截長補短法解決線段和差問題

深圳市西鄉中學 楊小玲

截長補短法是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的重要思想之一。截長就是將一條線段截成兩段，補短就是將一條線段延長，使其與已知建立聯系。

一、a+b=c 型

例1：如圖1，△ABC 內接于⊙O，AB ＝AC，點D 為弧AC 上的動點，且在點D 的運動過程中，過A 點作AH ⊥BD，求證：BH＝CD ＋DH。

圖1

圖2

解法一：在長邊上截取較長的邊

如圖2，在BH 上取點M，使BM=CD，連接AM。

由圖可知∠ABD=∠ACD，∵AB=AC，∴△ABM ≌△ACD（SAS），

∴AM=AD。∵AH ⊥MD，∴MH=HD，

∴BH=BM+MH=HD+CD。

解法二：在長邊上截取較短的邊

如圖3，在BH 上取點M，使MH=HD，連接AM、CD。

∵AH ⊥MD，∴AM=AD。由圖可知∠ADB=∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ADB，

∴∠MAD=∠CAB， ∴∠MAD-∠MAC=∠CAB-∠MAC，∴∠BAM=∠CAD，

又∵AB=AC，∴△ABM ≌△ACD（SAS），

∴BM=CD，∴BH=BM+MH=HD+CD。

圖3

圖4

解法三：延長較長的邊

如圖4，延長CD，過A 作AM ⊥CD 于M。

由圖可知∠ABD=∠ACD，且AB=AC，

易證△ABH ≌△ACM，∴AH=AM，

易證Rt △ADH ≌Rt △ADM（HL)，∴DH=DM。

∴BH=CM=CD+MD=CD+DH。

解法四：延長較短的邊

如圖5，延長HD 至點M，使DM=CD，連接AM。

∵四點A、B、C、D 共圓，∴∠ABC+∠ADC=180°。

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

圖5

由圖可知∠ADB=∠ACB，∴∠ADB+∠ADC=180°。

又∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠ADM=∠ADC，

又AD=AD，∴△ADM ≌△ADC，

∴AC=AM，∴AB=AM。

又∵AH ⊥BD，∴BH=HM=HD+DM=HD+DC。

解法五：延長較短的邊

圖6

如圖6，延長CD 至點M，使CM=BH，連接AM，

易證△BAH ≌△CAM，∴AH=AM，∠AHB=∠AMC，

易證Rt △ADH ≌Rt △ADM（HL），∴DH=DM，

∴BH=CM=CD+DM=CD+DH。

能夠用多種方法來解決問題是能力提高的具體體現，教師要讓學生從多種角度思考，這樣才能不斷提高自己的數學思維水平，另外，依托題干中的已知條件可以得出：AB=AC，∠ABD=∠ACD，這就不難想到構造兩個三角形來證明全等，從而證明數量關系。以上方法中，解法一、三、五是最容易想到的，所以在教學中，老師可以引導學生用好已知條件快速找出最優化的解決方法，以提高自己的能力。

二、a+b=kc 或型

例2： 如 圖7， 在Rt △ABC 中， ∠ACB=90 °，CD 平 分∠ACB，連接AD、DB，∠ADB=90°，求證：AC+BA= CD。

圖7

圖8

解法一：延長較長的邊

如圖8，延長CB 至E，使BE=AC，連接DE，則AC+CB=CB+BE=CE。

∵∠ACB+∠ADB=180°，∴四點A、B、C、D 共圓，∴∠DAC+∠DBC=180°。

∵∠CBD+∠DBE=180°，∴∠DAC=∠DBE。

∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=45°，

由圖可知∠ACD=∠ABD=45°，

又∵∠DAB=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-45°=45°，

∴AD=BD，∴△DAC ≌△DBE，∴CD=DE，∠ADC=∠BDE，

∵∠ADC+CDB=90°，

∴∠BDE+∠CDB=90°，∴∠CDE=90°。

在Rt △CDE 中，

解法二：延長較短的邊

如圖9，延長AC 至E，使AE=CB，連接DE，

易證△DAE ≌△DBC，∴CD=DE，CE=AC+CB，

由此得到等腰直角三角形CDE，

圖9

如圖10，過D 作DG ⊥AC 于G，作DH ⊥CB 于H。

∵CD 平分∠ACB，∠G=∠GCB=∠CHD=90°，∴四邊形GCHD 是正方形，∴GC=CH。

在Rt △ADG 和Rt △BDH 中，

DG=DH，AD=DB（法一中已證），∴Rt △ADG ≌Rt △BDH（HL)，∴GA=BH。∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=45°。

圖10

解法四：在長邊上截取，但這里有 ，直接截取不行，可以考慮作垂直

如圖11，過A 作AM ⊥CD 于M，過B 作BN ⊥CD 于N，

∵CD 平分∠ACB，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠DCB=45°。

又∵∠AMC=∠BNC=90°，

∴∠CAM=∠CBN=45°，

∴△ACM 和△NBC 是等腰直角三角形，

∴AC= CM= AM，CB= CN= BN。

∵∠ADB=90°，∠DNB=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

又∵∠AMD=∠DNB=90°，AD=BD（法一中已證），

∴△ADM ≌△DBN，∴AM=DN=CM，DM=BN=CN，

∴AC+BC= CM+ BN= CM+ MD= （CM+MD），

即AC+BC= CD。

變式1：如圖12，在⊙O 中，AB 是直徑，點D 是弧AB 的中點，點C 是⊙O 上的任意一點。求證：AC+BC= CD。

圖11

圖12

圖13

變式2：如圖13，在正方形ECGF 中，D 是對角線的交點，A、B 在EC，CG 邊上，AD ⊥DB。求證：AC+BC= CD。