基于歐拉圖解的三段論推理教學設計探究

徐培亮 歐陽群英 張潔

【摘要】歐拉圖解在邏輯學教學中運用十分廣泛，其目的是使抽象晦澀的邏輯推理變得更具體、更清晰、更形象，以易于學生理解和掌握。歐拉圖解遵循一定的判定依據、步驟和注意事項，在三段推理教學中，它可以加深學生對三段論公理的全面理解和對三段論規則的靈活運用。但該方法也存在著畫圖時間冗長、畫圖過程繁瑣、缺乏簡明性等缺點，需通過建立“案例主導”教學模式，精心設計課前預習，綜合運用多媒體資源等方式手段彌補不足。

【關鍵詞】歐拉圖? 三段論? 邏輯學

【Abstract】Euler diagram is widely used in logic teaching. Its purpose is to make the abstract and obscure logical reasoning more specific， clearer and more vivid， so as to be easy for students to understand and master. Euler diagram follows certain judgment basis， steps and precautions. In the teaching of syllogism reasoning， it can deepen students comprehensive understanding of syllogism axioms and flexible application of syllogism rules. However， this method also has some disadvantages， such as long drawing time， cumbersome drawing process and lack of simplicity. It needs to make up for the deficiency by establishing a“case led” teaching mode， carefully designing preclass preview， and comprehen?sively using multimedia resources.

【Keywords】Euler diagram; Syllogism; Logic

【基金項目】陸軍工程大學基礎部教育教學課題“軍校學員邏輯思維訓練體系研究”（JCBJYJX20YB002）。

【中圖分類號】G64 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）19-0153-03

用圓圈表示概念外延的大小及相互關系的方法最早是由18世紀瑞士數學家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）提出的。這種方法借助圖形直觀地顯現了概念間的邏輯關系，被后人稱為“歐拉圖解”。

歐拉圖解在邏輯學的演繹推理教學中多次運用，除概念間的關系外，還可判定性質命題的推理和三段論的推理是否有效。本文的研究對象即歐拉圖解在三段論推理教學中的應用。

一、歐拉圖解的判定依據、步驟和注意事項

歐拉圖解作為邏輯推理的一種方法，同樣遵循前提推出結論的過程需符合邏輯的規律和規則這一原則。

（一）歐拉圖解的判定依據

一個推理，如果其前提為真，用歐拉圖解判定其結論也必然為真，則這個推理的形式是有效的;一個推理，如果前提為真，用歐拉圖解判定其結論必然為假，則這個推理的形式是無效的;一個推理，如果前提為真，用歐拉圖解判定其結論并非必然為真，則這個推理的形式也是無效的。

（二）歐拉圖解的步驟

根據判定依據，用歐拉圖解判定一個推理形式是否有效，首先假定推理的前提為真，然后用歐拉圖畫出前提中涉及到的所有概念之間的關系;其次，用歐拉圖再畫出結論中涉及到的所有概念之間的關系;再次，用前提中概念之間的關系驗證結論中概念之間的關系是否必然為真，如果必然為真，則可判定推理形式有效，如果必然為假或并非必然為真，則可判定推理形式無效;最后，作出判定的結論。

（三）歐拉圖解的注意事項

依據上述步驟，用歐拉圖解判定推理形式是否有效應注意以下三點：

1.準確畫圖

準確畫圖包括“質”和“量”兩方面的要求。一是能夠用圖形無誤地表示前提和結論所描述的命題邏輯，此為“質”;二是能將前提和結論所描述的所有命題邏輯無遺漏地表示出來，此為“量”。

2.認真識圖

在保質保量準確畫圖的基礎上，假定所有的表示前提命題邏輯的歐拉圖為真的情況下，認真識別所有的表示結論命題邏輯的歐拉圖的真假，特別是反映同一關系、包含關系、交叉關系的歐拉圖，判定它們是否清晰、精準、全面地囊括了前提推導出的種種。

3.謹慎判定

如果表示結論命題邏輯的歐拉圖在前提為真的所有歐拉圖下皆為真，那么就可以判定結論必然為真，此推理形式有效;如果表示結論命題邏輯的歐拉圖在前提為真的所有歐拉圖下皆為假，那么就可以判定結論必然為假，此推理形式無效;如果表示結論命題邏輯的歐拉圖在前提為真的所有歐拉圖下有的為真，有的為假，那么就可以判定結論并非必然為真，此推理形式無效。

二、歐拉圖解在三段論推理教學中的運用

三段論是由兩個包含著一個共同項的性質判斷出發，推出一個新性質判斷的推理。因為它包含三個性質判斷（直言判斷），又稱直言三段論。任何一個三段論都包含著三個項：大項（P）、小項（S）和中項（M）。其中，中項（M）即是在前提中都出現，而在結論中不出現的項。①

三段論推理的依據是三段論公理和三段論規則（包括一般規則和特殊規則），只有符合三段論公理和三段論規則的三段論推理才是有效的。

然而在具體教學中，教員費了大力氣備課，但仍感到講得無趣，學員也努力集中精力聽講，可依舊覺得晦澀難以理解。而用歐拉圖解判定三段論推理則可讓沉悶的課堂“活”起來，加深學生對公理的全面理解和對規則的靈活運用。

例如，現行的邏輯學教材在闡述三段論公理時都用到了三段論的結構式來表達：

所有M是P，? ? ? ? ? ? ? ? 所有M不是P，

所有S是M，? ? ? ? ? ? ? ? 所有S是M，

所以，所有S是P。? ? ? ? 所以，所有S不是P。

（結構式一）? ? ? ? ? ? ? ? ?（結構式二）

雖然這兩個結構式準確反映了“對一類事物的全部有所斷定，那么對該類中任一事物也必定有所斷定”的公理內容，但結構式仍是以文字為基礎對公理內容進行翻譯的，其本質上還需學習者在頭腦中自行聯想轉化，以便吸收接受。

而如果用歐拉圖解將公理內容直接展現出來，則更易于讓學習者加深理解，如圖1、圖2。

圖1、圖2是大部分教材在闡釋三段論公理時所采用的歐拉圖，但筆者認為，這兩幅圖并沒有全面地解釋公理內容。因為公理中涉及的三項概念之間不僅存在著包含關系，還存在著同一關系。而圖1反映的P、M、S之間的關系和圖2中反映的M、S之間的關系皆為包含關系。

而如果M和S是同一關系的話，那歐拉圖解三段論公理內容應如圖3、圖4所示。

同樣，對于結構式一而言，如果P和M是同一關系而M和S是包含關系的話，那歐拉圖應如圖5所示;如果P、M、S之間互為同一關系的話，那歐拉圖應如圖6所示。

圖1—圖6是三段論公理完整的歐拉圖解，這六張圖不僅全面地闡釋了公理內容，也巧妙地將概念與推理間的知識點聯結起來，既加深了學生對公理的深入理解，也凸出了課程嚴密的邏輯特點。

再如，這樣一個三段論結構式：

MIP

MIS

SAP

這是一個三段論第三格的結構式，如果根據三段論的規則來判定，這個推理形式很明顯是無效的。但在沒有掌握三段論的規則前，學生很難通過三段論公理來判定這一推理是否有效。

而如果要講解三段論第三格的規則②，教師一般會采用反證法來證明，即假設小前提是否定的，根據“前提中有一否定，結論必否定”的一般規則可知結論是否定的，則P是周延的，再根據“在前提中不周延的項，在結論中不得周延”的一般規則可推P在前提中周延，則大前提為否定命題。這樣一來，大小前提都為否定命題，又違反了“兩否定前提不能得結論”的一般規則。所以，假設不成立，可證明小前提必須肯定。那么，S在前提中就不周延，同理，S在結論中也不得周延，所以，結論只能是特稱命題。至此，才算將第三格的規則講解完整。

但整個推導過程建立在三段論的一般規則基礎之上，用到了七個一般規則中的三個。學生只有扎實掌握三段論的一般規則才能夠使頭腦高速旋轉，調動全部思維在頭腦中建立抽象的推導流程框架，然后才能順利理解特殊規則的推導。整個學習雖“燒腦”，但也增加了理解的難度，不利于調動學生的學習積極性和主動性。

而如果用歐拉圖解來驗證這個三段論是否有效則會使學習變得更直觀、更清晰、更具體，使課堂氛圍會活躍起來，學習效果也會自然提高。

教師引導學生準確畫出該三段論大小前提和結論所涉及的所有歐拉圖，然后由學生識別驗證前提與結論的歐拉圖的真假關系，如圖7所示。

從圖7可以看出，大前提MIP為真的歐拉圖有A、B、C、D四個，小前提MIS為真的歐拉圖有a、b、c、d四個，結論SAP為真的歐拉圖有ⅰ、ⅱ兩個。把MIP和MIS的歐拉圖結合起來共有16個組合，而能得到結論ⅰ或ⅱ的組合只有2個（A和a、B和c），其他14個組合或者必然得不出結論，或者不必然得出結論。所以，根據歐拉圖解的判定依據，該三段論的推理是無效的。

三、歐拉圖解的優劣及教學運用策略

從前文所述可以看出，運用歐拉圖解，可以從圖形中直觀清晰地判定出三段論推理是否有效，提升了教學的趣味性。同時，將歐拉圖解與探究式學習結合起來，增加了課堂互動，促進學生深度參與課堂，激發了學生學習的主動性和創造性，提升了學習熱情和興趣。而學生運用歐拉圖解必然要嚴格遵循其判定依據、步驟和注意事項，這期間逐步養成嚴謹的思辨思維和務實的求知精神，又實現了課程思政的目的。

然而，運用歐拉圖解，我們也看到了它的劣勢：如畫圖過程耗時，遇到繁瑣情況，只能等到所有圖形全部畫完才能進行識圖和判定，而使用圖形過多又使得該方法缺乏簡明性，造成課時冗長，影響授課進度。

那么該如何揚長避短，發揮歐拉圖解在教學中的最大效益呢？

首先，建立“案例主導”的教學模式。將歐拉圖解與案例主導相結合，選擇貼近學生生活和專業的鮮活案例作為教學資源，運用客觀生動的案例使歐拉圖反映的概念變抽象為具體;同時通過案例創設情境，學生不再囿于純理論的分析，而是以特定的身份真實感受邏輯推理，促進學生的獨立思考能力和批判性思維能力得到進一步提升。例如，前文所列舉的三段論第三格結構式，可以結合當下疫情防控的熱點時事展開教學，將某地疫情后網絡上的傳言作為剖析的具體案例：

某機場部分工作人員是新冠病毒肺炎感染者，

某機場部分工作人員是Z城人，

所以，Z城人都是新冠病毒肺炎感染者。

將結構式情境化，增強了課堂對學生的吸引力，以具體概念畫圖，學生的感官目標更明確，參與熱情也自然會提高。

其次，充分優化課前預習的教學設計。學員在課前完成兩項預習任務，一是仔細閱讀教材三段論相關知識點的內容，對閱讀中產中的推理疑問嘗試運用歐拉圖解判定，帶著未能解決的問題進入課堂尋找答案;二是完成教師安排的線上知識點測試題，自測歐拉圖解預習情況。教師在課前通過線上測試結果研判學生對歐拉圖解的掌握情況，有針對性地調整授課內容和計劃，提高課堂的有效利用率，以彌補畫圖耗時的不足。

最后，綜合運用多媒體教學技術和軟件。筆者前期在本校，面向學習“邏輯學基礎”課程的部分學生開展了一項問卷調查。結果顯示，88.13%的受訪者認為，采用音頻、視頻等多媒體教學資源可以提高知識習得的效果。而運用PS、CAD、Premiere等制圖、音視頻軟件制作教學資源可以最大限度發揮歐拉圖解的優勢，使圖形更鮮活更清晰，滿足學生學習需求，符合認知規律，更利于準確識圖和精準判定。

注釋：

①南開大學哲學院邏輯學教研室.邏輯學基礎教程（第三版）[M].天津：南開大學出版社，2014：89.

②三段論第三格規則：小前提必肯定，結論必特稱。

參考文獻：

[1]汪柏樹.性質命題推理有效性的歐拉圖解法判定[J].黃山學院學報，2010，12（1）：54-62.

[2]武慶榮.案例教學法在法律邏輯學課程教學中的有效應用[J].貴州工程應用技術學院學報，2017，35（5）：54-57.

[3]文穎豐.多媒體技術在“法律邏輯學”中的應用研究[J].新課程研究，2020（18）：19-20.

作者簡介：

徐培亮（1982年-），男，漢族，黑龍江哈爾濱人，陸軍工程大學基礎部人文教研室講師，文學碩士，研究方向：邏輯學教學、軍事寫作教學。