例析高考新題型的命制與解答策略
——以2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)多選題為例

江蘇 曾小娟

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》的頒布，高考的改革也不斷深入.為了能更好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，高考試卷的新題型也不斷涌現(xiàn)，比如2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)中就出現(xiàn)了多項選擇題.多項選擇題，相對于單項選擇題而言，考查容量大、涉及知識點多、解題思路廣、數(shù)學(xué)思想豐富，又因多級得分模式能對考生多層次區(qū)分，所以多選題對能力的考查更加深入，要求學(xué)生具備完整、細(xì)致、全面的思維品質(zhì)；多項選擇題出現(xiàn)在高考題中，可以增強數(shù)學(xué)考試的選拔功能，實現(xiàn)考試目標(biāo)，但目前市面上模擬卷中出現(xiàn)的一些多項選擇題的命制很牽強，比如以下兩道試題：

(1)若圓(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上總存在點到原點的距離為3，則實數(shù)a的取值范圍不可能是

( )

(2)下列說法正確的是

( )

A.直線x-y-2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2

B.點(0,2)關(guān)于直線y=x+1的對稱點為(1,1)

C.在△ABC中，若A

很顯然第一題就是對現(xiàn)有的單項選擇題直接進(jìn)行否定而得到,而第二題就是把一些知識點湊在一起、把幾個不相關(guān)的真命題和假命題放在一起，類似拼盤式得到大雜燴型的試題.那么優(yōu)秀的多選題究竟該如何命制呢？引起了筆者進(jìn)一步思考.

多項選擇題應(yīng)該是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中展示，可以是基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗等四基的體現(xiàn)，也可以是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題等四能的考查；可以直接考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握情況，也可以考查基本思想和基本活動經(jīng)驗，測評學(xué)生分析問題和解決問題的能力，還可以設(shè)計新運算、新概念等新情境問題，測評學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.筆者認(rèn)為多項選擇題的每一個選項之間應(yīng)該具有知識的內(nèi)在聯(lián)系或者思想方法的相通性.筆者通過研究2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)的多項選擇題及北京、浙江、天津等高考卷中的多空型填空題，同時研究了歷年物理等學(xué)科高考試題多項選擇題的命制方式，基于主干知識、基本思想方法、學(xué)生素養(yǎng)等三個方向，結(jié)合2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)談?wù)劧囗椷x擇題的命制方式及相應(yīng)的解題策略.

1.命制方式

1.1基于主干知識命制試題

高中階段，數(shù)學(xué)的主干知識主要有預(yù)備知識(集合、簡易邏輯、不等式等)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動等內(nèi)容，基于主干知識命制多項選擇題就是基于以上幾塊主干知識點發(fā)散出多個選項進(jìn)行命制，可以分為相同知識點的命制和不同知識點的命制.相同知識點的命制是基于主干知識命制多項選擇題最基本的方式，而不同知識點的命制需考慮其內(nèi)在聯(lián)系，這種命制方式恰好體現(xiàn)了高考在知識點的交匯處命題的習(xí)慣，這種綜合性也恰好能考查考生的數(shù)學(xué)思維能力及靈活運用所學(xué)知識解決問題的能力.

【例1】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·11)已知a>0，b>0，且a+b=1，則

( )

評注：本題是基于不等式這塊的主干知識，結(jié)合了基本不等式、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，發(fā)散出多個選項進(jìn)行命制，可以根據(jù)a+b=1，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進(jìn)行求解，主要考查不等式的性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

命制題1：已知函數(shù)f(x)=2x，g(x)=2x-8，則下列結(jié)論正確的是

( ).

A.若h(x)=f(x)g(x)，則函數(shù)h(x)的最小值為16

B.若h(x)=f(x)|g(x)|，則函數(shù)h(x)的值域為R

C.若h(x)=|f(x)|-|g(x)|，則函數(shù)h(x)有且僅有一個零點

D.若h(x)=|f(x)|-|g(x)|，則|h(x)|≤16恒成立

評注：本題是筆者所在學(xué)校的一次周測試題，答案選BCD，是基于函數(shù)知識，以f(x)=2x，g(x)=2x-8為條件，涵蓋4個不同的函數(shù)的屬性(如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期、零點等)，很好地考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

1.2基于數(shù)學(xué)思想方法命制試題

數(shù)學(xué)基本思想方法主要有數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論、方程、建模、類比、歸納推理、極限等.基于思想方法命制試題就是基于以上重要的數(shù)學(xué)思想或解決一類問題的通性通法發(fā)散出多個選項進(jìn)行命制，可以分為基于重要數(shù)學(xué)思想方法的命制和基于研究問題的一般方法的命制.基于重要的數(shù)學(xué)思想方法是基于數(shù)學(xué)思想方法命制多選題最基本的方式，而研究類似問題的相同的思想方法的命制，需考慮研究新問題與研究老問題之間思想方法的內(nèi)在聯(lián)系，這種命制方式恰好體現(xiàn)了高考考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力及靈活運用所學(xué)知識解決問題的能力.

【例2】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·10)如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=

( )

【例3】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·9)已知曲線C:mx2+ny2=1.

( )

A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上

D.若m=0，n>0，則C是兩條直線

評注：本題考查研究曲線的一般方法及曲線方程的特征，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)；熟知常見曲線方程的特點及其之間的區(qū)別是求解本題的關(guān)鍵，可以結(jié)合選項逐項分析進(jìn)行求解.

( )

A.曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱

B.曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)

C.曲線C上任意一點到原點的距離的最小值為2

D.曲線C所圍成的區(qū)域的面積小于4

1.3基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)命制試題

高中數(shù)學(xué)的解題首要任務(wù)是讓學(xué)生的解題能力得到培養(yǎng)，課標(biāo)對培養(yǎng)學(xué)生能力的要求，由開始的“四基”到“四能”，演變到現(xiàn)在的“六大核心素養(yǎng)”；多項選擇題應(yīng)該是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的集中展示，不僅可以考查“四基”，更能很好地考查“四能”等，基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)命制試題就是以開放性問題、探索性問題、新定義性問題出現(xiàn)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng).學(xué)生通過對此類問題的解決，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看客觀世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.

( )

A.若n=1，則H(X)=0

B.若n=2，則H(X)隨著p1的增大而增大

D.若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為1,2,…,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m)，則H(X)≤H(Y)

解析：對于A選項，若n=1，則i=1,p1=1，所以H(X)=-(1×log21)=0，所以A選項正確.對于B選項，若n=2，則i=1,2，p2=1-p1，

所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)]，

則H(X)隨著n的增大而增大，所以C選項正確.

對于D選項，若n=2m，隨機變量Y的所有可能的取值為1,2,…,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).

所以H(X)>H(Y)，所以D選項錯誤，故選AC.

點評：本題考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查學(xué)生分析、思考和解決問題的能力，涉及對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運用，可以結(jié)合選項逐項分析進(jìn)行求解，對于A選項，求得H(X)，由此判斷出A選項的正確性；對于B選項，利用特殊值法進(jìn)行排除；對于C選項，計算出H(X)，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項的正確性；對于D選項，計算出H(X),H(Y)，利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項的正確性.

2.解答策略