砂巖蠕變特性試驗(yàn)及三維非線性力學(xué)模型研究

劉凡熙，趙立財(cái)，余建星，蔣騰健

(1. 廣西南寧水利電力設(shè)計(jì)院，廣西 南寧 530001；2. 天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300354；3. 南寧市城市建設(shè)投資發(fā)展有限責(zé)任公司，廣西 南寧 530031)

巖石是一種非均質(zhì)非線性的地質(zhì)材料，不僅具有彈性和塑性特征，其蠕變特征也是巖石力學(xué)中的核心研究內(nèi)容之一[1]。水利水電工程、采礦工程、隧道工程中巖體蠕變變形明顯會(huì)對工程建設(shè)與運(yùn)營造成威脅[2]。

對于巖石蠕變特性已有大量研究，江宗斌[3]探究水化學(xué)溶液和低溫對板巖蠕變特性的影響規(guī)律，基于此建立水化學(xué)-應(yīng)力-損傷耦合模型；徐鵬等[4]以粉砂巖為研究對象，開展多級增量循環(huán)加卸載流變試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果提出一種可描述塑性應(yīng)變變化規(guī)律的裂隙塑性元件，與Burgers模型串聯(lián)從而得到一個(gè)新的蠕變模型；梁冰等[5]進(jìn)行片麻巖三軸壓縮蠕變試驗(yàn)，對其起始蠕變應(yīng)力閾值、長期強(qiáng)度和加速蠕變啟動(dòng)時(shí)間進(jìn)行分析；何峰等[6]開展不同含水率下的煤巖蠕變試驗(yàn)，研究水對煤巖蠕變變形、長期強(qiáng)度等的影響。

目前關(guān)于砂巖蠕變特性試驗(yàn)所建本構(gòu)模型多為一維應(yīng)力狀態(tài)下的力學(xué)模型，難以反映巖石在三維應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變行為。本文以某大型水利樞紐工程壩肩砂巖為研究對象，進(jìn)行差異性圍壓條件下的三軸壓縮蠕變試驗(yàn)。重新定義了一個(gè)與時(shí)間和圍壓都相關(guān)的黏彈性模量E(p，t)，并得到了新的三維非線性力學(xué)模型。

1 蠕變試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)設(shè)備

蠕變試驗(yàn)采用RLW-2000型巖石三軸流變試驗(yàn)系統(tǒng)。該試驗(yàn)儀器由軸向、圍壓、孔壓加載系統(tǒng)進(jìn)行荷載控制，由伺服、控制系統(tǒng)進(jìn)行荷載和位移控制，通過數(shù)據(jù)采集和自動(dòng)繪圖系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)成果采集和輸出。軸向加載系統(tǒng)和圍壓加載系統(tǒng)的控制部分采用全數(shù)字伺服控制器，設(shè)備最大加載圍壓70 MPa，最大軸向荷載2000 kN。

1.2 試驗(yàn)材料及方案設(shè)計(jì)

本文研究背景為某大型水利樞紐工程壩肩邊坡，在滑帶附近取砂巖樣，將巖樣加工成直徑50 mm、高100 mm的圓柱樣，并打磨斷面使其平整。砂巖基本物理力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 巖石基本物理力學(xué)參數(shù)Table 1 Basic mechanical parameters of rock

圖1 不同加載等級下的偏應(yīng)力設(shè)置圖Fig.1 Schematic diagram of deflection stress at different loading levels

1.3 試驗(yàn)結(jié)果

圖2為分級加載蠕變曲線，將每級軸向荷載(偏應(yīng)力)標(biāo)示在曲線上方。在圖2的基礎(chǔ)上利用玻爾茲曼線性疊加原理[7]可得到分別加載蠕變曲線，如圖3所示。

圖2 分級加載蠕變曲線Fig.2 Graded loading creep curves

圖3 分別加載蠕變曲線Fig.3 Separate loading creep curves

根據(jù)圖2、3可作如下分析：

(1)巖石在軸向荷載下，首先產(chǎn)生一定量的瞬時(shí)彈性應(yīng)變，之后蠕應(yīng)變發(fā)展累積，蠕應(yīng)變量值遠(yuǎn)小于彈性應(yīng)變量值。當(dāng)偏應(yīng)力水平達(dá)到最后一級時(shí)，巖石出現(xiàn)加速蠕變階段，蠕變速率急劇增長，在短時(shí)間內(nèi)屈服破壞。由此可知，巖石不僅表現(xiàn)有瞬時(shí)彈性階段、衰減和穩(wěn)定蠕變階段，達(dá)到破壞偏應(yīng)力水平后還表現(xiàn)有加速蠕變階段。

(2)在圍壓5 MPa～15 MPa下，巖石蠕變試驗(yàn)歷時(shí)分別為228 h、203 h和188 h，破壞偏應(yīng)力水平持續(xù)時(shí)間分別為25.81 h、6.49 h和3.24 h，蠕變試驗(yàn)總歷時(shí)和破壞偏應(yīng)力水平持續(xù)時(shí)間隨著圍壓的增大而遞減。

2 試驗(yàn)結(jié)果

2.1 蠕變速率

研究巖石蠕變速率的變化規(guī)律，可以更好地認(rèn)識蠕變變形發(fā)展過程。張春陽等[8]提出如下蠕變速率解析方法：

(1)

式中：Δti為蠕變時(shí)間;ε1，ε2，…，εn為各微段蠕變；Δε1，Δε2，…，Δεn為微段蠕變之差；Δε和vi表示Δti時(shí)間內(nèi)總應(yīng)變和平均應(yīng)變速率。

根據(jù)式(1)的方法繪制蠕變速率曲線，如圖4所示，限于篇幅，僅給出圍壓5 MPa下的蠕變速率曲線。

圖4 蠕變速率曲線Fig.4 Creep-rate curves

由圖4可看出，巖石第4級蠕變加載曲線呈“桶”形，曲線簇從左到右分為3個(gè)區(qū)域：衰減蠕變階段、穩(wěn)定蠕變階段和加速蠕變階段。其中巖石第1～4級加載等級下的衰減蠕變階段，對應(yīng)圖中區(qū)域Ⅰ，該階段的蠕變速率在同一加載等級下逐漸遞減，在同一時(shí)刻隨著加載等級的提高而遞增；穩(wěn)定蠕變階段對應(yīng)圖中區(qū)域Ⅱ，該階段的蠕變速率在同一加載等級下基本保持恒定，在同一時(shí)刻隨著加載等級的提高而遞增;加速蠕變階段對應(yīng)圖中區(qū)域Ⅲ，蠕變速率劇增，短時(shí)間內(nèi)達(dá)到極限值。

2.2 穩(wěn)態(tài)蠕變速率與偏應(yīng)力的關(guān)系

繪制不同圍壓不同加載等級下的巖石穩(wěn)態(tài)蠕變速率與偏應(yīng)力的關(guān)系曲線，如圖5所示。

圖5 穩(wěn)態(tài)蠕變速率與應(yīng)力水平關(guān)系曲線Fig.5 Curves of the relationship between steady creep rate and stress level

由圖5可知，3種圍壓下的穩(wěn)態(tài)蠕變速率與偏應(yīng)力皆呈冪函數(shù)關(guān)系，R2分別為0.993 9、0.994 8和0.994 5。在巖石的穩(wěn)定蠕變階段，雖然穩(wěn)態(tài)蠕變速率與圍壓呈冪函數(shù)增長關(guān)系，但穩(wěn)態(tài)蠕變速率變化范圍較小，相對比較恒定，由此說明該階段是巖石微裂紋不斷發(fā)育和擴(kuò)展的過程，巖石蠕變?nèi)^程皆處于微裂紋發(fā)育、延展直至貫通的活動(dòng)狀態(tài)。

2.3 等時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

選取圖3中1 、11、21、31、41、51、61 h共7個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的偏應(yīng)力-應(yīng)變數(shù)據(jù)，繪制成等時(shí)蠕變曲線簇，如圖6所示。李良權(quán)等[9]取該曲線簇的拐點(diǎn)為巖石長期強(qiáng)度。

圖6 等時(shí)蠕變曲線簇Fig.6 Isometric creep-curve clusters

由圖6可知，通過取拐點(diǎn)的方法，圍壓5 MPa、10 MPa和15 MPa下的長期強(qiáng)度分別為19.8 MPa、22.3 MPa和24.7 MPa，長期強(qiáng)度隨圍壓的增強(qiáng)而逐漸增大。隨著時(shí)間增長，等時(shí)蠕變曲線簇逐漸偏于橫軸，表現(xiàn)出明顯的非線性特征。當(dāng)巖石未進(jìn)入加速蠕變階段時(shí)，蠕變變形為黏彈性變形，對應(yīng)圖6中曲線簇的近線性段，于是將等時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的斜率定義為黏彈性模量E(p)。圖7為黏彈性模量與不同圍壓的關(guān)系曲線。

圖7 黏彈性模量與圍壓關(guān)系曲線Fig.7 Relationship between viscoelastic modulus and confining pressure

由圖7可發(fā)現(xiàn)曲線近線性，用式(2)對圖7中7條曲線進(jìn)行線性回歸，結(jié)果如表2所示。

E(p)=Mp+N。 (2)

由表2可知，R2平均值為0.994 7，E(p)的兩個(gè)參數(shù)M、N的變化在某種意義上可反映砂巖蠕變的非線性特征，圖8為M、N隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)分布。

圖8 M和N擬合Fig.8 Fitting of M and N

從圖8可看出，M值與時(shí)間t呈冪函數(shù)關(guān)系，N值與時(shí)間t線性相關(guān)。式(3)、(4)分別為M、N的擬合結(jié)果：

M=-at-b,

(3)

N=-ct+d。

(4)

將式(3)、(4)代入式(2)得

E(p,t)=-at-bp-ct+d。

(5)

式(5)即為本文所建可反映差異性圍壓條件的黏彈性模量，通過式(5)可建立砂巖受時(shí)間和圍壓影響的時(shí)效力學(xué)響應(yīng)過程。

3 三維蠕變力學(xué)模型

3.1 模型建立

元件模型具有結(jié)構(gòu)簡單、便于應(yīng)用的特點(diǎn)，但常用的傳統(tǒng)元件模型如西原模型、Burgers模型等，其本構(gòu)方程為線性狀態(tài)，難以描述巖石蠕變的非線性特征。故本文在傳統(tǒng)Burgers模型的基礎(chǔ)上，串聯(lián)一個(gè)非線性黏塑性元件[10]，從而得到六元件模型。假定其中Kelvin體中的彈性體服從式(5)，從而得到一個(gè)新的非線性蠕變力學(xué)模型。模型示意圖如圖9所示。

圖9 模型示意圖Fig.9 Illustration of the model

當(dāng)σ0<σL時(shí)，非線性黏塑性體失效，其狀態(tài)方程為：

(6)

式中，σ0為初始應(yīng)力，σA、εA、E1和η1分別為圖10模型A部分的應(yīng)力、應(yīng)變、彈性模量和黏滯系數(shù)，σB、εB、E(p,t)和η2分別為模型B部分的應(yīng)力、應(yīng)變、黏彈性模量和黏滯系數(shù)。相應(yīng)的蠕變方程為：

多年來，何王廟故道一直是周邊40萬人口、200多戶漁民、80萬畝農(nóng)田的水源地。為給江豚提供一個(gè)舒適的生存環(huán)境，監(jiān)利縣對保護(hù)區(qū)水域的漁業(yè)捕撈、網(wǎng)箱養(yǎng)殖、洲灘放牧和農(nóng)業(yè)污水排放等方面進(jìn)行了綜合治理，并贖買了核心區(qū)漁民的捕撈工具，杜絕核心區(qū)捕撈活動(dòng)。

(7)

當(dāng)σ0≥σL時(shí)，非線性黏塑性體發(fā)揮作用，相應(yīng)的狀態(tài)方程為：

(8)

式中，σC、εC和η3分別為模型C部分的應(yīng)力、應(yīng)變和黏滯系數(shù)，σL為長期強(qiáng)度。相應(yīng)的蠕變方程為：

(9)

式(7)、(9)即為本文所建非線性蠕變力學(xué)一維模型。

假設(shè)巖石為各向同性體，根據(jù)廣義Hooke定律，三維應(yīng)力狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系為

(10)

式中，σm為球應(yīng)力張量，Sij為偏應(yīng)力張量，K為體積模量，G為剪切模量。

由于在巖體工程中，巖石多處于三維應(yīng)力狀態(tài)，而本文巖石蠕變試驗(yàn)也是三軸壓縮應(yīng)力路徑，故而有必要建立三維力學(xué)模型。假設(shè)巖石為各向同性體，分解巖石內(nèi)部的應(yīng)力張量，于是有

σij=Sij+δijσm，

(11)

一般認(rèn)為，σm只改變物體體積，Sij只引起形狀變化，因此也可以將應(yīng)變張量分解為

εij=eij+δijεm，

(12)

式中，εij為應(yīng)變張量，εm為球應(yīng)變張量，eij為偏應(yīng)變張量。

為了簡化問題，假定巖石材料蠕變僅由偏應(yīng)力張量引起，與體積變化無關(guān)，將式(7)、(9)推廣為三維情形

(13)

式中，(Sij)0為初始偏應(yīng)力張量，(Sij)L為對應(yīng)長期強(qiáng)度的偏應(yīng)力張量。

在本文三軸壓縮蠕變試驗(yàn)中，中間主應(yīng)力σ2=p，于是

σm=(σ1+2p)/3，

(14)

再結(jié)合式(11)，則有

S11=2(σ1-p)/3，

(15)

將式(5)、(15)代入式(13)可得

(16)

式(16)即為本文所建的新的三維非線性蠕變力學(xué)模型的軸向蠕變方程。

3.2 模型參數(shù)識別及驗(yàn)證

新建三維蠕變模型中有G1、η1、η2、η3、a、b、c、d、(σ1-p)L等共9個(gè)參數(shù)。圖7取拐點(diǎn)的方法可確定巖石長期強(qiáng)度σL，由于σL是通過等時(shí)偏應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系求解而得，所以偏應(yīng)力(σ1-p)L在數(shù)值上等于σL，通過廣義Hooke定律可求解G1。另外7個(gè)參數(shù)通過數(shù)學(xué)軟件1stOpt，基于爬山算法(Hill Climbing)求解。圖10為識別結(jié)果與圖3試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比曲線，表3為模型參數(shù)。

圖10 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與預(yù)測結(jié)果對比曲線Fig.10 Comparison curves between test data and predicted results

表3 蠕變力學(xué)模型參數(shù)

由圖10和表3可看出，本文新建三維非線性蠕變力學(xué)模型具有良好的識別效果，R2平均值為0.971 5，能較為準(zhǔn)確地描述砂巖在三維應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變力學(xué)行為。砂巖在不同應(yīng)力狀態(tài)下，加速蠕變階段具有不同的曲線特征，新建三維模型仍具有較強(qiáng)的識別能力，由此證明本文所建模型的合理性和適用性。

4 結(jié)論

(1)巖石穩(wěn)態(tài)蠕變速率與圍壓呈冪函數(shù)增長關(guān)系，穩(wěn)定蠕變階段是巖石微裂紋不斷發(fā)育和擴(kuò)展的過程，巖石蠕變?nèi)^程皆處于微裂紋發(fā)育、延展直至貫通的活動(dòng)狀態(tài)。

(2)通過等時(shí)蠕變曲線簇取拐點(diǎn)，得到砂巖在圍壓5 MPa、10 MPa和15 MPa下的長期強(qiáng)度分別為19.8 MPa、22.3 MPa和24.7 MPa，長期強(qiáng)度與圍壓大小呈正相關(guān)。砂巖的長期強(qiáng)度折減較大，實(shí)際工程應(yīng)用中應(yīng)考慮其折減問題。

(3)本文通過研究砂巖蠕變的非線性特征，定義了與圍壓相關(guān)的黏彈性模量E(p)，經(jīng)過推導(dǎo)變換得到了可反映巖石蠕變受時(shí)間和圍壓影響的E(p，t)。在傳統(tǒng)Burgers模型的基礎(chǔ)上，串聯(lián)一個(gè)非線性黏塑性元件，并將E(p，t)應(yīng)用到模型中，得到一個(gè)新的一維蠕變力學(xué)模型。將其拓展到三維應(yīng)力狀態(tài)，進(jìn)行模型辨識，證明新建三維非線性蠕變力學(xué)模型描述砂巖在不同三維應(yīng)力狀態(tài)的可行性和合理性。