追尋知識(shí)聯(lián)系 觸摸分?jǐn)?shù)本質(zhì)

屈婷 沈丹萍

認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，不僅是知識(shí)面的拓展，更是對(duì)數(shù)的概念的一次擴(kuò)充。分?jǐn)?shù)的構(gòu)成與整數(shù)是相通的，基于對(duì)自然數(shù)的理解學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的深度理解。

一、分?jǐn)?shù)是“分”出來的

自然數(shù)是對(duì)現(xiàn)實(shí)存在的實(shí)際數(shù)量的抽象，源于生活中的數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）。分?jǐn)?shù)與自然數(shù)一樣，本質(zhì)上是一個(gè)數(shù)，也可以看作是對(duì)量的結(jié)果的抽象。自然數(shù)表示整的數(shù)，計(jì)數(shù)單位“1”是被發(fā)現(xiàn)的;分?jǐn)?shù)表示不整的數(shù)，分?jǐn)?shù)單位幾分之一是被發(fā)明的。

教學(xué)中，借助自然數(shù)“1”的細(xì)分感悟分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，能讓學(xué)生經(jīng)歷從整的數(shù)到不整的數(shù)的發(fā)展過程，體會(huì)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生是數(shù)系發(fā)展的必然結(jié)果。在學(xué)習(xí)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)，筆者是這樣引入的。

師：看到數(shù)字“1”，你腦中是怎樣的一幅畫面？

生1：一塊月餅、一個(gè)蘋果……

師：“1”是用來描述物體個(gè)數(shù)的最小單位。一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，累積到10個(gè)，我們把它們打個(gè)包，就產(chǎn)生了計(jì)數(shù)單位“十”。想一想，要產(chǎn)生一個(gè)比“1”更小的單位，可以怎么做？

生2：分一分。

師：如下圖，我們就用這塊月餅表示“1”來分一分。想一想：你得到了哪個(gè)單位？（學(xué)生操作后，教師選取以下4幅具有代表性的作品進(jìn)行展示。）

師：這些分法都能得到一個(gè)新單位嗎？

生3：我認(rèn)為方法③不行，因?yàn)檫@兩半大小不一樣。

生4：我們?cè)诹课矬w長度時(shí)，是用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)去量，不能一會(huì)大，一會(huì)小。

師：你們的意思是單位應(yīng)該是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。如果以一大半為單位，兩個(gè)一大半拼起來是一個(gè)怎樣的月餅？

生5：月餅不圓了，月餅的左右兩邊會(huì)鼓起來。

師：如果以一小半為單位呢？

生6：組成的月餅比較癟。

師：看來要想得到一個(gè)新單位還真不簡(jiǎn)單，怎樣分才能得到一個(gè)比“1”小的新單位？

生7：要分成一樣大的兩塊。

生8：分成一樣大的四塊也可以。

師：怎樣分才能得到一樣大的幾塊？為什么要這樣分？

生9：要平均分，只有平均分，標(biāo)準(zhǔn)才一樣，才能產(chǎn)生一個(gè)更小的單位。

師：去掉方法③，其余分法都創(chuàng)造了哪些單位？可以怎樣記錄這些單位？

……

平均分是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念的支撐點(diǎn)，也是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的前提條件。筆者引導(dǎo)學(xué)生探究“怎樣得到比1更小的單位”，讓學(xué)生從不平均分的角度思考，直觀看到平均分的價(jià)值，體會(huì)到將自然數(shù)“1”平均分就能產(chǎn)生比“1”小的單位。

二、分?jǐn)?shù)是“數(shù)”出來的

分?jǐn)?shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)與自然數(shù)有相似性，都是計(jì)數(shù)單位的累積。自然數(shù)是“1”的依次計(jì)數(shù)、累加，分?jǐn)?shù)是相同分?jǐn)?shù)單位的依次計(jì)數(shù)、累加，二者異曲同工。數(shù)（shù）源于數(shù)（shǔ），分?jǐn)?shù)能不能像自然數(shù)一樣數(shù)出來呢？教學(xué)《分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)》時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了一系列數(shù)數(shù)活動(dòng)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的意義，打通整數(shù)與分?jǐn)?shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

師：下面這些圖的陰影部分可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)來表示？

生1：圖①③④都可以用[34]表示，圖②可以用[23]表示。

師：數(shù)是數(shù)出來的，選一幅圖數(shù)一數(shù)。

生2：我數(shù)的第一幅圖，1，2，3，[34]。

生3：我認(rèn)為不對(duì)，要以[14]為單位數(shù)，1個(gè)[14]，2個(gè)[14]，3個(gè)[14]。

生4：我這樣數(shù)的，[14]，[24]，[34]。

師：你更欣賞哪種數(shù)法？以哪個(gè)數(shù)為單位數(shù)更準(zhǔn)確？

生5：生2這樣數(shù)，會(huì)讓別人誤認(rèn)為數(shù)的是自然數(shù)，生3數(shù)的是分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)，我認(rèn)為生4的數(shù)法最好。

師：看來數(shù)分?jǐn)?shù)用分?jǐn)?shù)單位來數(shù)更合適。誰來說一說圖②？

生6：圖②是以[13]為單位，[13]，[23]。

師：自然數(shù)可以把數(shù)與圖一一對(duì)應(yīng)著數(shù)，分?jǐn)?shù)可以這樣數(shù)嗎？圖①、圖③、圖④都可以用[34]表示，數(shù)的時(shí)候，有什么區(qū)別？

生7：圖①和圖④可以用一根手指數(shù)，圖③要用兩根指頭數(shù)。

生8：圖③的一份是兩個(gè)，每次數(shù)都要對(duì)應(yīng)兩個(gè)。

師：以[14]為單位，數(shù)幾次可以數(shù)到[34]？以[13]為單位，數(shù)幾次可以數(shù)到[23]？

生9：數(shù)到[34]需要數(shù)三次，數(shù)到[23]需要兩次。

生10：一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子是幾就需要數(shù)幾次。數(shù)[34]和數(shù)3是一樣的，數(shù)三次就行了。

生11：分母是幾，分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一;分子是幾，就有幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位。

師：圖3和圖4涂色部分圓形的個(gè)數(shù)不一樣，為什么都可以用[34]表示？

生12：[34]是四份中的三份，平均分四份，表示三份，都可以用[34]表示。

數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）的本質(zhì)就是數(shù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。筆者引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)自然數(shù)一樣數(shù)分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生逐漸感悟到：分?jǐn)?shù)和整數(shù)一樣，都是通過單位的計(jì)量與累加得到的，分?jǐn)?shù)也要一個(gè)一個(gè)地累加，數(shù)幾次就有幾個(gè)這樣的單位。不同的是，自然數(shù)的單位“1”對(duì)應(yīng)的就是實(shí)物“1”，分?jǐn)?shù)單位“[14]”對(duì)應(yīng)不同的數(shù)（量）。

三、分?jǐn)?shù)是“比”出來的

數(shù)具有雙重含義，既可以表示具體數(shù)（量），也可以表示非具體數(shù)（率）。在整數(shù)的學(xué)習(xí)中，“倍的認(rèn)識(shí)”讓學(xué)生將認(rèn)識(shí)數(shù)的眼光由“量”拓展到“率”。倍是“兩個(gè)數(shù)之間倍比關(guān)系”的源頭，當(dāng)兩數(shù)之比大于“1”時(shí)，用“倍”描述，當(dāng)兩數(shù)之比小于“1”時(shí)，用“幾分之幾”表示。在教學(xué)《求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾》時(shí)，筆者進(jìn)行了如下教學(xué)。

師：自然數(shù)3除了表示某種物品的數(shù)量是3外，還能表示什么？

生1：3倍。

師：這個(gè)3在這里表示一種關(guān)系。你們能畫圖表示這種關(guān)系嗎？（展示學(xué)生作品）

師：如上圖，第一行的圓和第二行的圓的數(shù)量都發(fā)生了變化，為什么還是3倍的關(guān)系？

生2：6÷2=3;3÷1=3。

生3：不論第一行圓的數(shù)量是多少，只要第二行的圓的數(shù)量有3個(gè)那么多，就是3倍。

師：那第一行圓的個(gè)數(shù)是第二行圓的個(gè)數(shù)的幾倍？可以用哪個(gè)數(shù)來形容它們的關(guān)系？

生4：1÷3=[13];2÷6=[13]。

生5：第一行圓的個(gè)數(shù)比第二行圓的個(gè)數(shù)少，可以用[13]來表示它們的關(guān)系。

師：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，還可以怎樣表達(dá)？

生6：幾分之幾。

師：表達(dá)兩個(gè)數(shù)量的關(guān)系時(shí)，什么時(shí)候用“幾倍”，什么時(shí)候用“幾分之幾”？

生7：大數(shù)除以小數(shù)的時(shí)候，結(jié)果大于1，就幾倍;小數(shù)除以大數(shù)時(shí)，結(jié)果小于1，就用幾分之幾。

師：其實(shí)，分?jǐn)?shù)和整數(shù)一樣，有時(shí)表示數(shù)量，如6個(gè)圓，[13]個(gè)月餅，有時(shí)表示的是一種關(guān)系，如6個(gè)圓是2個(gè)圓的3倍，2個(gè)圓是6個(gè)圓的[13]。

師（課件出示）：下圖可以用哪些分?jǐn)?shù)來表示？想一想這個(gè)分?jǐn)?shù)表示的是數(shù)量，還是一種關(guān)系？

生8：圖①的涂色部分可以用[12]表示。

生9：[12]表示的是一種關(guān)系，1個(gè)圓是半個(gè)圓的2倍，半個(gè)圓是1個(gè)圓的[12]。

生10：[12]也可以表示數(shù)量，這個(gè)半圓就是[12]個(gè)圓。

師：圖②的涂色部分呢？（學(xué)生為[12]和[14]這兩個(gè)答案爭(zhēng)論不休）你們說的[12]和[14]表示的是數(shù)量，還是一種關(guān)系？

生11：[12]表示半個(gè)圓和1個(gè)圓的關(guān)系，半個(gè)圓是1個(gè)圓的[12]。

生12：不對(duì)，這里有2個(gè)圓，是4份，半個(gè)圓占1份，圖2要表達(dá)的是半個(gè)圓與兩個(gè)圓的關(guān)系，是[12]。

師：用[12]來表示有沒有合理的地方？

生13：可以說涂色部分是[12]個(gè)圓，用[12]表示數(shù)量。

筆者用“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”引出“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”，將整數(shù)與分?jǐn)?shù)意義的內(nèi)涵做了關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生感悟到：分?jǐn)?shù)和整數(shù)一樣，既可以表示實(shí)際數(shù)量的多少，又可以表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍比關(guān)系。

分?jǐn)?shù)是一個(gè)非常抽象的概念，內(nèi)涵豐富、表征多元。鏈接自然數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓分?jǐn)?shù)教學(xué)與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)順利接軌，突出了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，深化了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)理解。

（作者單位：宜城市窯灣小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏

分?jǐn)?shù)本身是數(shù)，而不是運(yùn)算。分?jǐn)?shù)（真分?jǐn)?shù)）有兩個(gè)現(xiàn)實(shí)背景：一個(gè)是表達(dá)整體與等分的關(guān)系，一個(gè)是表達(dá)兩個(gè)數(shù)量之間整數(shù)的比例關(guān)系（整比例關(guān)系）。本期，我們討論如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵、突破疑難，深入認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，理解分?jǐn)?shù)內(nèi)涵，運(yùn)用分?jǐn)?shù)解決問題。