教材習(xí)題同樣能光彩綻放

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

作為教材習(xí)題，是一輪復(fù)習(xí)中最為重要的知識(shí)聯(lián)系紐帶，可以對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行挖掘，對(duì)知識(shí)點(diǎn)形成系統(tǒng)化，構(gòu)建一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，深入理解教材習(xí)題的真正意圖.本文從教材中兩個(gè)習(xí)題的多解性出發(fā)，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的發(fā)散思維和學(xué)習(xí)能力的提升.

例1(選修2-1第73頁(yè)A組第5題)如圖1，M是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，以Fx為始邊、FM為終邊的角∠x(chóng)FM=60°，求|FM|.

角度1角的思考

從題中可知，求解的關(guān)鍵是點(diǎn)M的坐標(biāo)，而所給的角可看成直線FM的傾斜角，故可利用斜率公式或直線方程進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算.

角度2長(zhǎng)度的思考

本題是求解|FM|的長(zhǎng)度，關(guān)鍵是建立拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)與|FM|長(zhǎng)度的相關(guān)聯(lián)系即可求解.

角度3定義的思考

本題涉及的問(wèn)題與拋物線的焦點(diǎn)有關(guān)，一般常考慮使用定義解題，使解答事半功倍.

過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接NF.根據(jù)拋物線的定義可知，△MNF為等腰三角形.又∠OFM的角平分線為FN，而∠MFx=60°，故△MNF為等邊三角形.又|FF′|=2，∠NFO=60°，則NF=4，故|FM|=4.

上述三個(gè)角度是解決解析幾何問(wèn)題中最常用的方法，只有真正弄清楚題目的要求才能將問(wèn)題迎刃而解，最終將知識(shí)有機(jī)地結(jié)合.

例2(必修2第90頁(yè)B組第6題)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,-1)作直線l，若直線l與連接A(1,-2),B(2,1)的線段總有公共點(diǎn)，求直線l斜率k的取值范圍？

雖然提倡回歸教材，但很少有人能真正做到，筆者認(rèn)為，能以教材的例題、習(xí)題及復(fù)習(xí)參考題為解題對(duì)象，無(wú)疑是對(duì)回歸教材的一種良好體現(xiàn)，尤其是一輪復(fù)習(xí)過(guò)程中能重新認(rèn)識(shí)教材的各類(lèi)題目也必會(huì)有一番新作為.通過(guò)一題多解可將知識(shí)進(jìn)行整合，從而拓寬學(xué)生整體性解題視野.

角度1形的思考

解析幾何是形的所在，理所當(dāng)然會(huì)想到運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題.

根據(jù)題意，當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，從PA到PB均與線段AB有公共點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)間的斜率公式，可求得直線PA、PB的斜率，所求直線l的斜率k的取值范圍為kPA≤k≤kPB，即-1≤k≤1．

評(píng)注在運(yùn)用幾何處理過(guò)程中，答案的書(shū)寫(xiě)也需謹(jǐn)慎，斜率的取值范圍切不可寫(xiě)錯(cuò).

數(shù)形結(jié)合是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題的目的.

角度2數(shù)的思考

解析幾何是將“形”用“數(shù)”進(jìn)行解決問(wèn)題，將數(shù)學(xué)問(wèn)題運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化求解.將直線轉(zhuǎn)化為二元一次方程來(lái)體現(xiàn)，用代數(shù)的思想進(jìn)行求解.

在直角坐標(biāo)系中建立直線方程，把直線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)處理，分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義，最終解決幾何問(wèn)題.

角度3線性規(guī)劃的思考

觀察直線l將AB分成兩段，讓你想到了什么？除兩端點(diǎn)以外，其余位置恰將A,B兩點(diǎn)分在直線l的兩側(cè)，聯(lián)想到線性規(guī)劃知識(shí)A,B兩側(cè)符號(hào)相反.

直線l方程為kx-y-1=0，根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)可知，A(1,-2),B(2,1)兩點(diǎn)在直線的異側(cè)，符號(hào)相反，同時(shí)也可在兩端點(diǎn)處，如圖5.

故(k+2-1)(2k-1-1)≤0，解得-1≤k≤1.

角度4向量的思考

又根據(jù)題意λ∈[0,1]，可得-1≤k≤1.

通過(guò)直角坐標(biāo)系將上述四種方法緊緊圍繞在一起，形成一種知識(shí)體系，達(dá)成共識(shí)，讓學(xué)生從中學(xué)會(huì)了貫通，將知識(shí)進(jìn)行重新整合，更有系統(tǒng)性，為提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力而提供便捷，使教材習(xí)題真正實(shí)現(xiàn)其價(jià)值.

“一題多解”是數(shù)學(xué)課堂解題教學(xué)中的一種最為常見(jiàn)形式，也是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的一條有效途徑. “一題多解”指的是通過(guò)不同的思維途徑，采用多種解題方法解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的教學(xué)方法.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的多元化發(fā)散思維訓(xùn)練，可以通過(guò)“一題多解”得以實(shí)現(xiàn).對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題而言，若能根據(jù)已知條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行發(fā)散性思維，善于橫縱聯(lián)系，多視角的深入分析，就可實(shí)現(xiàn)一題多解.平時(shí)把教材習(xí)題能利用好同樣能光彩綻放.