培養幾何直觀的四種途徑

韋愷華

(江蘇省常州市濱江中學 213001)

“數學是描述數量關系和空間形式的科學.”而“圖形”作為空間形式最主要的表現形式，可以幫助我們分析問題、尋求解決問題的方法.培養學生的幾何直觀能力可以幫助學生很好的理解概念的本質，把困難的問題變得容易.本文從四個途徑說明初中階段的課堂教學中如何培養學生的幾何直觀能力，發展學生的想象力，提升學生的數學思維.

一、培養畫圖習慣將抽象問題形象化

無論計算還是證明，邏輯的、形式的結論都是在形象思維的基礎上產生的.而學生在數學學習的過程中常常會遇到一些抽象的問題，如果借助圖形來理解概念，分析問題，往往能將抽象的數學問題變簡單.

例1等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為70°，其底角的度數為多少？(閱讀題目，獨立思考，同桌交流)

教學說明閱讀題目后，教師先引導學生借助畫圖來理解題目的信息，通過交流，學生基本能夠畫出兩種可能的圖形，并標注出題中的有效信息，再請學生結合示意圖分析自己的解題思路，突出畫圖對解決問題的便捷，能更加直觀地分析問題.

幾何直觀主要就是借助圖形分析和解決問題.在教學中，讓學生發現畫圖對解決問題的益處，從畫基本圖形開始，進一步幫助學生養成畫圖的習慣，提高學生的幾何畫圖水平，激發他們的數學學習興趣.

二、重視變換讓圖形動起來

圖形的運動(平移、旋轉、翻折)只改變圖形的位置、不改變圖形的形狀和大小，這一內容不僅是數學學習過程中的重要學習對象，也是認識數學的重要思想方法.在認識、學習、研究圖形時，讓圖形動起來，常常能得到圖形的一些性質，證明結論的正確性.

例2 蘇科版教材八年級上冊，在證明線段垂直平分線的性質時，就運用了圖形運動的方法，問題：線段AB的垂直平分線l交AB于點O，點P在l上，PA與PB相等嗎？

圖1 圖2

教學說明在本環節，學生能從線段垂直平分線的定義出發，通過SAS證Rt△AOP≌Rt△BOP證得PA=PB，這里采用了證明幾何題最常用的“綜合法”；事實上，幾何命題的證明方法很多，除以三段論證為主要形式的“綜合法”外常見的還有反證法、同一法等，也常通過圖形的運動來證實圖形的一些性質.

這里可以引導學生運用紙片將△AOP沿直線l翻折，則∠POA=∠POB，因此OA在射線OB上，且OA=OB，所以點A與B重合，以“兩點確定一條直線”為基本事實，可知PA與PB重合，所以PA=PB.這樣的說理過程符合邏輯，言之有據，能得出正確的結論，只是學生在表述時會存在困難，教師可給予適當幫助，讓學生感悟到證明圖形的性質有不同的方法，以幫助學生逐步學會運用圖形運動的方法認識和研究圖形的一些性質.

三、“數形結合”多角度認識數學

華羅庚曾說，數缺形時難直觀，形缺數時難入微，數形結合這一數學思想的應用極其廣泛.一方面，“數”可作為“形”的抽象概述，另一方面，“形”能成為“數”的直觀表現，將“數”與“形”相互結合，相互滲透，可以將抽象的數學問題直觀地反映出來，成為解決數學問題的重要策略.蘇科版教材八年級上冊《勾股定理》章節的內容很好地提供了讓學生感悟“從數到形”，“從形到數”的“數形結合”思想過程.

例3 勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2.

圖3

應用：如圖3，由Rt△ABC的三邊向外作正方形，若最大正方形的邊長為8cm，則正方形M與正方形N的面積之和為____cm2．

教學說明勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，不僅定理本身，很多的應用問題都體現了數形結合的思想.在本問題中，將正方形面積轉化成直角三角形的邊長問題，找到三個正方形面積之間的關系是解決問題的關鍵.一方面，由△ABC是直角三角形，可知AB2+AC2=BC2；另一方面AB2、AC2、BC2又分別代表了以AB、AC、BC為邊長的正方形的面積.因此最大正方形的面積等于正方形M與正方形N的面積之和，即64.

以數助形，以形助數，運用數形結合的思想解決問題，在教學過程中，加強學生對數形結合的運用，提高他們用數形結合的思想解決問題，可以提升他們的思維品質，更好的感受數學思維之美.

四、善用基本圖形解決問題

學生在數學學習的過程中會遇到各種幾何圖形，線段、射線、直線、三角形、四邊形等基本圖形，對研究較為復雜的圖形有重要的作用，因此，在教學過程中強化學生對基本圖形的運用，培養他們運用基本圖形去發現問題，分析問題的能力是非常必要的，這里以圓中的一個最值問題為例，簡要說明掌握基本圖形對解決問題的重要性.

例4 已知：如圖4，圓錐的底面圓的半徑為1，母線長OA為2，C為母線OB的中點，在圓錐的側面上，一只螞蟻從點A爬行到點C的最短路線長為多少？

圖4 圖5

教學說明教學中，首先要引導學生分析對圓錐表面的A、C兩點而言，只有將圓錐側面展開成扇形才能找到點A到點C的最短路線長，這里將立體圖形轉化成平面問題的過程中，準確判斷出點C最終的位置對學生的空間想象力有一定的要求；接下來需要找出展開后扇形的一些基本信息：半徑，圓心角，計算發現展開扇形所對圓心角為180°，如圖5，則∠AOD為90°；最后利用基本圖形直角三角形的勾股定理，求解出線段AC的長度，即為點A到點C的最短路線長.

很多的幾何問題最終都需要轉化成一些基本圖形來解決，在數學教學過程中，增強學生對基本圖形的應用意識，強化他們對基本圖形性質的運用能力，可以為今后學習更深層次的幾何問題打下基礎.

幾何直觀在數學的學習和研究過程中是非常重要的，在初中數學課堂教學中，通過培養畫圖習慣將抽象問題形象化，激發他們的數學學習興趣；通過重視圖形變換，幫助學生認識證明過程的不同表達形式；通過數與形的巧妙結合，提升他們的思維品質，多角度認識數學；通過借助基本圖形解決問題，讓學生經歷探索、體驗、分析的過程.