二三混水平設計基于水平置換方法的最優折疊方案

羅 彪，李洪毅，王治清，歐祖軍

(吉首大學 數學與統計學院,湖南 吉首 416000)

對兩水平設計而言，折疊設計是通過將初始設計中一個或多個因子的符號反號而生成的跟隨試驗. 通過將折疊設計中的處理與初始設計中的處理結合獲得的設計稱為組合設計. 文獻[1]最先在中心化L2-偏差下搜索最優折疊方案[2]. 對于多水平設計而言，通過反轉初始設計中因子符號的折疊方法不再適用，因此在多水平折疊設計中可用有限的幾何映射來定義折疊方案.文獻[3]研究了正規的q水平部分因析設計的最優折疊方案.文獻[4]通過對q水平因子使用modulo-q加法，提出了一種新的多水平因析設計的折疊結構，它適用于正規和非正規設計. 隨后，他們將該方法推廣到一般混水平的因析設計[5-6]. 針對三水平設計, 文獻[7]通過對每個因子的水平進行水平置換，提出了一種新的折疊策略，進一步推廣了文獻[4]的結果并把文獻[4]中的折疊策略作為特殊形式. 本文將文獻[7]中提出的折疊策略推廣到二三混水平設計，獲得了組合設計的一些性質，并給出了可卷型L2-偏差一個新的下界.

1 預備知識

對于任意的設計d∈U(n;2s13s2), 下面基于表1中ψ0和ξ0的水平置換分別對兩水平、三水平因子定義了新的折疊策略, 以及在新的折疊策略下的折疊設計與組合設計.

定義1對于任意的設計d=(d1,d2,…,ds)∈U(n;2s13s2), 其中dj表示設計d的第j列,j=1,…,s. 令

表1 ψ0和ξ0的水平置換表

Γ={γ=(γ1,γ2,…,γs)|γj1∈{ψ0,ψ1}),γj2∈{ξ0,ξ1,…,ξ6};j1=1,…,s1,j2=s1+1,…,s.}

在本文中，以可卷型L2-偏差作為衡量設計均勻性的準則. 對任意的設計d=(dij)n×s∈U(n;2s13s2),dij可以映射到uij, 其中

則設計d的可卷型L2-偏差可表示為[2]

(1)

若折疊方案γ*使得

則將γ*稱為設計d的最優折疊方案.

文獻[5]利用modulo-q加法對二三混水平設計d進行折疊.在本文的折疊策略下, 文獻[5]中的所有折疊方案為本文中的特殊情形，大幅地增加了折疊方案空間. 文獻[5]給出了組合設計d(γ)的可卷型L2-偏差[WD(d(γ))]2的一個下界：

[WD(d(γ))]2≥LB1(γ),

其中,

其中:t1表示折疊方案γ中γi取ψ1的個數;t2表示折疊方案γ中γj取ξ4和ξ5的總個數，i=1,…,s1，j=s1+1,…,s.

2 主要結果

對給定初始設計d∈U(n;2s13s2)，本節討論了定義1中折疊結構的性質, 獲得了組合設計d(γ)的可卷型L2-偏差[WD(d(γ))]2的一個新下界, 為在Γ中搜索設計d的最優折疊方案提供了基準.

(2)

其中,

所以, 式(1)中的[WD(d)]2可進行如下轉化

(3)

其中:hil為設計d中第i行與第l行二水平因子列的重合數;λil為設計d中第i行與第l行三水平因子列的重合數.

對于任意的γ=(γ1,γ2,…,γs)∈Γ, 令hil(γ)為原始設計d中第i行與折疊設計dγ中第l行之間二水平因子列的重合數,λil(γ)為原始設計d中第i行與折疊設計dγ中第l行之間三水平因子列的重合數,i,l=1,…,n, 則組合設計d(γ)的可卷型L2-偏差[WD(d(γ))]2轉化為重合數的函數形式, 見引理1.

引理1設d∈U(n;2s13s2), 對任意的折疊方案γ=(γ1,γ2,…,γs)∈Γ, 有

(4)

其中hil與λil如式(3)所定義.

證明由d(γ)的定義, 根據式(1)，有

證明完成.

設計d=(d1,d2,…,ds)∈U(n;2s13s2),dγ=(d1(γ1),d2(γ2),…,ds(γs))為設計d在折疊方案γ=(γ1,γ2,…,γs)∈Γ的折疊設計. 令g=0,1,k=0,1,…,5, 定義

Ag={i1|γi1=ψg,i1=1,…,s1},Bk={i2|γi2=ξk,i2=s1+1,…,s},dg={di1|i1∈Ag,i1=1,…,s1},dk={di2|i2∈Bk,i2=s1+1,…,s},dg(γ)={di1(γ)|i1∈Ag,i1=1,…,s1},dk(γ)={di2(γ)|i2∈Bk,i2=s1+1,…,s},fg=#{Ag},tk=#{Bk}.

為了得到組合設計d(γ)的可卷型L2-偏差[WD(d(γ))]2的下界, 下面介紹兩個引理.

引理2設d∈U(n;2s13s2), 對任意的γ=(γ1,γ2,…,γs)∈Γ, 則有

當g=0時, 對i,l=1,2,…,n,

同樣的方法可得到g=1時的情形, 對于i,l=1,2,…,n, 可得

當i=l時,

同理, 當1≤i≠l≤n時,

證明完成.

(5)

其中k是使得z(k)≤c/n≤z(k+1)成立的最大整數,p和q是使p+q=n和pz(k)+qz(k+1)=c成立的非負實數.

為了方便,給出[WD(d(γ))]2的新下界, 令

定理1設d∈U(n;2s13s2)，對任意的γ=(γ1,γ2,…,γs)∈Γ，有

[WD(d(γ))]2≥LB2(γ),

其中,

證明根據引理1和引理3，[WD(d(γ))]2可表示為:

證明完成.

3 數值例子

在本節中，將本文與文獻[5]所得到的組合設計以及下界進行了數值比較. 對于任意的設計d∈U(n;2s13s2), 記θ*表示初始設計d為文獻[5]中的折疊策略得到的最優折疊方案,LB1(θ*)表示[WD(d(θ*))]2的下界, 令γ*表示初始設計d為本文中的折疊策略得到的最優折疊方案,LB2(γ*)表示[WD(d(γ*))]2的下界.

例1考慮如下初始設計d1∈U(n;2332), 其中n=6,s1=3,s2=2，

根據文獻[5]中的折疊策略和下界, 得到的最優折疊方案為:

θ*=(ψ1,ψ0,ψ0,ξ0,ξ5),

[WD(d1(θ*))]2=0.5557,

LB1(θ*)=0.5195,LB2(θ*)=0.5309.

運用本文的折疊方法和新的下界，則可得到設計d1的最優折疊方案

γ*=(ψ0,ψ1,ψ1,ξ4,ξ0),

[WD(d1(γ*))]2=0.5491,

LB2(γ*)=0.5058.

例2考慮如下初始設計d2∈U(n;2333), 其中n=6,s1=3,s2=3.

根據文獻[5]中的折疊策略和下界, 得到的最優折疊方案為:

θ*=(ψ1,ψ1,ψ1,ξ5,ξ0,ξ0),

[WD(d2(θ*))]2=0.8513,

LB1(θ*)=0.8048,LB2(θ*)=0.8161.

運用本文的折疊方法和新的下界, 則可得到設計d2的最優折疊方案：

γ*=(ψ0,ψ1,ψ1,ξ4,ξ0,ξ0),

[WD(d2(γ*))]2=0.8396,LB2(γ*)=0.8098.

由例1和例2的結果可知:

[WD(d2(γ*))]2<[WD(d2(θ*))]2,

因此，本文所用的折疊方案能夠得到更均勻的組合設計，且所構造的下界比文獻[5]中的下界更緊.