芻議“爪”形圖在平面向量共線問題中的處理策略

浙江 王 凱

一、問題緣起

人民教育出版社2019版普通高中教科書數學必修第二冊“平面向量及其應用”第6.4.1節“平面幾何中的向量方法”結束后給出了下面這個練習.

【練習】如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線交分別直線AB，AC于不同的兩點M，N.設AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值.

根據本節的教學內容，此題的解決思路如下.

這個習題和探究給我們揭示了平面中若有三點共線的一種向量表達式.

這個結論可以作為我們判斷平面中三點共線的一個重要工具，由于它的圖形非常類似雞的三個主爪，教學中也常常稱其為“爪”形圖.

借助這個結論，可以讓向量問題的線性關系在代數的“算”和幾何的“形”之間進行相互切換，讓我們更深刻的理解數學內容(向量代數式的幾何背景)，當然也可以較便捷的處理一些復雜問題.下面通過一些具體例子來加以說明.

二、以數表形，化繁為簡

在平面向量中，利用平面向量的基本定理將向量進行分解是分析題干理解題意的首要環節，不過有些條件下的分解會對學生數形互換有較高的要求，但我們可以借助“爪”形圖的代數結構，更快捷的實現以“數”表“形”.

三、以形輔數，一目了然

( )

A.(0,1) B.(1,+∞)

C.(-∞,-1) D.(-1,0)

這個問題基于幾何的“形”，輔以代數結構的轉換，讓問題一目了然，一望而解.

這個問題的普遍解答方式是通過建系，將ax+by變成一個三角表達式，最后利用三角函數的相關知識來求范圍和最值.

而我們可以利用“爪”形圖以形輔數，將問題的結果看出來.

在題干的條件下，根據例4的處理方法可知點P落在以點D為圓心，1為半徑的圓內(△ABC的外側部分，如圖所示).

例4和例5的解答過程讓我們感受到，可以把向量看作不依賴于坐標系的解析幾何，它具備解析幾何的種種優點，卻不被解析幾何的種種形式所局限.向量的幾何運算，不僅僅是數的運算，還包括圖形的運算；向量解題在一定程度上擺脫了輔助線，這可能正是萊布尼茨所設想的幾何：同時具有分析和綜合的優點，而不像歐幾里得幾何與笛卡爾幾何那樣分別只具有綜合的或分析的特點.

四、數形結合，如虎添翼

( )

C.8 D.16

解決這道考題的基本思路是先通過代數結構的變換，找到“爪”形圖的代數結構，接下來再利用相關結論解決問題.例6和例7的本質是通過代數變換，實現圖形的相似變換，把不符合“爪”形圖的圖形變回到“爪”形圖，把問題變回到本源的結構.

五、寫在最后

在數學解題教學中，應該引導學生尋求簡潔直觀的解題方法，從上面給出的幾個例子來看，基于“爪”形圖的解題方法朝著這個目標在前進.