疊合矩形的多解探究

裘依玲

摘 ?要：折疊在初中階段的幾何學習中有較廣泛的應用，2017年金華數學中考第23題就以折疊為背景，疊合矩形的定義展開，探究了特殊四邊形折疊成疊合矩形所存在的圖形類型和圖形中存在的數量關系，三小題由淺及深，充分考察了學生的數學核心素養。本文以23題為基礎對多邊形折疊成疊合矩形展開進一步的分類探討研究，歸納折疊方法和類型，為折疊復習提供一些思路。

關鍵字：折疊，疊合矩形，多邊形

一.前言

2017年金華數學中考的第23題總題干中通過將△ABC紙片沿中位線EH折疊，使點A的對稱點D落在BC邊上，再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC的底邊上的高線EF，HG折疊，折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形（如圖一），從而給出疊合矩形的定義，即類似地，對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形。而后的三個小題針對平行四邊形和直角梯形折疊成疊合矩形，進行了圖形的分類探討計算，故下文中我們也針對多邊形進行分類，先探討不同類型的多邊形如何折疊成疊合矩形，以及折疊中存在的一些數量關系。

二.分類討論，探究疊合矩形產生方法

研究疊合矩形產生的方法不妨先研究折疊需要產生的角和邊，因為折疊可以產生的圖形有很多，而我們需要的疊合矩形是一種特殊的平行四邊形，它有四個直角，這就是折疊方法的關鍵突破口。折疊問題（翻折變換）實質上就是軸對稱變換，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，所以要使翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無重疊的圖形，折痕所在位置必定和邊的中點有關;而要折疊出90度的角，我們可以將邊所在的直線看成一個180度的角，然后考慮分成經過一次折疊和兩次折疊，折疊次數再多就無法構成矩形了。若是一次折疊，只需將180度的角對折平分成兩個90度的角，若分成兩次折疊，即將180度的角分成兩兩相等的四個角，其中中間兩個角一邊重合，組合在一起即為一個90度的角，這就是尋找折痕的突破口。那么不同的多邊形折痕的位置自然也是不同的，接下來我們就由淺入深進行進一步的探索。

（一）三角形

這里主要分普通三角形和特殊三角形兩種情況展開研究，特殊三角形則主要研究直角三角形和等邊三角形。

1.普通三角形

普通三角形折疊成疊合矩形的方法在23題的題干中已經給出，即沿著一條中位線和兩條高線折疊三次，三個三角形即可組成疊合矩形，如前言中的圖一。這里選取的中位線沒有特殊的要求，三條中位線中任意一條都可以作為折痕，再取折疊之后構造出的兩個等腰三角形底邊上的高線進行折疊即可。所以我們可以歸納出一個結論：任意的三角形都可以折疊得到疊合矩形。

2.直角三角形

直角三角形折疊成疊合矩形有一個便利之處，即它本身就已經存在一個直角，那么只需再折疊出三個直角即可。如圖二，因為要使翻折后的圖形拼成一個無縫隙、無重疊的矩形，可以參考23題的折疊方法，將△ABC紙片沿中位線DE折疊，使點A與點B重合，再將紙片沿等腰△BCE的底邊上的高線EF折疊，折疊后的兩個三角形拼合形成一個矩形即可。所以直角三角形折疊成疊合矩形最少只需折疊兩次，不過，如果我們選取的中位線是DF，那么也需要經過三次折疊。我們也可以進一步考慮一下直角三角形中更加特殊的等腰直角三角形，折疊方法是不變的，不過折出的疊合矩形更加特殊，即為疊合正方形。

3.等邊三角形

等邊三角形折疊成疊合矩形的方法與普通三角形是一致的，如圖三，但是由于等邊三角形三邊相等的特殊性質，我們可以找到它折疊后產生的疊合矩形的長與寬之比是一個定值。不妨設等邊三角形邊長為 ，由于線段EH為中位線，所以可以由中位線的性質得 。再來看一下線段EF，它存在于含30度，60度角的直角三角形中，兩直角邊與斜邊含有 的關系，由此可得 ，而 ，所以 ，由此，可以得到疊合矩形的長寬之比即 。

三.結束語

回顧之前的研究，我們不禁會思考，多邊形折疊成疊合矩形需要滿足什么條件才可以呢？在四邊形中，可以一組對邊平行，也可以對角線互相垂直，而后面多邊形的邊數增加之后，折疊成疊合矩形就十分困難了。將以上的圖形整合在一起觀察，我們可以初步的得到這樣一些折疊的方法和多邊形折疊成疊合矩形需要滿足的條件：由于疊合矩形無縫隙無重疊的特殊性，折痕的端點中必須有兩個或者兩個以上是邊的中點;折疊之后，多邊形的內角必須剛好組合在一起湊成180度或者360度，否則無法折疊得到無縫隙的矩形。

金華2017年數學中考第23題難度不是非常大，并且第（2）小題在課本中出現過，學生通過平時對折疊知識的學習，做到第三小題的第一種情況應該不是非常困難，而第二種情況就需要多一些思考了。建議學生在遇到此類問題時，多思考，多動手，將實際情況抽象成圖形表示，再進一步求解。我們也發現，許多中考題都立足于課本中的探究方法和課題學習展開，考察學生對數學方法和思想的理解以及應用，即學生的數學核心素養。學生應在數學學習過程中有意識的培養基于數學知識技能又高于具體知識技能的綜合性，整體性，持久性的數學素養，這樣有助于在具體情境中發現問題，提出問題和解決問題。

參考文獻：

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（浙江省永康市永康中學）