非線性脈沖微分方程組邊值問題正解的存在性

王明高,唐秋云

(1.山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 淄博 255049;2.齊魯醫(yī)藥學(xué)院 山東 淄博 255300)

1 引言及預(yù)備知識

脈沖系統(tǒng)作為現(xiàn)代科學(xué)領(lǐng)域中廣泛存在的一類系統(tǒng)，應(yīng)用于許多領(lǐng)域中，比如人口動(dòng)力學(xué)、生物系統(tǒng)、工業(yè)機(jī)器人、最優(yōu)控制等。因此，對脈沖微分方程的探討已經(jīng)引起了國內(nèi)外學(xué)者的興趣，傅希林等[1]、Guo等[2]、郭大鈞[3]闡述了較系統(tǒng)的脈沖微分方程方面的理論基礎(chǔ)；依據(jù)這些理論，田亞芳等[4]、Agarwal等[5]、盧振花等[6]應(yīng)用Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理研究了脈沖微分方程的至少3個(gè)正解的存在性；劉衍勝[7]、尚亞亞等[8]在Banach空間中研究了二階脈沖微分方程邊值問題的解的存在性；鄭鳳霞等[9]、Xie等[10]、王巖巖等[11]分別用混合單調(diào)算子的不動(dòng)點(diǎn)定理和錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理得到脈沖微分方程正解的存在性；張亞莉[12]、唐秋云等[13]、朱雯雯等[14]則是利用錐上不動(dòng)點(diǎn)定理研究了微分方程(組)邊值問題的正解。然而由于脈沖微分系統(tǒng)的多樣性，在Banach空間中研究二階脈沖微分方程組的文獻(xiàn)目前還比較少。本文通過構(gòu)造一個(gè)特殊的算子，將脈沖問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)性問題，在Banach空間中運(yùn)用錐壓縮與錐拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理研究了二階脈沖微分方程組邊值問題，得到兩個(gè)正解存在性結(jié)果，運(yùn)用Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理得到了一個(gè)正解的存在性結(jié)果。

本文考慮二階非線性脈沖微分方程組邊值問題正解的存在性,方程組見式(1)。

(1)

其中θ為E中零元,fi∈C[J×P×P,P]，Iik∈C[P,P],i=1,2;k=1,2,…,m。

引理1.3[3]設(shè)E,F都是Banach空間,A,B分別是E,F中有界開集,E,F,E×F中的非緊性測度用α(·)表示,E×F中的范數(shù)用‖(x,y)‖=max{‖x‖,‖y‖}定義,則α(A×B)=max{α(A),α(B)}。

引理1.4[2](錐拉伸和錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)P為E中的一個(gè)錐,Pr,s={x∈P,r≤‖x‖≤s}(s>r>0),并設(shè)A:Pr,s→P為嚴(yán)格集壓縮算子,并滿足下面條件之一：

(i)當(dāng)x∈P,‖x‖=r時(shí)，‖Ax‖≥‖x‖,且當(dāng)x∈P,‖x‖=s時(shí)，‖Ax‖≤‖x‖，

(ii)當(dāng)x∈P,‖x‖=r時(shí)，‖Ax‖≤‖x‖,且當(dāng)x∈P,‖x‖=s時(shí)，‖Ax‖≥‖x‖,

則A在Pr,s中至少具有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

引理1.5[2](Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)D為Banach空間E中的有界凸閉集。如果A∶D→D是凝聚的,則A在D中至少具有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

2 正解的存在性

為方便起見，先列出下列條件:

(H2)對任意的r>0,fi(t,x,y)在[0,1]×BE(0,r)×BE(0,r)上一致連續(xù)，且其中BE(0,r)={x∈E,0<‖x‖≤r}。

(H3)存在lij≥0(i=1,2;j=1,2),滿足α(fi(t,C1,C2))≤li1αE(C1)+li2αE(C2),?t∈J,C1,C2為E中的有界集，且存在Lik≥0,D為有界集，使α(Iik(D))≤Likα(D),其中i=1,2;k=1,2,…,m,并且

K=∶{(x,y)∈C[J×J]∶?t,s∈J,x(t)≥tx(s),y(t)≥ty(s)}。

(2)

(3)

(4)

則易證(x,y)也是邊值問題(1)的解。

現(xiàn)考慮積分方程組(4),令

則

(5)

(6)

對?(X,Y)∈K,根據(jù)式(5),(6)定義算子

(7)

則方程組(4)轉(zhuǎn)化為

(8)

對?(X,Y)∈K,定義算子

(9)

其中

且T1(X(t))，T2(Y(t))由式(7)定義,易證式(9)在K上的不動(dòng)點(diǎn)也是積分方程組(8)的解,通過式(5),(6)可得積分方程組(4)的解,即邊值問題(1)在Q中的解。

根據(jù)式(2),(3)令

K1=∶{X∈C[J,P]∶?t,s∈J,X(t)≥tX(s)},K2=∶{Y∈C[J,P]∶?t,s∈J,Y(t)≥tY(s)},

引理2.1 假設(shè)Iik∈C[P,P],i=1,2;k=1,2,…,m,則Ti:Ki→Qi(i=1,2)連續(xù)有界。

證明顯然Ti(i=1,2)的定義是合理,且對?t∈J,?X∈K1有T1(X(t))≥X(t)≥θ。假設(shè){Xn}?K1,X0∈K1，使得

顯然由I1k(k=1,2,…,m)的連續(xù)性知

故由式(7)知

同理

類似可得

因而‖T1(Xn)-T1(X0)‖→0(n→∞),故T1∶K1→Q1連續(xù)。同理可證T2∶K2→Q2連續(xù)。

假設(shè)Ω?K1有界,則存在常數(shù)M>0,使得?X∈Ω,‖x‖≤M。由(5)知

故T1(Ω)[0,t1]有界。因?yàn)镮11連續(xù),所以I11(T1(Ω(t1)))也有界,且有

同樣，由I1k的連續(xù)性可得I1k(T1(Ω(tk)))有界。

類似可得

故T1(Ω)有界,即T1:K1→Q1有界。同理，T2:K2→Q2有界。證畢。

類似于文獻(xiàn)[13]中引理2.3的證明,易得以下引理。

引理2.2設(shè)(H1)滿足,Ω為K中有界集,則{A(X,Y)∶(X,Y)∈Ω}在J上等度連續(xù),且對?ε>0存在δ>0,滿足

‖A(X(t),Y(t))-A(X(t′),Y(t′))‖<ε。

關(guān)于|t-t′|<δ和(X,Y)∈Ω一致成立。

由非緊性測度定義及引理1.3容易推出以下引理。

引理2.3設(shè)(H1)成立,Ω為K中的有界集,則

引理2.4 若(H1)～(H3)滿足,則A∶KR→K是嚴(yán)格集壓縮算子。

證明首先說明對?(X,Y)∈KR，A(X,Y)∈K,且Ai(X(t),Y(t))≥θ,i=1,2,t∈J。另由(H1)和引理2.1知

‖fi(t,T1(X(t)),T2(Y(t)))‖≤ai(t)‖T1(X)‖+bi(t)‖T2(Y)‖+ci(t),i=1,2。

(10)

所以由式(9)得

故有‖A(X,Y)‖<+∞。

對?t,t′∈J有

因此A(X,Y)∈C[J×J]。

又對?t,u,s∈J,由于G(t,s)=min {t,s}≥min {ut,s}≥tmin {u,s}=tG(u,s)。所以

故A(KR)?K,即A∶KR→K。

現(xiàn)證A∶KR→K連續(xù)。設(shè)

對?t∈J,由(10)知

‖fi(t,T1(Xn(t)),T2(Yn(t)))‖≤ai(t)‖T1(Xn)‖+bi(t)‖T2(Yn)‖+ci(t)≤(ai(t)+bi(t))M+ci(t),i=1,2。

(11)

對?ε>0,由(H2)知,存在N1∈N，使得當(dāng)n>N1時(shí),有

‖f1(t,T1(Xn(t)),T2(Yn(t)))-f1(t,T1(X0(t)),T2(Y0(t)))‖≤2ε。

所以

‖A1(Xn(t),Yn(t))-A1(X0(t),Y0(t))‖

同理,對上述ε,存在N2∈N，使得當(dāng)n>N2時(shí),有

‖A2(Xn(t),Yn(t))-A2(X0(t),Y0(t))‖<ε。

故對?ε>0,取N=max {N1,N2},當(dāng)n>N時(shí)，有‖A(Xn,Yn)-A(X0,Y0)‖<ε,即

下證A∶KR→K為嚴(yán)格集壓縮算子。設(shè)Ω?KR有界,易知A(Ω)為有界集,根據(jù)引理2.2,A(Ω)在J上等度連續(xù)。以下證明αC(A(Ω))≤lαC(Ω)(l<1)。事實(shí)上,由引理2.3可知,只需證明

(12)

令Ω1={X|(X,Y)∈Ω},Ω2={Y|(X,Y)∈Ω}。因?yàn)?/p>

由(H3)知

所以由引理2.3,(H3)及文獻(xiàn)[3]中(9.4.11)知

由t的任意性知式(12)成立,即αC(A(Ω))

定理2.1設(shè)條件(H1)～(H5)滿足,且存在R>0使得

(13)

證明只需說明A在錐K中滿足引理1.4即可。首先證明對式(13)中的R有

‖A(X,Y)‖≤‖(X,Y)‖,?(X,Y)∈?KR。

(14)

事實(shí)上,對?(X,Y)∈?KR,由(H1)及(13)式知

故有(14)成立。

其次,由于(H4)成立,我們選取充分小的r(0

‖A(X,Y)‖≥‖(X,Y)‖,?(X,Y)∈?Kr。

(15)

最后,由(H5)成立,取充分大的R1>max {1,R},可以證得

‖A(X,Y)‖≥‖(X,Y)‖,?(X,Y)∈?KR1。

(16)

事實(shí)上,

根據(jù)定理2.1易知下面結(jié)論成立。

推論2.1設(shè)條件(H1)～(H3)滿足,(H4)和(H5)有一個(gè)成立，且對于定理2.1中的R使得式(13)仍然成立。則A在K中至少有一個(gè)非平凡不動(dòng)點(diǎn)。

證明略。

定理2.2設(shè)條件(H1)～(H3)滿足,則A在K中至少有一個(gè)非平凡不動(dòng)點(diǎn)。

3 結(jié)論

本文是在前期研究微分方程組邊值問題正解存在性[13]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了Banach空間中脈沖微分方程組邊值問題。另外，在本文中借鑒了文獻(xiàn)[1]將脈沖問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)性問題方法，利用錐拉伸和錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了脈沖微分方程組BVP(1)多個(gè)正解的存在性(見定理2.1),并在最后運(yùn)用Sadovskii不動(dòng)點(diǎn)定理得到了一個(gè)正解的存在性結(jié)果(見定理2.2)。