極值問題的分析方法及注意事項

安徽 邵 永 王法遠

在《課程標準》中雖然對極值問題沒有明確說明，但高考試題中卻頻繁出現，且難度較大，這類問題是指在物體運動的過程中，隨著條件連續漸變越過臨界位置時或條件連續漸變達到臨界值時，會使得某物理量達到最大或最小的現象，所以這類問題與臨界問題是兩類問題，但往往又互為條件。在實際教學中，筆者發現學生分析此類問題時方法單一并且易混淆臨界問題與極值問題，缺少必要的分析和討論，因而失分較多。下面通過對極值問題的一題多解和數學極值與物理臨界對極值問題的影響分析，突出數學知識在物理中的應用，培養學生思維的嚴謹性、深刻性，提高學生的理性思維能力和分析問題解決問題的能力。

一、極值問題的一題多解

【例1】如圖1所示，在粗糙水平臺階上靜止放置一質量m=0.5 kg的小物塊，它與水平臺階表面間的動摩擦因數μ=0.5，且與臺階邊緣O點的距離s=5 m。在臺階右側固定了一個以O點為圓心的圓弧形擋板，以O點為原點建立平面直角坐標系，擋板上邊緣P點的坐標為(1.6 m，0.8 m)。現用FT=5 N的水平恒力拉動小物塊，一段時間后撤去拉力，小物塊最終水平拋出并擊中擋板(g=10 m/s2)。

圖1

(1)若小物塊恰能擊中擋板的上邊緣P點，求拉力F作用的距離；

(2)改變拉力F作用的時間，小物塊可擊中擋板的不同位置，求小物塊擊中擋板時動能的最小值(結果可保留根式)。

(2)解法一 不等式法

解法二 Δ判別式法

解法三 不等式法

解法四 配方法

【點撥】物理中的極值問題往往出現“恰好”“最大”“至少”等詞語，且有一定的變化條件，在變化的過程中使得某些物理量達到最大或最小，具有情景隱蔽、過程復雜的特點。分析此類問題需要構建模型，用數學語言描述實際運動過程，得到所求物理量的數學解析式，進而進行分析討論。從上面的分析可以看出，在利用數學知識求解時，設的物理量不同、消去的量不同，討論的方法就不同，討論時的繁簡程度也就不同，掌握多種分析方法有利于優化討論過程，提高得分率。常用的方法有不等式法、Δ判別式法、配方法、三角函數法、求導法等。

二、數學極值問題

【例2】如圖2所示，質量為M=1.92 m的支架(包含底座)上有一水平細軸，軸上套著一根長為L的剛性輕質細線，繩的另一端拴一質量為m的小球(可視為質點)。使小球在豎直面內繞細軸做圓周運動，小球做圓周運動過程中支架始終不會離開地面，忽略一切阻力，重力加速度為g。求在最低點小球允許獲得的最大速度。

圖2

三、物理臨界問題

圖3

【解析】設當小環與大圓環圓心的連線與豎直方向的夾角為θ時，小環與大圓環間的彈力是FN，要使大圓環有豎直上升的趨勢，則小環對大圓環的彈力必須背離圓心(即斜向上)，從而大圓環對小環的彈力必須指向圓心。

對每個小環分析可知

解得FN=mg(2-3cosθ) ①

對大圓環2FNcosθ=Mg②

聯立①②得2mg(2-3cosθ)cosθ=Mg③

整理得6mcos2θ-4mcosθ+M=0

【小結】極值問題一般都具有情景復雜、條件隱蔽的特點。分析此類問題不僅需要很強的建模能力和數學計算能力，還應該注意是否發生質的變化以及是否能滿足極值所對應的條件，此類問題能很好體現數學知識在物理中的應用，培養學生思維的嚴謹性、深刻性，提高學生的理性思維能力和分析問題解決問題的能力。