向量中有關三點共線的一個結論的簡單應用

孫 紅

(浙江省青田中學 323900)

向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一,是解決解析幾何的有力工具,有著豐富的實際背景和深刻的幾何背景.向量來源于物理,并且兼有”數”和”形”的特點,坐標表示使平面內的向量和坐標建立了一一對應的關系,將“數”與“形”緊密結合起來,從而將圖形的基本性質轉化為向量的運算體系.在平面向量的解題中涉及到三點共線時經常用到下面的結論,我們一起來探討一下.

所以A,B,C三點在同一條直線上.

綜上所述,A,B,C三點在同一條直線上的充要條件是λ+μ=1.

分析因為B,D,C三點共線, 所以存在m∈R，使得

①

②

又D,E分別是線段BC上的兩個動點，所以0

所以0

分析這是學生作業本上的一道習題,學生拿到這道題可能會感覺無從下手,題目中涉及的向量比較多,事實上，根據題目條件A,M,D三點共線，存在m∈R,使得

①

同理B,M,C三點共線,存在n∈R，使得

②

此時tmax=2,即x+y的最大值為2 .

思路2引入變量∠COB=α,利用正弦定理將x+y的最大值問題轉化為關于α的三角函數的最值問題.

變式若本題的其他條件不變,求2x+y的最大值.

題5 (2019年浙江高考卷)已知點F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點,過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在拋物線上,使得△ABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點Q,且點Q在點F的右側,記△AFG,△CQG的面積分別是S1,S2.

(1)求p的值及拋物線的準線方程;

分析解析幾何是高考重點考查的內容之一,本題考查的是拋物線的標準方程以及直線與拋物線的位置關系,同時考查了學生的轉化與化歸能力、數形結合能力、運算求解能力,以及運用所學知識分析問題和解決問題的能力,考查邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養.

(1)拋物線的標準方程為y2=4x;

這兩種方法都比較好,但解題中計算量非常大,很難將解題進行到底,解決此題需要一定的綜合解題的能力.

因為點G是△ABC的重心,則S△AGB=S△AGC.

解析幾何中有關面積最值或范圍問題是高考的熱點和難點之一,一般來講有兩種常見的解題思路:

(1) 構造關于所求量的函數,將有關面積的最值或范圍問題轉化為函數的最值或范圍問題;

(2) 構造關于所求量的不等式來求解最值或范圍.

解題過程中經常將直線方程與圓錐曲線方程聯立,利用韋達定理、弦長公式、點到直線的距離、基本不等式等知識.解析幾何作為高考解答題之一,常作為壓軸題,解答題重視數學思想、數學方法的理解、掌握與靈活運用,綜合性強,難度較大,體現了對學生數學素養的考查.對于本題相比較前面涉及到的三種解題方法中,利用向量法求解本題計算量較少,容易求解.