立體幾何中與球有關的問題探究

湖北 王 晶

幾何體的外接球和內切球問題是學生在立體幾何學習中的難點,也是高考和聯考的命題熱點,重在考查學生的空間想象能力和邏輯思維能力;此類問題的實質是解決球的半徑或確定球心的位置問題,其中球心位置的確定是關鍵.筆者在多年教學中把有關球的問題大致分為下面幾個類型.

類型一:與球有關的截面問題

【例1】棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點都在球O的表面上,E,F分別是棱AA1,DD1的中點,則直線EF被球O截得的線段長為

( )

【答案】D

【點評】本題考查球與正方體相“接”的問題,利用球的截面性質,轉化成為求球的截面圓直徑.

【聯考真題1】(2019·武漢市部分重點中學聯考)已知平面α截一球面得圓M,過圓M的圓心的平面β與平面α所成二面角的大小為60°,平面β截該球面得圓N,若該球的表面積為64π,圓M的面積為4π,則圓N的半徑為________.

【點評】本題考查球的截面圓與二面角的交匯問題,利用球的截面性質,巧妙地找出二面角的平面角,最后利用垂徑定理求出圓N的半徑,屬于中檔題.

【聯考真題2】如圖,已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球,則平面ACD1截球O的截面面積為

( )

【答案】C

【解析】平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內切圓.

【課本真題】(必修2第37頁習題B第2題)一個長、寬、高分別是80 cm、60 cm、55 cm的水槽中有水200 000 cm3,現放入一個直徑為50 cm的木球,如果木球的三分之二在水中,三分之一在水上,那么水是否會從水槽中流出？

【答案】水不會從水槽中流出.

【分析】根據長方體的體積公式求出水槽的體積,再根據球的體積公式求出木球的體積,結合題意,根據水槽中水的體積與木球在水中部分的體積之和與水槽的體積比較,即可確定答案.

所以V

【點評】本題考查了長方體和球的體積公式,解題關鍵是抓住水槽中水的體積與木球在水中部分的體積之和與水槽的容積之間的關系,屬于中檔題.

類型二:求幾何體外接球,內切球的半徑、表面積、體積

【方法點撥】1.一個幾何體的所有頂點在球上,此球即為外接球.確定其半徑的方法主要有如下四種:

A:根據球的定義及已知結論確定簡單多面體的外接球的球心,確定簡單多面體外接球的球心的結論如下:

結論1:正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點.

結論2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點.

結論3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點.

結論4:正棱錐的外接球的球心在其高上,具體位置可通過計算找到.

結論5:若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形,則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.

B:將幾何體補為長方體或正方體,化為這兩種特殊幾何體的外接球問題.常用的補形途徑與方法如下:

途徑1:正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是直角三角形的三棱錐都分別可構造正方體.

途徑2:同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分別可構造長方體和正方體.

途徑3:若已知棱錐含有線面垂直關系,則可將棱錐補成長方體或正方體.

途徑4:若三棱錐的三個側面兩兩垂直,則可將三棱錐補成長方體或正方體.

C:由球的性質確定球心.利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質,確定球心.

D:利用外接球的球心的特點(考慮建立空間直角坐標系,球心到幾何體所有頂點的距離相等,先確定球心的軌跡,再列等量關系,解得半徑).

2.球在幾何體內部,與其所有側面均相切,此球即為內切球,這種球的半徑多用等體積法來確定;特別需要注意內切球球心到多面體各面的距離均相等,外接球球心到多面體各頂點的距離均相等;正多面體的內切球和外接球的球心重合;正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上,但不重合;構造三角形利用相似比和勾股定理是基本方法;體積分割是求內切球半徑的通用做法.

【例2】直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,則此球的表面積等于________.

【解析】欲求球的表面積,歸根結底求球半徑R,與R相關的是重要性質R2=r2+d2.

現將問題轉化到求⊙O2的半徑,

因為△ABC是⊙O2的內接三角形,又知AB=AC=2,∠BAC=120°,三角形可解.

所以R2=r2+d2=4+1=5.所以S=4πR2=20π.

【聯考真題1】(2019·武漢市部分中學高二期中考)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為

( )

【答案】A

【解析】根據題意作出圖形,如圖所示,設球心為O,過A,B,C三點的小圓的圓心為O1,則OO1⊥平面ABC,延長CO1交球面于點D,則SD⊥平面ABC.

( )

【答案】B

所以S=4πR2=6π,故選B.

【高考真題】(2019·全國卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為

( )

【答案】D

類型三:與球的組合體有關的最值問題

【方法點撥】解決此類問題的關鍵：1.根據題目條件,畫出正確的截面,把空間“切”或者“接”問題轉化為“平面”問題處理;2.此類問題大部分是立體幾何與函數相結合的習題,根據題意得到函數解析式,轉化為求函數的最值.

【例3】在棱長為1的正方體內有半徑分別為R和r的兩個球相外切且又分別與正方體內切.(1)則R+r=________;(2)R=________,r=________時,兩球體積之和最小.

【分析】此題的關鍵在于作截面,一個球在正方體內,學生一般知道作對角面,而兩個球的球心連線也應在正方體的體對角線上,故仍需作正方體的對角面,得如圖的截面圖,在圖中,觀察R與r和棱長間的關系即可.

【解析】(1)如圖,球心O1和O2在AC上,過O1,O2分別作AD,BC的垂線交于點E,F.

(2)設兩球體積之和為V,

【點評】本題充分利用軸截面,將問題轉化成平面幾何問題,應用三角形中的邊角關系,建立與球半徑r,R的聯系,將球的體積之和用r或R表示,應用二次函數的圖象和性質確定其最小值.本題綜合性較強,是函數與立體幾何相結合的典例.

【聯考真題】(2018·吉林長春高三質檢)已知三棱錐S-ABC,滿足SA,SB,SC兩兩垂直,且SA=SB=SC=2,Q是三棱錐S-ABC外接球上一動點,則點Q到平面ABC的距離的最大值為________.

( )

【答案】B

【分析】作圖,D為MO與球的交點,點M為三角形ABC的重心,判斷出當DM⊥平面ABC時,三棱錐D-ABC體積最大,然后進行計算可得.

因為點M為三角形ABC的重心,

所以DM=OD+OM=4+2=6,