拋物線焦點弦的性質結論歸納與應用

韓義成

(甘肅省積石山縣積石中學 731700)

我們在平時的學習中善于歸納總結一些數學的性質和結論，就能提高解題的效率和速度，做到事半功倍的效果.下面是我在教學中歸納總結的拋物線焦點弦問題的性質和結論，供參考.

若AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦(過焦點的弦)，且A(x1,y1)，B(x2,y2).

結論2|AB|=x1+x2+P.

(2)焦點弦中通徑(過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦)最短.

易驗證，結論對斜率不存在時也成立.

(2)由(1)知，當AB為通徑時，α=90°，sin2α的值最大，|AB|最小.

例1 已知過拋物線y2=9x的焦點的弦AB長為12，則直線AB傾斜角為____.

結論4兩個相切：(1)以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切.

(2)過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切.

已知:AB是拋物線y2=2px(p>0)的過焦點F的弦，求證：(1)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.

(2)分別過點A、B作準線的垂線，垂足為點M、N，求證：以MN為直徑的圓與直線AB相切.

證明(1)設AB的中點為Q,過點A、Q、B向準線l作垂線，垂足分別為點M、P、N，連接AP、BP.

由拋物線定義，知|AM|=|AF|.

所以以AB為直徑的圓與準線l相切.

(2)如圖2，取MN中點P，連接PF、MF、NF.

因為|AM|=|AF|，AM∥OF，

所以∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO.

所以∠AFM=∠MFO.同理，∠BFN=∠NFO.

所以∠PFM=∠FMP.

所以∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°.

所以FP⊥AB.

所以以MN為直徑的圓與焦點弦AB相切.

則y1=p，y2=-p.

所以y1y2=-p2.

例2 設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點．點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸．證明:直線AC經過原點O．

4a2x2-4akx-1=0.

解法2特值法.當直線平行于x軸時得出答案.

解法3利用定比分點坐標公式.

結論7過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作一直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．則

(1)點M在拋物線的準線上;

(2)FM⊥AB;

(3)AM⊥BM.

逆命題過拋物線的準線上一點M作拋物線y2=2px(p>0)的切線,切點分別為A、B,則直線AB過焦點F．

(2)設△ABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達式，并求S的最小值．

解析(1)由已知條件，得F(0，1)，λ>0．

設A(x1，y1)，B(x2，y2)．

①

②

y1=λ2y2.

③

所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是

解得p=2．

總之，只要我們在平時的教學中善于歸納、總結、整理，就會得出一些課本之外的性質和結論，對我們的學習、解題有很大的幫助.