淺談函數(shù)切線的五重境界

山東 王懷興

與函數(shù)切線有關(guān)的知識(shí)在近幾年的高考試題中頻繁出現(xiàn)，以2020年與函數(shù)切線有關(guān)的真題為例，淺談函數(shù)切線的五重境界.

第一重境界：與函數(shù)圖象上在某點(diǎn)的切線相關(guān)

例1.(2020·全國(guó)卷Ⅰ理·6)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖像在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為

( )

A.y=-2x-1 B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

【答案】B

【解析】因?yàn)閒(x)=x4-2x3，所以f′(x)=4x3-6x2，所以f(1)=-1，f′(1)=-2，

因此，所求切線的方程為y+1=-2(x-1)，即y=-2x+1，故選B.

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在x=0處的切線方程；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(Ⅱ)f′(x)=a-x-sinx，因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,π]上是增函數(shù)，所以f′(x)≥0在區(qū)間[0,π]上恒成立，令a-x-sinx≥0，即a≥x+sinx，令g(x)=x+sinx，則g′(x)=1+cosx≥0，所以g(x)在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞增，所以g(x)max=g(π)=π，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[π,+∞).

解決與函數(shù)圖象上在某點(diǎn)的切線相關(guān)的問(wèn)題，是教材中最先呈現(xiàn)的，一般明確給出切點(diǎn).解決此種境界的問(wèn)題時(shí)要注意切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，利用函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，求得切線斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程，求得切線方程.

第二重境界：與函數(shù)圖象上過(guò)某點(diǎn)的切線相關(guān)

例2.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2.當(dāng)a>3時(shí)，求證：過(guò)點(diǎn)P(1,f(1))恰有2條直線與曲線y=f(x)相切.

【證明】設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,f(1))的曲線y=f(x)的切線切點(diǎn)為(x0,y0)，f′(x)=3x2-2ax，f(1)=1-a，

令g(x)=2x3-(a+3)x2+2ax+1-a，則g′(x)=6x2-2(a+3)x+2a=(x-1)(6x-2a)，

x(-∞,1)11,a3 a3a3,+∞ g'(x)+0-0+g(x)↗極大值↘極小值↗

所以過(guò)點(diǎn)P(1,f(1))恰有2條直線與曲線y=f(x)相切.

(Ⅰ)求曲線C上任意一點(diǎn)處切線的斜率的取值范圍；

(Ⅱ)若曲線C上存在兩點(diǎn)處的切線互相垂直，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；

(Ⅲ)試問(wèn)：是否存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩個(gè)不同點(diǎn)？若存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】(Ⅰ)f′(x)=x2-4x+3，則f′(x)=(x-2)2-1≥-1，即曲線C上任意一點(diǎn)處切線的斜率的取值范圍是[-1,+∞).

(Ⅲ)設(shè)存在過(guò)點(diǎn)A(x1,y1)的切線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)，另一切點(diǎn)為B(x2,y2)，x1≠x2，

但當(dāng)x2=2時(shí)，由x1+x2=4得x1=2，這與x1≠x2矛盾.所以不存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn).

解決與函數(shù)圖象上過(guò)某點(diǎn)的切線相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，一定要注意此點(diǎn)是切線的切點(diǎn)，也有可能是函數(shù)的某條切線經(jīng)過(guò)此點(diǎn)，然后再用第一重境界的方法解決此類問(wèn)題.務(wù)必要考慮全面，切記不要漏解.

第三重境界：與過(guò)函數(shù)圖象外一點(diǎn)的切線相關(guān)

例3.過(guò)點(diǎn)A(2，1)作曲線f(x)=x3-3x的切線最多有

( )

A.3條 B.2條

C.1條 D.0條

【答案】A

變式3：已知函數(shù)f(x)=x3-3x.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)P(1,n)，n≠-2，作曲線y=f(x)的切線，問(wèn)：實(shí)數(shù)n滿足什么樣的取值范圍，過(guò)點(diǎn)P(1,n)可以作出三條切線？

【解析】(Ⅰ)因?yàn)閒′(x)=3(x2-1)，所以在x=±1處取得極值，極大值f(-1)=2，極小值f(1)=-2.

由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.所以g(x0)在(-∞,0)，(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)g(x0)的極值點(diǎn)為x0=0，x0=1.

故所求的實(shí)數(shù)n的取值范圍是-3

解決與過(guò)函數(shù)圖象外一點(diǎn)的切線相關(guān)的問(wèn)題，一定要明確此點(diǎn)肯定不是切線的切點(diǎn)，所以要先設(shè)出此切線在函數(shù)某處的切點(diǎn)，再利用函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)求得切線斜率.同時(shí)，此切線斜率也可以用給出的定點(diǎn)和設(shè)出的切點(diǎn)兩點(diǎn)坐標(biāo)表示，然后再利用斜率相等，切點(diǎn)在曲線上解決此種境界的問(wèn)題.

第四重境界：與過(guò)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的切線相關(guān)

例4.設(shè)函數(shù)y=x2-2x+2的圖象為C1，函數(shù)y=-x2+ax+b的圖象為C2，已知C1，C2上存在過(guò)C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)的兩切線互相垂直，求a+b的值.

【解析】對(duì)于C1：y=x2-2x+2，有y′=2x-2，對(duì)于C2：y=-x2+ax+b，有y′=-2x+a，

設(shè)C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)為(x0，y0)，由題意知過(guò)交點(diǎn)(x0，y0)的兩條切線互相垂直.

變式4：(2018·江蘇卷·19)記f′(x),g′(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存在x0∈R，滿足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”.

(Ⅰ)證明：函數(shù)f(x)=x與g(x)=x2+2x-2不存在“S點(diǎn)”；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)=ax2-1與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；

【解析】(Ⅰ)函數(shù)f(x)=x，g(x)=x2+2x-2，則f′(x)=1，g′(x)=2x+2.

因此，f(x)與g(x)不存在“S點(diǎn)”.

設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”，由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)，得

(Ⅲ)對(duì)任意a>0，設(shè)h(x)=x3-3x2-ax+a.

因?yàn)閔(0)=a>0，h(1)=1-3-a+a=-2<0，且h(x)的圖象是不間斷的，

由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x)，得

此時(shí)，x0滿足方程組(**)，即x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)“S點(diǎn)”.

因此，對(duì)任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)上存在“S點(diǎn)”.

解決與過(guò)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的切線相關(guān)的問(wèn)題，一定要注意交點(diǎn)同時(shí)在兩條曲線上，交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式，再對(duì)交點(diǎn)分別采用前三個(gè)境界涉及的方法，解決此類問(wèn)題.

第五重境界：與一條直線同時(shí)與兩函數(shù)圖象相切相關(guān)

( )

【答案】D

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(Ⅱ)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

綜上，f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

所以曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

解決一條直線同時(shí)與兩函數(shù)圖象相切相關(guān)的問(wèn)題，一定要注意兩個(gè)切點(diǎn)分別在兩個(gè)函數(shù)圖象上，同時(shí)這兩個(gè)切點(diǎn)又同在這一條直線上，從而得到切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)同時(shí)等于切線的斜率，并且切點(diǎn)分別在兩條曲線上，采用前四個(gè)境界涉及的方法，解決此類問(wèn)題.