基于偏微分方程的圖像修復(fù)方法研究

苗曉，張新東，唐泉，楊思淵

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

圖像修復(fù)是利用已破損區(qū)域的周邊信息，通過(guò)確定擴(kuò)散信息和擴(kuò)散方向來(lái)獲得缺損區(qū)域信息，達(dá)到圖像復(fù)原的目的[1]。目前，圖像修復(fù)技術(shù)主要有基于紋理的圖像修復(fù)算法[2]以及非紋理圖像修復(fù)技術(shù)即基于偏微分方程(PDE)的修復(fù)算法[3]。基于偏微分的圖像修復(fù)算法有曲率驅(qū)動(dòng)擴(kuò)散(CDD)修復(fù)算法[4]和BSCB修復(fù)算法[5]、全變分(TV)修復(fù)算法[6]。其中，Shen等[6]于2002年在TV去噪模型的基礎(chǔ)上提出了TV圖像修復(fù)模型。

TV圖像修復(fù)模型由去噪模型發(fā)展而來(lái)，模型在去噪的過(guò)程中較好地保護(hù)了圖像邊緣，且PDE方法實(shí)現(xiàn)方便。但是該模型也有不足之處，例如不滿足視覺(jué)連通性原理，適合修復(fù)破損面積較小的區(qū)域；適合修復(fù)變化平滑的圖像等。為了進(jìn)一步優(yōu)化TV模型的修復(fù)效果，研究者們進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)?zāi)M。基于TV模型不滿足視覺(jué)連通性原理，Shen等[6]進(jìn)一步提出三階PDE方法-CDD圖像修復(fù)模型，通過(guò)曲率調(diào)節(jié)各項(xiàng)異性擴(kuò)散，從而滿足視覺(jué)連通性。2013年，王濤等[7]通過(guò)對(duì)TV模型加入擴(kuò)散系數(shù)，利用其控制各參考點(diǎn)對(duì)待修復(fù)區(qū)域的貢獻(xiàn)值，得到過(guò)渡自然，邊緣清晰的圖像。其提出的改進(jìn)模型得到的圖像在獲得較高峰值信噪比p的同時(shí)增加了修復(fù)時(shí)間。2015年，王戰(zhàn)等[8]提出一種全新的梯度優(yōu)先計(jì)算方法，該方法對(duì)大區(qū)域的破損有較好的修復(fù)效果。本文找到一種對(duì)待修復(fù)區(qū)域?qū)崿F(xiàn)不同權(quán)值的辦法，即在TV模型中引入一個(gè)以梯度模值作為參數(shù)的擴(kuò)散函數(shù)，此類函數(shù)在小梯度區(qū)域，擴(kuò)散函數(shù)取值較大，增強(qiáng)圖像的平滑度；在大梯度區(qū)域，擴(kuò)散函數(shù)取值較小，降低圖像的平滑度，保護(hù)了圖像的邊緣信息，也提高了圖像的修復(fù)速度。以下計(jì)算對(duì)給定圖像，其破損區(qū)域記為ω，破損區(qū)域的外鄰域記為Ω，修復(fù)后的區(qū)域?yàn)棣亍圈盖疫吘夁B通。

1 模型的改進(jìn)和實(shí)現(xiàn)

基于TV模型的圖像修復(fù)代價(jià)函數(shù)為：

(1)

其中，Z=Z(x,y,t)為t時(shí)刻修復(fù)后圖像的像素值；Z0=Z(x,y,0)為待修復(fù)圖像的像素值；?是梯度算子；λ是拉格朗日乘子。

通過(guò)求解式(1)的最小能量泛函得到其Euler-Lagrange方程：

(2)

式(2)對(duì)應(yīng)的梯度下降流方程為：

(3)

其中，β是一個(gè)較小的常量，以保證梯度模|?Ζ|為零時(shí)式(3)有意義。

類似梯度下降流方程，Malik等[9]提出各項(xiàng)異性擴(kuò)散方程(P-M方程)如下：

(4)

其中，g是擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)，且是一個(gè)滿足g(0)=1，g(∞)=0的非負(fù)有界遞減函數(shù)。

本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上針對(duì)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行修改，得到新的擴(kuò)散函數(shù)如下：

(5)

其中，正常數(shù)K是調(diào)整保護(hù)梯度的范圍。此擴(kuò)散函數(shù)可以在小梯度區(qū)域增強(qiáng)平滑，大梯度區(qū)域降低平滑。所以，將此擴(kuò)散函數(shù)作用于修復(fù)模型便可控制各參考點(diǎn)的權(quán)值，從而使圖像邊緣清晰，過(guò)渡自然。

(6)

2 數(shù)值實(shí)現(xiàn)及結(jié)果分析

2.1 方程的離散化

圖1 鄰域像素點(diǎn)Fig.1 Neighborhood pixel points

(7)

其中，h表示步長(zhǎng)，選取h=1，然后估算半像素點(diǎn){n,e,s,w}的梯度值，如下，以e點(diǎn)為例[7](其余點(diǎn)類似):

(8)

梯度模值：

(9)

依次算出其余半像素點(diǎn)梯度模值，代入式(7)得

div(v)=(v1e-v1w)+(v2n-v2s)

(10)

將式(10)代入式(6)對(duì)應(yīng)的定常方程，則得到離散化的修復(fù)方程為：

(11)

(12)

式(12)即為最終得到離散方程的差分格式，模型的穩(wěn)定性分析請(qǐng)參考文獻(xiàn)[11]。

本文取λO(0)=0，將各像素值統(tǒng)一帶入式(11)，化簡(jiǎn)得到：

(13)

式(13)是對(duì)待修復(fù)點(diǎn)進(jìn)行一次迭代的具體形式，那么迭代n0次的具體形式為:

(14)

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析及對(duì)比

本實(shí)驗(yàn)在CPU為2.0 GHz，內(nèi)存為4.0 GB的計(jì)算機(jī)平臺(tái)，運(yùn)用Matlab2016對(duì)算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。實(shí)驗(yàn)分別采用Pepper和Lena灰度圖像，像素大小為256×256，進(jìn)行兩組對(duì)比實(shí)驗(yàn)。對(duì)比實(shí)驗(yàn)1，對(duì)Pepper圖像進(jìn)行小區(qū)域劃痕修復(fù)，對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。對(duì)比實(shí)驗(yàn)2，對(duì)Lena圖像進(jìn)行大區(qū)域劃痕修復(fù)，對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)對(duì)比，取自適應(yīng)參數(shù)β為0.01，峰值信噪66(p)達(dá)到最大值時(shí)迭代停止，即得到修復(fù)圖像。

圖2 小區(qū)域破損實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison of damage experiment results in small areas

圖3 大區(qū)域破損實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of damage experiment results in large areas

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，本文算法不僅對(duì)小區(qū)域破損圖像有明顯修復(fù)效果，對(duì)大區(qū)域破損同樣有效。根據(jù)圖2我們發(fā)現(xiàn)采用 TV 算法輸出的修復(fù)圖像不滿足視覺(jué)連通性，根據(jù)文獻(xiàn)[10]算法輸出的修復(fù)圖像有一定的階梯效應(yīng)。由表1～2數(shù)據(jù)可知，本文算法輸出的修復(fù)圖像無(wú)論是迭代次數(shù)、用時(shí)，還是修復(fù)效果，均具有明顯優(yōu)勢(shì)。基于偏微分的圖像修復(fù)采用峰值信噪比來(lái)對(duì)修復(fù)的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)[13]。評(píng)價(jià)函數(shù)如下

(15)

其中，M×N為圖像的大小，Z*(i,j)和Z(i,j)分別為原圖像和修復(fù)后圖像在對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)的像素值。p值越大，則表明修復(fù)效果越好。不同算法得到的修復(fù)圖像，其p值及迭代時(shí)間和迭代次數(shù)如表1～2所示。

表1 小區(qū)域劃痕修復(fù)實(shí)驗(yàn)

表2 大區(qū)域劃痕修復(fù)實(shí)驗(yàn)

綜合表1～2數(shù)據(jù)可知，TV算法、文獻(xiàn)[10]算法與本文算法相比，本文算法的p值有明顯提高；在修復(fù)效果基本相同的情況下，修復(fù)圖像所需要的時(shí)間最少，體現(xiàn)了本文算法具有良好的應(yīng)用價(jià)值。

3 結(jié)論

本文針對(duì)TV圖像修復(fù)算法的局限性，在給出了一個(gè)新的擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上對(duì)TV算法進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)對(duì)峰值信噪比、迭代時(shí)間及迭代次數(shù)進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，本文算法修復(fù)效果更好，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該算法的優(yōu)越性。