親歷建構過程　凸顯概念本質

黃惠娟

數學概念是數學學習的核心內容之一。教師要為學生提供與其生活背景和已有知識相關的素材，創設動手操作、觀察比較、抽象推理、建立模型等學習活動，讓學生在活動中思考、質疑、探究，經歷數學概念的形成過程;要引導學生主動參與知識的建構，大膽創新、主動發展，養成良好的思維品質。

一、創設有效情境，感知概念背景

概念的教學不僅要求學生理解概念本身，還要通過情境再現去親身體驗知識的發生、發展過程。心理學家布魯納認為學習是主動的過程，對學生學習內因的最好激發是激起學生對所學材料的興趣，即主要來自學習活動本身的內在動機，這是直接推動學生主動學習的心理動機。有效的情境能調動學生的想象與情緒，打開學生的心靈之門，達到趣中生疑，疑中生思，從而激發其內驅力，使其更加專注地對問題進行探究。因此，在教學中，教師創設的情境要圍繞概念產生的生活背景，在新知的生長點上創設難易適中，既能引起學生共鳴又有助于形成認知沖突，具有趣味性、挑戰性、開放性的問題情境，從而加深學生對于數學概念的理解與認知，激發學生的探索欲望。

在課初引入環節，我創設了這樣的情境：課件播放“熊爸爸分餅”的動畫故事。

第一天，熊爸爸做了4塊餅，想分給兩只小熊，要使每只小熊分得同樣多，每只小熊分得幾塊？（2塊）

第二天，熊爸爸做了2塊餅，想分給兩只小熊，要使每只小熊分得同樣多，每只小熊分得幾塊？（1塊）

第三天，熊爸爸做了1塊餅，想分給兩只小熊，要使每只小熊分得同樣多，每只小熊分得幾塊？（學生認為是半塊）

這半塊餅怎樣表示？你能用什么方式表示這半塊餅呢？（我讓學生暢所欲言，充分展示不同的表示方法，并說說為什么這樣表示，從而引出課題——認識分數。）

上述片段，以熊爸爸分餅的動畫故事導入新課，從每份是整數過渡到每份不是整數，進而自然引出了分數。1塊餅平均分給兩只小熊，每只小熊分得半塊餅，這“半塊”不能用整數表示，那應該如何表示呢？我沒有直接把“分數”的概念呈現給學生，而是拋出問題，讓學生產生困惑，引起認知沖突，經歷心靈碰撞，最終激發了探索的欲望。這樣，將抽象的數學概念變成可觀察、可操作的學習材料，學生帶著探求新知的欲望和疑問在教師的引領下積極思考，其主動探索，主體意識也能得到提升。

二、利用幾何直觀，觸摸概念內涵

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“在數學教學中應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力，推理能力和模型思想。”借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，在許多情況下，數學的結果是“看”出來的，是在觀察和思考基礎上的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。借助幾何直觀理解數學概念的本質，可以把抽象難懂的概念通過圖形生動形象的描述，把本質的東西顯現出來，直觀地呈現在學生面前，這樣有助于學生對數學概念的深刻理解，使數學概念的教與學變得形象生動。因此，在教學中教師應重視利用幾何直觀幫助學生理解和掌握數學概念。一是要讓學生學會看圖，能夠用圖形描述概念特征、用圖形討論學習中的困惑，使學生從圖中去理解、思考，發現理解概念的突破口，從而理解其內涵。二是要讓學生學會根據題意畫圖，化復雜為簡單，變抽象為具體。課堂上，教師不需要把現成的圖直接呈現給學生，也不需要告訴他們怎樣畫，而是需要讓學生在思考的過程中產生畫圖的需要，使其充分經歷概念的形成過程，并在畫圖的活動中體會方法，觸摸概念內涵。

在新知探索環節，從熊爸爸分餅的情境中，提出“怎樣表示半塊餅”這一問題后，我引導學生用數學符號、數字或畫圖表示“一半”。這在課堂上引起了學生較大的興趣，學生通過思考、操作、交流，匯報了下面5種表示方法。（如圖1）

生：我把1個圓平均分成2份，其中的1份畫勾，表示半塊餅。

生：我把1個圓平均分成2個半圓，1個半圓就表示半塊餅。

生：我畫了1個長方形，平均分成2份，左邊的一半表示半塊餅。

生：我在正方形中間畫一條線，平均分成2個長方形，左邊的長方形表示半塊餅。

生：我畫了1條線，平均分成2段，左邊的一半表示半塊餅。

生：我用2（1）表示半塊餅。

生：我用[1/2]表示半塊餅。

生：我用[2/2]表示半塊餅。

生：我用[2/1]表示半塊餅。

這時，我充分利用這些生成資源，讓學生上臺解釋為什么這樣表示，并對這些表示方法進行篩選、優化。這時，用[22]表示的學生發現自己的表述有問題，站起來說：“我寫的[2/2]，‘1份沒有表達清楚，應該有個‘1才對。”用[2/1]表示的學生也提出了自己疑問：“把半塊月餅表示成[21]，難道不行嗎？”經過分析、比較、交流、反思，師生共同客觀評價了這些表示方法，圖1中的幾個圖都具有共同的特點：平均分;分2份;取1份。學生逐漸明確：表示“一半“的數學符號也必須包含這三層意思。經過篩選，他們得出了約定的標準寫法，即[1/2]。這里，借助直觀形象的圖形，學生發現了分母、分子、分數線所隱含的意義，并在多種表示方法的對比中，體會了用[12]表示一半的簡約性和科學性，初步理解了分數的意義。

上述片段中，學生在探索半塊餅的表示方法時，經歷了從實際問題中抽象出分數的過程，學生在具體、形象的圖形中通過觀察、實驗、比較、推理等活動加深了對分數內涵的理解。這樣，巧用幾何直觀，引導學生學會用畫圖解釋所學的知識，利用數學符號和圖形的描述，依托鮮活的“形”去思考凝練的“數”，既豐富了學生的感性認識，又促使學生主動探索，有效地培養了直覺思維、猜測、轉換、構造等能力，進而提高了數學素養。

三、借助操作活動，感悟概念本質

數學概念是抽象的，學生形成數學概念，一般都要有相應的感性經驗為基礎，經歷“直觀感知—建立表象—揭示本質屬性”三個階段。小學生的思維主要是以形象思維為主，要使學生真正獲得概念，教師應站在學生思維的角度，關注概念的體驗過程，將抽象的概念轉化為可操作的直觀化、簡單化的具體內容;為學生提供觀察和操作的機會，讓學生多種感官參與學習，在感知體驗中建立正確、清晰、深刻的表象，透徹理解數學概念內涵。因此，在教學中教師要為學生提供典型的、熟悉的感性材料，把概念的建構過程設計成看得見、摸得著、悟得到的活動過程。保證學生有足夠的時間和空間去觀察、實驗、猜測、推理和驗證，在動口、動手、動腦中去學習、思考和發現。要讓學生在觀察、操作、交流、實踐等活動中接觸有關情境和實例，在現實背景中去體會概念的產生、形成與發展過程，進而理解和感悟概念的本質。

在引導學生“進一步體會分數的意義”這個環節，為了讓學生充分經歷分數的形成過程，創造更多的分數，我為學生設計了下面三個操作活動。

【活動一】折一折、畫一畫。先從三角形、長方形、正方形、圓形紙片中任選一張，然后把小熊分到半塊餅的過程折出來（如圖2），把“一半”涂上顏色，表示該圖形的[1/2];最后在小組內交流折法和畫法，并在全班進行展示匯報。

【活動二】折一折，涂一涂。將學具袋中的正方形紙片平均折成4份，并將自己想要的分數涂上顏色，然后交流、展示，說說自己是怎樣創造出這個分數的。（如圖3）

【活動三】折紙找分數。選擇一張自己喜歡的紙（學具袋里為學生準備不同形狀的紙，如圖4），先想出一個分數，想想怎樣折，然后涂上顏色表示出這個分數。最后同桌交流、展示，說說自己創造的是幾分之幾，是怎樣創造出來的。

以上三個活動中，我為學生提供了豐富的動手實踐機會。通過折一折、涂一涂、議一議等活動，學生經歷了分數的建構過程，他們在動手中思考，在思考中動手。這些豐富而真實的感性材料把原本抽象、復雜的數學知識變得直觀、簡單，學生通過操作、感知、分析、比較、歸納等活動實現了由形象思維向抽象思維的過渡，進一步直觀理解了分數的意義——分數是表示圖形的涂色部分與整個圖形之間的關系。這樣，學生經過多元的體驗感知，加深了對分數的認識和理解，感悟了概念的本質，開拓了思維的廣度。

四、巧用教學資源，建構概念模型

思維是數學認知的核心內容之一，要開啟學生的思維，需要把教材的知識內容轉化為學生內在的認知。其中，最直接的辦法就是采用有效的教學手段幫助學生建構“數學模型”。對于概念教學而言，建模的過程實際上就是讓學生經歷觀察、思考、歸類、抽象與總結的“數學化”與“再創造”過程，最終形成他們對數學概念的理解。要讓學生經歷從現實事物表象到其本質特征，再到數學概念的定義和名稱的創造過程，進而領會數學概念的意義、內涵和外延。這樣，學生不僅能認識到概念是怎樣的，而且能明白概念為什么是這樣的。在教學過程中，我們要盡可能為學生提供豐富的教學資源，引導學生去思考、討論、自由表達。可以借助舉例、比喻、聯想等方法，尋求某種具體形象化的支撐，將抽象的數學概念具體化，形象化。要通過有效引導，使學生經歷抽象、簡化、假設、分析與比較的思維過程，把那些反映概念本質屬性的形態、量及其關系抽象出來用數學方式表達，使他們親身經歷數學模型的創建過程，從中認識新問題，同化新知識，完善認知結構，發展數學思維。

在引導學生“建構分數模型”這個環節，學生通過操作，明白把1塊餅平均分成2份，每份是這塊餅的[12]后，我讓學生從學具袋中拿出一張正方形紙進行對折，用自己喜歡的顏色涂出它的[1/2]，并在小組內說一說：把（）平均分成了（）份，每份是（）的（）。學生匯報時，出現將正方形紙對角折、上下對折、左右對折三種情況，并把它的[1/2]涂上了顏色。（如圖5）

師：剛才同學們折正方形紙方法不同，但涂色部分都是表示這張正方形紙的[1/2]，這是為什么呢？

生：我們都是把這張正方形紙對折，變成2份，涂色部分是其中的1份。

師：是的，對折是為了什么？也就是剛才我們強調的一個概念。

生：平均分。

師：對，不管你是怎樣對折，都是把這張正方形紙平均分成2份，每一份就是它的[1/2]。下面，老師出一道題考考大家，看看同學們對是不是真正理解了。

練一練：用[1/2]表示下列圖形中的涂色部分，對嗎？說明理由。（如圖6）

生：第1個圖和第5個圖的涂色部分不能用[1/2]表示，因為沒有把圖形平均分。

生：第4個圖的涂色部分也不能用[1/2]表示，應該用[1/4]表示。

師：你能從剛才[1/2]的學習中聯想到一個新的分數，真聰明。想一想，利用這張正方紙片你還能折出哪些分數？你能說出這些分數表示的意義嗎？

生：我能創造出[3/4]，就是把這張正方形紙上下對折，左右對折，平均分成4份，其中的3份就是這張正方形紙的[3/4]。

生：我能創造出[5/6]，我把這張紙片平均分成6份，其中的5份是這張正方形紙的[5/6]。

生：我能創造出[3/8]，我將這張紙平均分成8份，其中的3份是這張紙的[38]。

通過組織學生動手操作、合作交流，在觀察、操作、推理、想象等活動中引導學生抓住本質，將其思維引向深入。學生通過遷移、聯想到[3/4]、[5/6]、[3/8]、……擴充了獲取信息的渠道。在討論、交流中引導學生提煉出數學模型，適度抽象概括出了“把一個物體或一個圖形平均分成若干份，其中的1份或幾份可以用分數表示”這一分數的概念。此外，還讓學生親身經歷了將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，享受到了學習數學的樂趣，從而形成了自覺的建模意識和思想。

（責任編輯：楊強）