情境為載體 方法作引領 問題為導向
——以帶電粒子在有界磁場中臨界與極值的數理分析為例

湖北 胡衛雄 余任遠

研究帶電粒子在洛倫茲力作用下的圓周運動時，經常會遇到粒子通過有界磁場區域的運動情形。往往由于初始速度不同、所處磁場的磁感應強度大小不定、運動圓軌跡發生變化、邊界的約束等產生“恰好”“最大”“至少”等臨界與極值問題。本文針對試題創設的情境載體，以對該問題進行數理分析的兩種途徑作為方法引領，以構建臨界與極值四類問題模型作為導向，在問題的解決中促進學生形成磁場觀念、運動與相互作用觀念，提升學生模型構建能力，培養科學思維素養。

一、數理分析的兩種方法

在進行具體分析之前，先從題給情境中的關鍵詞找突破口，抓住題干中“恰好”“最大”“至少”等信息，將帶電粒子在有界磁場中的運動情境轉化為臨界與極值問題情境。針對具體的問題，利用下面兩種路徑，挖掘情境中隱藏的臨界與極值條件。

1.應用“臨界、極值軌跡+幾何關系”確定臨界與極值條件。根據帶電粒子軌跡變化特點，利用動態的“縮放圓”“旋轉圓”“平移圓”，畫出臨界極值條件下的軌跡，挖掘問題情境下的幾何關系，確定臨界極值條件，結合圓周運動的相關物理規律，聯立求解。

2.應用“一般軌跡+幾何關系”確立相關物理量之間的函數關系，利用數學方法判別臨界與極值條件。結合圓周運動的相關物理規律，聯立求解。

無論是臨界極值軌跡，還是一般情形下的運動軌跡，要重視分析時的尺規作圖，規范而準確地作圖可突出幾何關系，使抽象的物理問題更形象、直觀。

二、臨界與極值情形下的四類問題

1.帶電粒子恰好不穿出磁場區域的臨界問題

當帶電粒子通過有界磁場區域時，如果帶電粒子的初始速度不同、所處磁場的磁感應強度大小不定，運動圓軌跡發生變化，由于邊界的約束從而產生“恰好”不穿出磁場區域的臨界情形，此類問題一般需要推理出帶電粒子恰好不穿出磁場區域的臨界條件(在磁場中的運動軌跡與邊界相切)，畫出臨界條件下的運動軌跡圖，應用“臨界軌跡+幾何關系”，確定臨界條件，結合帶電粒子在洛倫茲力作用下圓周運動的物理規律列方程聯立求解。

【例1】地磁場可以有效抵御宇宙射線的侵入，保護地球。赤道剖面外地磁場可簡化為包圍地球厚度為d的勻強磁場，方向垂直該剖面，如圖1所示。只要速度方向在該剖面內的射線粒子不能到達地面，則其他粒子不可能到達地面。宇宙射線中對地球危害最大的帶電粒子是β粒子，設β粒子的質量為m，電荷量為e，最大速度為v，地球半徑為R，勻強磁場的磁感應強度為B，不計大氣對β粒子運動的影響。要使在赤道平面內從任意方向射來的β粒子均不能到達地面，則磁場厚度d應滿足什么條件？

圖1

圖2

【點評】本題設置的情景是環形勻強磁場區域，電子的入射速度大小、方向和入射點不確定，β粒子在有界磁場中的運動軌跡不確定。以此情景為載體，考查對剛好不穿出磁場區域(不能到達地面)臨界問題的分析。以圖2所示向下的速度方向為例(作為圓形磁場區域，也代表任意方向)，可以通過畫出動態的“縮放圓”(半徑大小在變化)和“平移圓”(入射點在變化)進行分析，這兩種方法重點在于利用縮放和平移動態軌跡圓，找出臨界條件下(與地面相切)的“臨界軌跡”，分析臨界條件下的幾何關系，結合帶電粒子在磁場中做圓周運動的動力學規律便可求解。

2.帶電粒子在有界磁場中運動時間的極值問題

當帶電粒子通過有界磁場區域時，如果帶電粒子的初始速度不同，軌跡圓半徑不同、運動圓軌跡在變化，由于邊界的約束，各粒子在磁場中運動的時間長短不一，從而產生帶電粒子在有界磁場中運動時間的極值問題。如果磁場的磁感應強度恒定，帶電粒子的荷質比相同，則各粒子在磁場中運動的周期相同，可根據圓心角判斷時間的極值：帶電粒子運動過程中轉過的圓心角越大，時間越長。此類問題一般需要推理出帶電粒子在有界磁場中運動時間的極值條件(圓心角最大)，畫出極值條件下的運動軌跡圖，應用“極值軌跡+幾何關系”，結合物理規律求解。也可應用“一般軌跡+幾何關系”，得到相關物理量之間的函數關系，通過數學方法求極值條件，再結合物理規律求解。

( )

圖3

圖4

方法二：采用“一般軌跡+幾何關系”，利用數學函數關系求極值，解決該問題。假設粒子運動軌跡如圖5所示,圓心在O點，ab半圓的圓心在O′，OO′=2R-r,Oe=r,O′e=R。

圖5

【點評】本題設置為較復雜的磁場邊界情景，既有直線邊界，又有圓形邊界，勻強磁場的磁感應強度恒定，一束粒子的電荷量、質量、速度方向相同，速度大小不同。對于從ac、bd區域射出的粒子而言，是直線邊界情形；對于從ab圓弧區域射出的粒子而言，是圓形邊界情形，考查對運動時間極值問題的分析。對從ac、bd區域射出的粒子，即半徑r≤0.5R和r≥1.5R時，他們的軌跡組成一組半徑逐漸增大的“縮放圓”，粒子在磁場中的軌跡為半圓，運動時間等于半個周期。對于從ab圓弧區域射出的粒子，0.5R≤r≤1.5R，則可以靈活地選擇其中的一種方法求解。

3.帶電粒子穿出磁場時打在磁場邊界區域范圍

當帶電粒子通過有界磁場區域時，如果帶電粒子的初始速度不同或者磁感應強度大小不定，則各粒子在磁場中運動的軌跡不同，由于邊界(或極板/熒光屏)的約束，一部分粒子打在邊界(或極板/熒光屏)上，從而產生粒子穿出磁場時打在磁場邊界區域范圍的極值問題。此類問題一般需要推理出帶電粒子穿出磁場時打在磁場邊界上距離最遠的極值條件(軌跡與邊界相切或打在邊界時軌跡對應的弦長最長)，畫出極值條件下的運動軌跡圖，應用“極值軌跡+幾何關系”，結合物理規律求解。也可選取一般情形，畫出“一般軌跡+幾何關系”，列出相關物理量之間的函數關系，通過數學方法求極值。

【例3】如圖6所示，S處有一電子源，可向紙面內任意方向發射電子，平板MN垂直于紙面，在紙面內的長度L=9.1 cm，中點O與S間的距離d=4.55 cm，MN與SO直線的夾角為θ，平板所在平面有電子源的一側區域有方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B=2.0×10-4T，電子質量m=9.1×10-31kg，電荷量e=-1.6×10-19C，不計電子重力，電子源發射速度v=1.6×106m/s的一個電子，該電子打在平板上可能位置的區域長度為l，則

( )

圖6

A.θ=90°時，l=9.1 cm B.θ=60°時，l=9.1 cm

C.θ=45°時，l=4.55 cm D.θ=30°時，l=4.55 cm

圖7

方法一：分別畫出四種對應情況下的極值軌跡圖，結合幾何關系求解極值條件。

θ=90°時，擊中板的范圍如圖8甲所示，電子軌道正好與MN相切于M點，l=2R=9.1 cm，A選項正確；

θ=60°時，擊中板的范圍如圖8乙所示，臨界情況電子軌道恰好與MN相切，但切點在OM之間，l<2R=9.1 cm，B選項錯誤；

θ=30°時，如圖8丙所示，顯然臨界情況電子軌道與MN相切，切點正好與O點重合，l=R=4.55 cm，D選項正確；

當θ=45°時，擊中板的范圍如圖8丁所示，顯然臨界情況電子軌道與MN相切于切點，在OM之間，l>R(R=4.55 cm)，故D選項正確，C選項錯誤。

甲

圖9

【點評】本題設置的情境為直線邊界的磁場，相同的一束帶電粒子，速度大小相同，速度方向不同，但入射點的位置在發生變化，對應四個選項中，SO與MN的夾角各不相同。考查四種情形下打在極板上的區域范圍極值問題。方法一需要畫出四種情形下的“極值軌跡+幾何關系”，確定極值條件，分析極值，過程較多；方法二只需要分析一般軌跡，挖掘幾何關系，建立相關量之間的函數關系，但方法二對幾何關系的分析和三角函數知識要求更高，具體問題中還需要根據實際情況選擇合適的解決方法。

4.有界磁場區域中面積的極值問題

相同帶電粒子從圓形有界磁場邊界上某點以相同的速度大小、不同的速度方向射入磁場,且圓形磁場的半徑與粒子做圓運動軌跡半徑相等時,則粒子出射速度方向與圓形磁場上入射點的切線方向平行,稱之為磁發散。如圖10甲所示，相同帶電粒子平行射入圓形有界磁場,如果圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等,則所有粒子都從磁場邊界上的同一點射出,并且出射點的切線與入射速度方向平行,稱之為磁聚焦，如圖10乙所示。當一束相同粒子進入一未知邊界的有界磁場區域，出現磁發散和磁聚焦情形，要求有界磁場區域面積的極小值，則需要應用磁發散和磁聚焦原理研究粒子的運動的軌跡邊界即臨界極值軌跡，得到磁場的一部分邊界的幾何特點，還需要研究一般粒子的運動軌跡，即一般軌跡。分析幾何關系，通過數學知識求其出射點坐標所滿足的關系方程，即可得到磁場的邊界方程。

甲

【例4】如圖11所示，在xOy平面內有許多電子(每個電子質量為m，電荷量為e)，從坐標原點O不斷地以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限。現加上一個垂直于xOy平面、磁感應強度為B的勻強磁場，要求這些電子穿過該磁場后都平行于x軸正方向運動，試求出符合該條件磁場的最小面積(不考慮電子之間的相互作用)。

圖11

圖12

【點評】這類問題一般設置為圓形有界磁場區域，屬于磁發散和磁聚焦現象的應用情境。根據帶電粒子在有界圓形磁場中運動的特點，研究有界磁場的邊界。確定有界磁場的邊界一般有兩種途徑：(1)通過分析粒子的動態圓軌跡，確定一些特殊粒子的臨界極值軌跡，得出邊界的一部分，如本題中磁場區域上邊界的確定。(2)研究一般粒子的運動軌跡特點，確立相關物理量的幾何關系，利用數學知識，求出其出射點坐標所滿足的關系方程，即得到磁場的邊界方程，如本題中磁場區域下邊界的確定就是利用這種方法。

綜上所述，帶電粒子在有界磁場的臨界極值問題，在創設豐富的直線邊界、圓形邊界、復合邊界的各種情境下，可構建臨界極值問題類型，應用“臨界極值軌跡+幾何關系”或“一般軌跡+幾何關系”兩種方法，挖掘隱含條件、分析臨界狀態、確定極值條件、明了幾何關系、結合數學知識、運用物理規律聯立求解。在新高考新課程背景下，以上述問題為例，需要積極構建各類問題模型，總結歸納各類問題模型的解決方法，培養將豐富的真實情境轉化為物理問題情境能力與應用科學思維和物理方法解決問題的綜合能力。