破解中考幾何壓軸題技巧探究

何軍健

摘 要：幾何壓軸題常見于全國各地數學中考試卷。幾何壓軸題注重考查學生思維能力，難度比較高，對考生的幾何知識基礎掌握程度要求很高，同時需要學生具備一定的綜合應用能力，學生要在有限時間內完成有一定難度，所以學生要快速找到解決壓軸題的突破口還是需要一定技巧。因此文章主要對破解中考幾何壓軸題技巧進行探究，總結了“以問為導，尋找線索”“化繁為簡，各個擊破”“前后聯動，融會貫通”三個破解技巧。

關鍵詞：中考;幾何壓軸題;解題技巧

一、問題的提出

壓軸——指一場折子戲演出的倒數第二個劇目。在考試中所說的壓軸題是從這里引申過來的。很多數學考試通常把最有分量的試題放在最后三道題，也是我們所說的壓軸題，這也是學生成績拉開距離的題目，可見放在這些位置的題目無論是分值還是難度都不一般。每年的數學中考試后，說起中考壓軸題，特別是幾何壓軸題，很多學生都說無從下手，或者有些會說：“題目我都沒有看過……為什么會出現這種情況呢？難道壓軸題真的是高不可攀的山峰嗎？”

筆者任教畢業班多年，發現出現這種情況有客觀原因也有主觀原因。客觀原因是我們都知道壓軸題就是一張試卷里面比較難的題目，出題目的就是要區分出優等生和一般生，達到為高一級學校選拔人才的目的，所以壓軸題難度比較高，主要考查學生的綜合應用能力，學生要在有限時間內完成有一定難度;而主觀原因是很多教師一開始就灌輸：“壓軸題很難的，考試時間不多，把多點時間放在檢查前面已經完成的題目，保證正確率。”人為地給學生營造恐懼心理，讓很多學生談題色變，以至在考試過程中很多學生都放棄壓軸題。如何讓學生突破壓軸題這個瓶頸呢？筆者認為在平常的教學中要教會學生破解壓軸題的技巧。

二、技巧的概念界定

技巧，指表現在文學、工藝、體育等方面的巧妙的技能。如“談話技巧”;或者指技巧性的運動。如“技巧比賽”。技巧也可以說是屬于“方法”的一個范疇，主要指對一種生活或工作方法的熟練和靈活運用，也可比喻解決問題的好辦法。而數學解題技巧是指根據有關數學問題的不同特性，總結歸納出的巧妙的解題好方法與技能，幫助學生準確快速地找到解題思路，化難為簡，提升駕馭數學的能力，最終達到解題目的。

美國數學家哈爾莫斯指出：“問題是數學的心臟，數學家存在的理由就是解問題。因此，數學的真正的組成部分是問題和解。”數學家G·波利亞曾說過，“掌握數學就意味著善于解題”。他長期致力于“怎樣解題”的研究，他指出：“掌握數學就是意味著善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且要善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題。”法國著名數學家阿達瑪在其名著《數學領域中的發明心理學》把學生的解題過程與數學家的發明創造相提并論：“一個學生解決某一代數或幾何問題的過程與數學家做出發現或創造的過程具有相同的性質，至多只有程度上的差異。”因此中學數學教育首要任務就是加強解題訓練，教會學生思考，引導學生發現總結題目的解法和技巧，提高解題能力。

三、破解中考幾何壓軸題技巧的探究

對于中考幾何壓軸題的研究，每年都有不少文章針對當年全國各地最新的中考幾何壓軸題進行破解，國內不少學者也對破解中考幾何壓軸題的常用方法進行研究，取得不同程度的效果。但是眾所周知，中考壓軸大題都是出題老師的心血結晶，不會重復出現題目，思路也是做過多少套模擬題都沒有遇到過的新型題目，或者是之前碰到過一個類似的題型。可見中考壓軸題設計的可變性，每一道題的設計都不是一成不變的，那么是否可以找到一些方法或技巧去解決變化的中考幾何壓軸題？筆者認為不管題目如何變化，總能找到一些破解中考幾何壓軸題的通用技巧。筆者經過多年的畢業班教學實踐，對破解中考幾何壓軸題技巧進行研究，總結了如下三個破解技巧。

（一）以問為導，尋找線索

對于中考壓軸題，很多學生聽到“壓軸”二字就害怕，以為一點都不會做，其實壓軸題并不是競賽題，只是綜合性及創新性更強。一般地，中考數學壓軸題通常有三個小問，其中第一問比較簡單，中等水平的學生能夠比較輕易地解出來;第二問通常有些難度，通常要利用第一問的條件和結論。所以解決這一問可以用“以問為導，尋找線索”的方法解決。

我們知道所有題目設計的條件中有明顯和隱含的，而所有的條件都是為問題而設計的，所以我們要快速判斷出所給條件為誰服務，則要明白服務對象是誰。因此筆者認為破解壓軸題也一樣，特別是解決壓軸題第一問，可以先了解問題，后帶著問題看題目，尋找解題的線索，這樣可以達到事半功倍的效果。

如：（2015·陜西中考）如圖，在每一個四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12.

（1）如圖①，點M是四邊形ABCD邊AD上的一點，則△BMC的面積為____________________;

（2）如圖②，點N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點，請你求出△BNC周長的最小值;

（3）如圖③，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此時cos∠BPC的值;若不存在，請說明理由。

分析：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：勾股定理，矩形的判定與性質，對稱的性質，圓的切線的判定與性質，以及銳角三角函數定義，考查的知識點比較多。如何快速解答這道題呢？若直接讀題目，雖然題目文字不多，有好幾個明顯條件，但是所給條件與什么問題匹配？一下子是判斷不出來的，但若我們先看問題再回頭看題目，就基本可以判斷條件的作用。例如第一問，問題是求△BMC的面積，那么按照求三角形面積公式：[12]底邊×高，要解決這個問題，就要找到對應的底邊和高。所以回頭看題目就知道底邊BC是已知，沒有給出高，需要求高。又比如第二問，要求△BNC周長的最小值，要解決這個問題則需要知道各邊長，所以看題目就會留意要看是否給出與此三角形有關的線段長度。通過這樣操作，明確解題的方向。

從以上例子我們可以看出，用“以問為導，尋找線索”的方法解決幾何壓軸題，既節省了時間，避免重復花時間閱讀題目，又可以幫助學生快速找到問題所需要的條件和突破口，大大增加了得分概率。筆者認為教會學生這種解題思路，可以提高學生解決幾何綜合題的能力，特別是對于很多學習程度中下的學生來說是提高解決綜合題第一問的能力的一個好方法。

（二）化繁為簡，各個擊破

幾何綜合題大多是平行線、三角形、四邊形、相似三角形、銳角三角函數、圓等知識的綜合運用，考查知識點多、圖形復雜且條件隱晦，難度較高，要求學生有較強的理解能力、分析能力、解決問題的能力，數學基礎知識、數學基本方法有較強的駕馭能力，并有較強的解題創新意識和能力。但是所有復雜的圖形都是由基本圖形構成的，所以，遇到圖形復雜的幾何綜合題時可以嘗試用“化繁為簡，各個擊破”的方法，通過重畫圖形，把復雜圖形拆解回基本圖形，逐步遞進，識破命題意圖，這樣就能很清晰找到解題方法。

分析：本道題是一道圓綜合題，重點考查切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質、數形結合的思想等。題目文字不多，但是圖形給學生的感覺比較復雜，線段錯綜復雜，容易給學生造成視覺混亂，給學生造成恐懼感。筆者認為壓軸幾何題的圖形復雜是必然的，因為一道綜合題要考察的知識點較多，知識點的構成靠眾多具備某些特征的基本圖形構成，所以它的圖形必然復雜。那么如何破解呢？筆者經過多年畢業班教學實踐及研究多年的中考幾何壓軸題，發現可以根據問題的逐步遞進把圖形拆解，我們可以重新畫圖，把一些不需要或沒有用到的線先省去，簡化圖形，從而達到化繁為簡，各個擊破。

比如我們看第一問，它是求證CD是⊙O的切線，這一問實際上主要是與圓和線段CD有關，而線段OF、FD、AD及點G、A都沒有涉及，我們可以重新畫圖，把這些線段及沒有涉及的點省去，簡化圖形，如右圖為簡化后的圖形。此圖相對原圖就簡單明了，學生在平常都接觸過，學生只要連接OC證OC⊥ED即可。證明過程如下：

至此，已經完成第一、第二問的解題，第三問才真正用到原圖。一般第三問都是比較難的，況且分值也不多，這時在時間不多的情況下我們可以考慮放棄。

由以上例子可以發現，在遇到圖形復雜的幾何綜合題時可以嘗試化繁為簡，各個擊破，可以把原題圖形做化繁為簡處理，把還沒有用到的點或線不畫上去，簡化圖形，避免復雜的圖形影響學生的思考，讓學生快速、清晰地找到解題方法。

（三）前后聯動，融會貫通

一般地，中考數學壓軸題通常有三小問，壓軸題三小問之間命制的模式有并列、遞進或并列與遞進混合的邏輯關系，也就是有些壓軸題各小問是并列關系（即各問之間是獨立關系），有些是遞進關系（即第一問為第二問服務，第二問又為第三問服務，有些第一、第二問都為第三問服務），有些是并列與遞進混合關系。壓軸題第一問比較簡單，中等水平的學生能夠比較輕易地解出來。所以，看到壓軸題，學生不要過于恐懼，拿下第一問還能得兩三分。第二問通常有些難度，通常要利用第一問的條件和結論，所以，如果第一問做不出來，后面就更難。第三問難度最大，考驗的是學生的綜合能力。所以解答壓軸題還有一個技巧就是注意三小問之間的邏輯關系，判斷出它們的邏輯關系，捕捉命題者思路，然后前后聯動，融會貫通，快速找到解題方法。

如：（2017·南充中考）如圖，在正方形ABCD中，點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=[14]AB。

（1）求證：EF⊥AG;

（2）若點F、G分別在射線AB、BC上同時向右、向上運動，點G運動速度是點F運動速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只寫結果，不需說明理由）？

（3）正方形ABCD的邊長為4，P是正方形ABCD內一點，當S△PAB=S△OAB，求△PAB周長的最小值.

分析：本題是四邊形綜合題目，綜合性強，主要考查正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、三角形內角和定理、直角三角形的性質等知識。本題文字不多，圖形也不算復雜，我們如何快速找到思路去解決呢？筆者認為可以用“前后聯動，融會貫通”的方法去找到突破口。

首先看問題，發現第一、第二問的問題都是證明EF⊥AG，而第三問由面積去求周長，可以猜想本道題整個邏輯關系基本上是遞進關系或部分是遞進關系，所以關鍵是要解決第一問，解決不了第一問，估計第二、第三問有一定的難度，所以突破口在第一問。解答過程如下：

由于第一問是證明特殊位置的結論，第二問是探索運動情況下第一問的結論是否成立，根據遞進關系，猜想第二問的判定證明思路和方法可以模仿第一問去做，實際第一問的解決方法對第二問有提示作用，這樣就很容易解決了第二問，看具體證明過程：

（2）解：成立;理由如下：

以上例子說明，我們在做幾何壓軸題時可以由命題者設計的三個問題的邏輯關系，通過前后聯動，融會貫通，快速找到相應解決問題的突破口。

四、結束語

幾何壓軸題作為考查考生思維能力的一個重要方面，在中考中仍占有相當的比例。以幾何重點知識為載體，要求考生根據題意設計有一定層次、一定長度的推理過程，以檢測考生的邏輯思維能力、基本圖形分析能力和數學語言的表達能力，仍是中考命題的重點之一，幾何壓軸題對考生的知識基礎掌握程度要求很高，學生需要一定的思維能力，但是要能快速找到解決壓軸題的突破口還是需要一定技巧的。根據多年任教畢業班和教學實踐經驗，筆者總結出破解中考幾何壓軸題的三個通用技巧，目的在于遇到幾何壓軸題時，為學生快速找到解題思路，化難為簡，提升駕馭數學的能力，最終達到解題目的。

（廣東省茂名市崇文學校，茂名525000）