙邊基本周期碰撞振動(dòng)存在域減小并嵌入了較多的深灰色區(qū)域。與約束A12關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面上，基本周期碰撞振動(dòng)p/1(p≥2)的帶狀域增寬、弓形隆起進(jìn)一步加劇，相鄰基本周期碰撞振動(dòng)間的舌形域面積增大。

4 結(jié) 論

本文研究了含多剛性約束的兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，通過多目標(biāo)、多參數(shù)協(xié)同仿真獲得了關(guān)聯(lián)各個(gè)約束的(ω,δ)-參數(shù)平面上周期碰撞振動(dòng)的模式類型和分布區(qū)域。

(1) 當(dāng)激振力分配比f取幾種典型工況：f=0.5，f=0.8，f=0時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)在與各約束關(guān)聯(lián)的(ω,δ)-參數(shù)平面上周期碰撞振動(dòng)呈現(xiàn)為不同的模式類型和分布區(qū)域。當(dāng)f=0.5時(shí)，各個(gè)約束處主要呈現(xiàn)為無碰撞周期運(yùn)動(dòng)，僅在ω=1.0呈現(xiàn)簡(jiǎn)單的周期碰撞振動(dòng)模式類型。當(dāng)f=0.8時(shí)，低頻域內(nèi)，基本周期碰撞振動(dòng)、非完整及完整顫沖擊振動(dòng)主要存在約束A12處，約束A1以及A2處無碰撞振動(dòng)。當(dāng)f=0時(shí)，關(guān)聯(lián)約束A1和約束A12的(ω,δ)-參數(shù)平面上均呈現(xiàn)出了豐富的碰撞振動(dòng)特性；約束A2處未發(fā)生碰撞；在約束A1處，低頻域內(nèi)主要呈現(xiàn)為碰撞發(fā)生于約束左側(cè)的基本周期碰撞振動(dòng)1-r-0(r≥2)，以及非完整和完整顫碰振動(dòng)。關(guān)聯(lián)約束A12的(ω,δ)-參數(shù)平面上，低頻域內(nèi)主要呈現(xiàn)為基本周期碰撞振動(dòng)群p/1(p≥2)，非完整和完整顫碰振動(dòng)。相鄰基本周期碰撞振動(dòng)p/1和(p+1)/1相互轉(zhuǎn)遷的不可逆性誘發(fā)了相鄰基本周期碰撞振動(dòng)發(fā)生域間的奇異點(diǎn)、舌狀域及帶狀遲滯轉(zhuǎn)遷域。舌狀域由上邊界虛擦邊分岔線Gb，下邊界鞍結(jié)分岔線SN或可能存在的周期倍化分岔線PD圍成，其中夾雜的亞諧碰撞振動(dòng)的主要模式類型為：(np+1)/n(p=1,2,…;n=2,3,…)。

(2) 以f=0的工況為基準(zhǔn)參數(shù)，研究了系統(tǒng)參數(shù)中阻尼系數(shù)ζ、質(zhì)量分布比μm、剛度分布比μk對(duì)于系統(tǒng)周期碰撞振動(dòng)模式類型、分布區(qū)域、轉(zhuǎn)遷規(guī)律的影響。改變阻尼系數(shù)ζ對(duì)于系統(tǒng)基本周期碰撞振動(dòng)的存在區(qū)域會(huì)產(chǎn)生顯著影響。較小的阻尼系數(shù)使系統(tǒng)的緩沖減振特性減弱，低頻域內(nèi)，p/1(p≥2)帶狀域隆起加劇，舌狀域面積增大，中高頻域嵌入了較多的灰色區(qū)域。隨著阻尼系數(shù)的增大，基本周期運(yùn)動(dòng)的存在域向較大間隙閾延伸，灰色區(qū)域顯著減小，系統(tǒng)在較大參數(shù)域范圍處于基本周期運(yùn)動(dòng)。相對(duì)較小或者較大的質(zhì)量分布比μm都不利于系統(tǒng)處于基本周期運(yùn)動(dòng)。較小的質(zhì)量分布比使p/1(p≥2)帶狀域嚴(yán)重變形，被不規(guī)則的灰色區(qū)域切割，導(dǎo)致成塊狀分布。較大的質(zhì)量分布比使系統(tǒng)在中高頻域嵌入了較多的灰色區(qū)域。改變約束剛度比μk對(duì)于系統(tǒng)的基本周期運(yùn)動(dòng)的分布區(qū)域和帶狀域形狀具有較為顯著的影響，但對(duì)于灰色域的存在區(qū)域和面積影響較小。當(dāng)約束剛度比較小時(shí)，p/1(p≥2)運(yùn)動(dòng)帶狀域較窄，隆起較小，隨著約束剛度比的增大，帶狀域變寬，隆起加劇。

含多間隙、約束的沖擊振動(dòng)系統(tǒng)廣泛存在于各類動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究中，如轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中可能發(fā)生轉(zhuǎn)子與定子之間、轉(zhuǎn)軸與軸承間的碰撞摩擦行為；三大件式結(jié)構(gòu)貨車系統(tǒng)中，當(dāng)發(fā)生蛇行運(yùn)動(dòng)時(shí)，輪緣與軌道間存在間隙而可能發(fā)生的碰撞振動(dòng)，一系懸掛中軸箱與導(dǎo)框間存在間隙也會(huì)導(dǎo)致碰撞振動(dòng)。多間隙、約束會(huì)使碰撞振動(dòng)相互疊加影響，使系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜。雙參數(shù)協(xié)同仿真的研究方法，可以揭示周期性運(yùn)動(dòng)的發(fā)生域與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的相關(guān)性，從而確定合理的參數(shù)匹配范圍為實(shí)際的參數(shù)設(shè)計(jì)提供一定的理論指導(dǎo)。