基于拓展電壓矢量集合的永磁同步電機無差拍控制

李耀華，周逸凡，趙承輝，秦玉貴

(長安大學 汽車學院，西安 710064)

0 引 言

永磁同步電機直接轉矩控制根據滯環比較器得到轉矩與磁鏈增減信號，通過查表方式確定輸出唯一電壓矢量，控制簡單，響應速度快[1-3]。但受開關表電壓矢量數量限制，且每個采樣周期只作用一個基本電壓矢量，直接轉矩控制的轉矩與磁鏈脈動較大。為了減小脈動，國內外學者通過改進開關表[4]、調節占空比[5]、空間矢量調制技術[6]等對直接轉矩控制進行優化。

基于系統離散模型的無差拍(以下簡稱DB)控制令下一時刻的轉矩與磁鏈的預測值與參考值相等，理論上可以使系統在一個控制周期內的轉矩誤差與磁鏈誤差為零[7]。傳統DB控制實時求解較為復雜的一元二次方程，并需要對方程的根進行判斷，計算量較大。在磁鏈與轉矩變化較大時，求解出的電壓矢量超出逆變器的輸出電壓限制，無法通過空間矢量調制輸出，需要進一步設計電壓矢量選擇策略，增加了系統的復雜程度[8-9]。文獻[10-12]通過模型預測控制，輸出與DB控制理想電壓矢量最接近的基本電壓矢量，并將實際參與成本函數計算的基本電壓矢量進行精簡，計算量減少，但其性能受到基本電壓矢量個數限制。文獻[13]提出一種無需模型預測控制，僅通過理想電壓矢量幅值判斷確定施加電壓矢量的方法，簡化了選擇方法，但仍僅輸出基本電壓矢量。文獻[14-15]通過改變占空比，將備選電壓矢量數目進行拓展，以減少理想電壓矢量與實際施加電壓矢量之間的誤差，但仍涉及成本函數的計算，計算量較大。

為了降低直接轉矩控制的轉矩脈動，本文提出了永磁同步電機磁鏈與轉矩DB控制，建立了磁鏈與轉矩的變化量簡化計算模型，并驗證了簡化模型的可行性，從而推導出實現磁鏈和轉矩DB控制的理想輸出電壓矢量計算方程。為了簡化DB控制下理想電壓矢量的實現，提出通過理想電壓矢量角度和幅值簡化選擇7個基本電壓矢量的方法(DB-MPC-7)，無需成本函數計算。為了減小理想電壓矢量與實際輸出電壓矢量之間的誤差，進一步改善控制效果，提出一種從角度和幅值對備選電壓矢量進行拓展的方法(DB-MPC-36r)，將備選電壓矢量角度拓展至36個，輸出電壓矢量幅值可為線性調制范圍內任意值。該方法通過查表方式即可實現，無需空間矢量調制計算，簡單易行。仿真驗證了永磁同步電機磁鏈和轉矩DB控制的可行性。相較于DB-MPC-7，DB-MPC-36r可顯著減小轉矩脈動，降低電流諧波含量，但平均開關頻率有所增大。

1 永磁同步電機磁鏈與轉矩變化量簡化計算模型

忽略定子電阻壓降，由電壓矢量Vs引起的PMSM定子磁鏈運動如圖1所示。

圖1 定子磁鏈運動

由圖1可知，第(t+Δt)時刻的定子磁鏈幅值如下式：

(1)

在采樣周期很小的情況下，轉子磁鏈運動較小，其對轉矩角的影響可以忽略不計。由圖1可知，施加電壓矢量引起的轉矩角變化如下式：

(2)

由式(2)可知，第(t+Δt)時刻的轉矩角如下式：

(3)

永磁同步電機轉矩方程：

(4)

式中：p，ψf，Ld和Lq分別為電機極對數，永磁體磁鏈，d軸和q軸電感。當k=0時，Ld=Lq，式(4)即為表面式永磁同步電機轉矩方程。

由式(1)～式(4)可得下一時刻的永磁同步電機轉矩方程:

k(t+Δt)sinδ(t+Δt)cosδ(t+Δt)]

(5)

由k的定義可知，下一時刻k值如下：

(6)

將式(1)、式(3)和式(6)代入至式(5)，可得下一時刻的永磁同步電機轉矩表達式：

(1+q2+2qcosα)k(t)sin[δ(t)+

(7)

根據式(1)和式(7)，電壓矢量作用一個采樣周期后磁鏈和轉矩變化量如下式:

(8)

ΔTe=Te(t+Δt)-Te(t)=

(1+q2+2qcosα)·k(t)·sin[δ(t)+

sinδ(t)+k(t)·sinδ(t)cosδ(t)}

(9)

為了減少DB控制的計算量，對式(1)和式(7)進行簡化，可得永磁同步電機下一時刻磁鏈與轉矩簡化計算模型[16-17]:

(10)

ksinδ(t)cosδ(t)+qsin[α+δ(t)]-

k·qsin[α+2δ(t)]}

(11)

由式(10)～式(11)可得，施加電壓矢量引起的定子磁鏈幅值和轉矩變化量簡化計算模型:

(12)

ΔTe_sim=Te(t+Δt)sim-Te(t)=

(13)

為了驗證定子磁鏈幅值和轉矩變化量簡化計算模型的有效性，定義施加電壓矢量引起的定子磁鏈幅值和轉矩變化量簡化模型與常規模型的相對誤差率絕對值:

(14)

(15)

當0

圖2 磁鏈變化量簡化計算模型與常規模型的相對誤差

經統計，僅當α接近90°和270°時，即分母過零點區域，誤差率較高，約占總數據的6%，其余94%區域的誤差率數據絕對值小于5%。統計結果表明：采用簡化模型代替常規模型來預測磁鏈變化量基本可行，即式(16)成立。

(16)

當k=1，q=0.01，0<α≤360°，0<δ≤120°，轉矩變化量簡化計算模型與常規模型的相對誤差率如圖3所示。

圖3 轉矩變化量簡化計算模型與常規模型的相對誤差

經統計，僅在分母過零點區域，轉矩變化量誤差率較高。統計表明，簡化模型與常規模型誤差率絕對值小于5%的情況，占總數據約90%。

不同轉矩角下，轉矩變化量誤差率絕對值大于5%的數據占比情況，如表1所示。由表1可知，轉矩角較小時，轉矩變化量誤差率大的數據較多。

表1 不同轉矩角下，轉矩變化誤差率絕對值大于5%數據占比

當q=0.01，0<α≤360°，0<δ≤120°，不同k值下，轉矩變化量誤差率絕對值大于5%的數據占比情況如表2所示。表2表明，僅當k值較大時，轉矩變化量誤差率大的數據較多。

表2 不同k值下，轉矩變化誤差率絕對值大于5%數據占比

當k=1，0<α≤360°，0<δ<δmax，不同q值下，轉矩變化量誤差率絕對值大于5%的數據占比情況如表3所示。表3表明，僅當q值較大時，轉矩變化量誤差率大的數據較多。

表3 不同q值下，轉矩變化誤差率絕對值大于5%數據占比

由表1～表3可知：僅當k較大、q較大及轉矩角較小時，轉矩變化量誤差率大的數據較多，且僅限于分母過零點附近區域。因此，采用簡化模型代替常規模型來預測轉矩變化量基本可行，即式(17)成立:

ΔTe_sim≈ΔTe

(17)

2 永磁同步電機磁鏈與轉矩DB控制

根據磁鏈與轉矩無差拍控制思想，第(t+Δt)時刻永磁同步電機的磁鏈與轉矩值應等于第(t+Δt)時刻的參考值，即:

(18)

(19)

由于采樣頻率較高，第(t+Δt)時刻的磁鏈和轉矩參考值可近似等于第t時刻的參考值:

(20)

(21)

由式(18)～式(21)可知，滿足DB控制的理想磁鏈與轉矩變化量如下式:

(22)

(23)

由式(12)～式(14)、式(16)～式(17)可知，施加電壓矢量一個采樣周期后，磁鏈與轉矩的變化量如下式:

(24)

k(t)sin[α+2δ(t)]}=

k(t)sin[α+2δ(t)]}

(25)

由式(24)可得：

(26)

將式(26)代入式(25)，變換可得:

(27)

在磁鏈與轉矩DB控制下，實際磁鏈與轉矩的變化量與滿足無差拍控制的理想磁鏈與轉矩變化量相同，即式(28)～式(29)成立:

(28)

(29)

將式(22)和式(23)代入至式(27)，則可求得令磁鏈與轉矩在第(t+Δt)時刻滿足DB控制的理想電壓矢量角度αDB：

(30)

(31)

通過式(30)和式(31)求解得出第(t+Δt)時刻應施加的理想電壓矢量的幅值和角度后，采用簡化電壓矢量選擇方法，從基本電壓矢量集合中選擇最優電壓矢量作為輸出?；倦妷菏噶考先缦率剑?/p>

Vs∈{V0,V1,V2,V3,V4,V5,V6}

(32)

式中：Vs為備選電壓矢量，V0-V6為逆變器產生的7個基本電壓矢量。當輸出零電壓矢量時，可以由上一時刻的開關狀態選擇開關次數較少的V0開關狀態[18-20]。

傳統模型預測控制需要遍歷7個電壓矢量[21]，計算量較大。為了減少計算量，可根據靜止坐標系下理想電壓矢量角度，減少備選電壓矢量，如式(33)所示。

(33)

將備選電壓矢量集合縮小后，可無需成本函數計算，直接通過判斷理想電壓矢量幅值大小，確定是否選擇非零電壓矢量或零電壓矢量。以備選電壓矢量為V0和V1為例，如式(34)所示，若理想電壓矢量幅值大于基本電壓矢量幅值的一半，即Udc/3，則選擇非零電壓矢量；反之，選擇零電壓矢量。

(34)

將上文所述的簡化電壓矢量選擇磁鏈和轉矩無差拍控制系統，記為DB-MPC-7。DB-MPC-7的系統控制框圖如圖4所示。

圖4 DB-MPC-7系統控制框圖

3 基于拓展電壓矢量集合的磁鏈和轉矩DB控制

由上文可知，DB-MPC-7選用7個基本電壓矢量中的一個近似替代理想電壓矢量，角度和幅值都受到較大限制，理想電壓矢量與施加的電壓矢量之間存在較大的誤差，影響系統性能。因此，本文對備選電壓矢量進行拓展，增大備選電壓矢量數量，減小理想電壓矢量與施加電壓矢量間誤差。

圖5 [0°,60°]區間備選電壓矢量

(35)

根據理想電壓矢量的角度和幅值，DB控制最終輸出電壓矢量由式(36)確定：

(36)

由于輸出電壓矢量的角度確定已知，在確定輸出電壓矢量后，可采用查表方式直接得到電壓矢量相應占空比。以[0, 50°]區間為例，DB-MPC-36r控制下電壓矢量對應的三相開關占空比如表4所示。

表4 DB-MPC-36r電壓矢量三相開關占空比

圖6 DB-MPC-36r系統控制框圖

4 仿真對比

基于MATLAB/Simulink平臺，搭建了永磁同步電機拓展電壓矢量DB控制系統仿真模型，對DB-MPC-7和DB-MPC-36r進行對比驗證。系統采樣周期為1×10-4s。仿真用永磁同步電機參數如表5所示。

表5 仿真用永磁同步電機參數

4.1 穩態特性

為評價DB-MPC-7和DB-MPC-36r的穩態特性，設定參考轉速為100r/min和500r/min，DB-MPC-7和DB-MPC-36r控制下的永磁同步電機系統分別在空載和負載條件(50N·m)由靜止起動。永磁同步電機轉矩和定子磁鏈幅值如圖7～圖10所示。

圖7 不同轉速下空載轉矩

圖8 不同轉速，50 N·m

圖9 不同轉速下空載穩態磁鏈

圖10 不同轉速，50 N.m負載下穩態磁鏈

仿真結果驗證了永磁同步電機磁鏈和轉矩DB控制的可行性，采用DB-MPC-7和DB-MPC-36r均可實現永磁同步電機靜態起動。

定義穩態下(0.1s～1s)轉矩脈動均方根誤差、磁鏈脈動均方根誤差如式(37)～式(38)所示，其中n為采樣總個數。

(37)

(38)

DB-MPC-7和DB-MPC-36r在不同負載和不同轉速下的系統穩態轉矩脈動以及穩態轉矩磁鏈脈動如表6所示。

表6 不同控制策略下的穩態控制性能

由表6可知，相較于DB-MPC-7，在低速空載時，DB-MPC-36r降低轉矩脈動60.5%，磁鏈脈動略有上升；低速加載時，DB-MPC-36r降低轉矩脈動38.2%，磁鏈脈動基本相同。在高速空載時，DB-MPC-36r降低轉矩脈動61.0%，磁鏈脈動也略有下降；高速加載時，DB-MPC-36r降低轉矩脈動47.4%，磁鏈脈動略有上升。仿真結果表明DB-MPC-36r可較大幅度降低轉矩脈動。

空載下，DB-MPC-7和DB-MPC-36r的定子磁鏈軌跡如圖11所示。

(d) DB-MPC-36r,500 r/min

由圖11可知，DB-MPC-7和DB-MPC-36r的磁鏈軌跡都接近圓形。相較于DB-MPC-7，DB-MPC-36r的磁鏈軌跡更加平滑。

(a) DB-MPC-7,100 r/min

(b) DB-MPC-7,500 r/min

(c) DB-MPC-36r,100 r/min

轉速為500r/min且負載為50N·m下，DB-MPC-7和DB-MPC-36r穩態a相電流和電流總諧波含量(THD)如圖12～圖13所示。

(a) DB-MPC-7

(b) DB-MPC-36r

(a) DB-MPC-7

(b) DB-MPC-36r

由圖12～圖13可知，相較于DB-MPC-7，DB-MPC-36r控制下的電流波形更加平滑，總諧波含量明顯下降。

4.2 動態特性

轉速開環下，參考轉矩在0.01s時由零階躍至 50N·m，DB-MPC-7和DB-MPC-36r控制下轉矩動態特性如圖14所示。

圖14 不同控制策略下轉矩階躍動態響應

由圖14可知，DB-MPC-7動態響應速度略快于DB-MPC-36r。穩態下，DB-MPC-7轉矩脈動明顯大于DB-MPC-36r。

4.3 平均開關頻率

定義系統平均開關頻率fave如下：

(39)

式中：Nswitching為逆變器開關總次數；t為仿真總時長。 不同轉速下，DB-MPC-7和DB-MPC-36r控制下的平均開關頻率如圖15所示。

圖15 不同轉速下DB-MPC-7和DB-MPC-36r的平均開關頻率

由仿真結果可知，不同轉速下DB-MPC-36r的平均開關頻率均高于DB-MPC-7。這是因為一個采樣周期內DB-MPC-7只作用一個基本電壓矢量，且相鄰采樣周期作用的基本電壓矢量可以相同，而DB-MPC-36r一個采樣周期內作用2或3個基本電壓矢量，且相鄰采樣周期施加的電壓矢量基本不同。

5 結 語

本文對永磁同步電動機磁鏈與轉矩變化量計算模型進行了簡化，驗證了簡化模型的可行性。推導出滿足磁鏈與轉矩DB控制的理想電壓矢量，提出簡化選擇7個基本電壓矢量的方法(DB-MPC-7)及從角度和幅值對備選電壓矢量進行拓展的方法(DB-MPC-36r)。前者使用逆變器生成的7個基本電壓矢量，后者將備選電壓矢量角度擴展至36個且幅值在線性調制范圍內任意可調。通過仿真對比，得出結論如下：

1) 永磁同步電動機磁鏈與轉矩DB控制可行，電機系統運行良好。

2)DB-MPC-7通過理想電壓矢量角度和幅值確定施加的電壓矢量，無需成本函數計算，省去傳統模型預測控制計算。

3)DB-MPC-36r根據理想電壓矢量角度和幅值通過查表方式生成角度更加豐富且幅值連續可變的電壓矢量，從而減小施加電壓矢量與理想電壓矢量的誤差，且無需空間矢量調制，簡單易行。

4) 相較于DB-MPC-7，DB-MPC-36r可顯著減小轉矩脈動和電流諧波含量，動態響應基本相當，但平均開關頻率有所增大。