函數(shù)與方程思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

劉園園

函數(shù)與方程思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

劉園園

函數(shù)與方程是初中數(shù)學(xué)很重要的內(nèi)容，也是中考的重點(diǎn)，函數(shù)與方程思想是解決實(shí)際問題的重要工具.

例1（2014·徐州）某種商品每天的銷售利潤(rùn)y（元）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足關(guān)系：y=ax2+bx-75.其圖像如圖1.

（1）銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該種商品每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？

（2）銷售單價(jià)在什么范圍時(shí)，該種商品每天的銷售利潤(rùn)不低于16元？

【思路突破】（1）由函數(shù)y=ax2+bx-75的圖像過點(diǎn)（5，0）、（7，16），根據(jù)待定系數(shù)法，可得二次函數(shù)解析式，進(jìn)而求得頂點(diǎn)坐標(biāo)可確定最值；

（2）根據(jù)函數(shù)值大于或等于16，列出不等式，求出x的值，得出單價(jià)銷售范圍.

解：（1）y=ax2+bx-75圖像過點(diǎn)（5，0）、（7，16），∴

圖1　

∴y=-x2+20x-75=-（x-10）2+25，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（10，25），

即當(dāng)x=10時(shí)，y最大=25.

答：銷售單價(jià)為10元時(shí)，該種商品每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25元.

（2）（方法一）∵函數(shù)y=-x2+20x-75圖像的對(duì)稱軸為直線x=10，可知點(diǎn)（7，16）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是（13，16），

又∵函數(shù)y=-x2+20x-75圖像開口向下，

∴當(dāng)7≤x≤13時(shí)，y≥16.

（方法二）由-（x-10）2+25=16，

得x1=13，x2=7.

又∵函數(shù)y=-x2+20x-75圖像開口向下，

∴當(dāng)7≤x≤13時(shí)，y≥16.

答：銷售單價(jià)不少于7元且不超過13元時(shí)，該種商品每天的銷售利潤(rùn)不低于16元.

【解后反思】本題解題關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)，結(jié)合待定系數(shù)法求解析式，再利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值.方法一利用對(duì)稱點(diǎn)求不等式的解集；方法二通過解方程-（x-10）2+25=16得x1=13，x2=7.兩種方法各體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，其實(shí)很多時(shí)候函數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決.

例2（2015·安徽）如圖2，一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2= ax2+bx+c的圖像相交于P、Q兩點(diǎn)，則函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的圖像可能是（）.

圖2　

【思路突破】由一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖像相交于P、Q兩點(diǎn)，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得出函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系得出函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的對(duì)稱軸x=-＞ 0，即可進(jìn)行判斷.

解：∵一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+ bx+c的圖像相交于P、Q兩點(diǎn)，

∴ax2+bx+c=x，即方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根（即P、Q橫坐標(biāo)的值），

∴函數(shù)y=ax2+（b-1）x+c的對(duì)稱軸x=

∵a＞0，∴開口向上，∴A符合條件.

【解后反思】本題考查了二次函數(shù)的圖像，直線和拋物線的交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)和方程的關(guān)系以及方程和二次函數(shù)的關(guān)系等，函數(shù)與方程有著相輔相成的關(guān)系，熟練掌握函數(shù)與方程問題的相互轉(zhuǎn)化及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例3（2015·連云港）在某市組織的大型商業(yè)演出活動(dòng)中，對(duì)團(tuán)體購(gòu)買門票實(shí)行優(yōu)惠，決定在原定票價(jià)基礎(chǔ)上每張降價(jià)80元，這樣按原定票價(jià)需花費(fèi)6000元購(gòu)買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費(fèi)了4800元.

（1）求每張門票的原定票價(jià)；

（2）根據(jù)實(shí)際情況，活動(dòng)組織單位決定對(duì)于個(gè)人購(gòu)票也采取優(yōu)惠政策，原定票價(jià)經(jīng)過連續(xù)二次降價(jià)后降為324元，求平均每次降價(jià)的百分率.

【思路突破】（1）設(shè)每張門票的原定票價(jià)為x元，則現(xiàn)在每張門票的票價(jià)為（x-80）元，根據(jù)“按原定票價(jià)需花費(fèi)6000元購(gòu)買的門票張數(shù)，現(xiàn)在只花費(fèi)了4800元”建立方程，解方程即可.

（2）設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為y，根據(jù)“原定票價(jià)經(jīng)過連續(xù)二次降價(jià)后降為324元”建立方程.

解：（1）設(shè)每張門票的原定票價(jià)為x元，則現(xiàn)在每張門票的票價(jià)為（x-80）元，根據(jù)題意得解此方程并檢驗(yàn)得x= 400.

（2）設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為y，根據(jù)題意得400（1-y）2=324，

解得：y1=0.1，y2=1.9（不合題意，舍去）.

答：平均每次降價(jià)10%.

【解后反思】方程應(yīng)用類型的題目解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.

例5（2015·南通）關(guān)于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在-1和0之間（不包括-1和0），則a的取值范圍是______.

【思路突破】首先根據(jù)根的情況利用根的判別式解得a的取值范圍，然后根據(jù)兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在-1和0之間（不包括-1和0），結(jié)合函數(shù)圖像確定其函數(shù)值的取值范圍，易得a的取值范圍.

解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2-3x-1= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ=（-3）2-4×a×（-1）＞0，

設(shè)y=ax2-3x-1，

∵實(shí)數(shù)根都在-1和0之間，

圖3　

當(dāng)x=-1時(shí)，y=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，a＜-2；

【解后反思】關(guān)于二次方程的根的分布問題，如果僅僅從方程的角度只考慮Δ＞0是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，這樣僅能說明有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根而已，要進(jìn)一步滿足兩根在-1和0之間，必須將方程轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)，然后結(jié)合二次函數(shù)圖像的特點(diǎn)（開口方向，對(duì)稱軸，圖像與x軸的交點(diǎn)等）進(jìn)一步列出參數(shù)需要滿足的條件方可.

函數(shù)思想即用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題，方程思想即從數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，將問題中的條件轉(zhuǎn)化為各種數(shù)學(xué)模型.同時(shí)，函數(shù)思想與方程思想關(guān)系密切，有時(shí)，需要將函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化才能達(dá)到解決問題的目的，正是這些聯(lián)系，促成了函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)解題中的互化互換，豐富了數(shù)學(xué)解題的思想寶庫(kù).

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）