落實“大概念”教學理念

華志遠

摘要：為了落實培養學生數學學科核心素養的新課標理念，人教A版高中數學新教材注重“大概念”視野下的“大單元”“大主題”設計，以彰顯數學的整體性、系統性和聯系性。比較新舊教材中三角函數的定義，分析新教材中三角函數定義變更的意圖，進而設計與實施新教材中三角函數定義的教學，并且進一步反思“大概念”教學理念的內涵與價值。

關鍵詞：“大概念”教學;高中數學新教材;三角函數定義

2020年秋學期，無錫市作為普通高中新課程新教材實施國家級示范區，開始在高一年級使用依據《普通高中數學課程標準（2017年版）》編寫的人教A版高中數學教材（以下簡稱“新教材”）。為了落實培養學生數學學科核心素養的新課標理念，新教材注重“大概念”視野下的“大單元”“大主題”設計，以彰顯數學的整體性、系統性和聯系性，克服當下數學教學中普遍存在的知識碎片化、方法單一化及認識表層化問題。對此，新教材不僅在知識點的順序和歸類上做了比較大的調整，而且在知識點的具體內容上也有一些改動。“三角函數的概念”便是一個典型的例子：新教材不僅將其所屬的“三角函數”單元從與“平面向量”單元、“解三角形”單元鄰近（在前），變為與“函數的概念與性質”單元、“指數函數與對數函數”單元鄰近（在后），而且對其定義也有所變更，從而凸顯“函數”“建模”等“大概念”的串聯整合（滲透體現）作用。

本文重點比較新舊教材中三角函數的定義，分析新教材中三角函數定義變更的意圖，進而設計與實施新教材中三角函數定義的教學，并且進一步反思“大概念”教學理念的內涵與價值。

一、新舊教材中三角函數定義的比較

以往，幾乎所有教材都是從銳角三角函數的定義出發，先將直角三角形放置到平面直角坐標系xOy中，從而得到基于坐標化思想的正弦、余弦及正切定義。再將銳角推廣到任意角α，從而得到三角函數的定義：若α的終邊過點P（x，y），記r=OP=x2+y2，則sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx（x≠0）。得到這一定義后，依據相似三角形的邊對應成比例，得出：α的正弦、余弦及正切值只與α的終邊有關，而與點P的位置無關。也就是說，只要α確定，它的正弦、余弦及正切值就確定了。于是，它們都是關于α的函數，可以分別稱為正弦函數、余弦函數和正切函數。然后，從一般到特殊，在單位圓中引進三角函數線，為后續學習同角三角函數關系、誘導公式、三角函數的圖像與性質、兩角和與差的三角函數等內容提供便捷的幾何工具。

這樣的定義編寫注重了數學本身的邏輯性，但是相應地，抽象程度比較高，與學生的認知水平不匹配。教學中，教師倘若照本宣科，學生就會只知其然，而不知其所以然。具體來說，學生可能產生以下困惑：初中銳角三角函數的定義為什么要推廣到任意角？推廣時又為什么要放置到平面直角坐標系中？推廣后的定義是否科學、合理？以前學習的函數只有一個自變量，為什么三角函數有兩個自變量？哪個是自變量，哪個是因變量？對此，教師需要挖掘概念發生的背景或現象，通過高水平的問題情境設計及師生互動，才能搭建起學生的認知支架，讓學生弄清楚知識的來龍去脈，逐步抽象建構概念。此外，三角函數線的學習必須補充有向線段及數量的概念，顯得比較麻煩。

新教材則是從建立刻畫周期性變化現象的數學模型（單位圓⊙O上的點P以點A為起點做逆時針方向旋轉，建立一個數學模型，刻畫點P的位置變化情況）出發，在前一節用任意角的概念刻畫點P的位置變化情況的基礎上，進一步建立平面直角坐標系xOy，通過角α的終邊與單位圓交點P坐標的求解，得出三角函數的定義：設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P（x，y），則y叫作α的正弦函數，即y=sin α;x叫作α的余弦函數，即x=cos α;y與x的比值叫作α的正切函數，即yx=tan α（x≠0）。然后，從特殊到一般，通過例題，將基于單位圓上點的定義推廣到一般情形，得到基于終邊上任意一點的定義，為后續學習三角函數的實際應用和在其他數學分支中的應用（如摩天輪的旋轉、簡諧振動、波，復數的三角式、極坐標、二階矩陣刻畫的旋轉變換等）做好鋪墊。

這樣的定義編寫關注到數學產生的現實性，顯得更為直觀和簡潔，便于學生記憶和理解：在運動思想（旋轉變換）、函數思想（定義及性質）及數學建模（用數學模型刻畫圓周運動這一周期現象）三個“大概念”的統攝下，基于任意角的概念，利用單位圓上點的坐標，得出關于單個自變量的函數模型，體現三角函數定義的科學性、合理性和發展性，同時自然地省略了三角函數線的內容。此外，也注意了兩種定義的互相轉化，保證了學生概念理解的豐滿、完善。

綜上，從數學的本質上看，兩種定義是等價的，但是，從教學的效能上看，新教材的定義更為高效。

二、新教材中三角函數定義的教學

（一）探究建構

師為了學習三角函數，前面學了任意角和弧度制，將角的范圍擴大到全體實數。借助這些知識，我們進一步研究上一節開頭提出的問題：（出示圖1）如圖，單位圓⊙O上的點P以點A為起點做逆時針方向旋轉，記∠AOP=α，則α與點P的位置有什么關系？

生只要α確定，點P的位置就唯一確定了。

師也就是說，可以借助α的大小變化刻畫點P的位置變化。那么，在平面內，點P的位置如何更精確地刻畫？

生建立直角坐標系，點P的位置可以用坐標（x，y）表示。

師如何建立直角坐標系？

生以O為原點、OA為x軸的非負半軸。

師好的。（出示圖2）那么，給出α，能否說出點P的坐標？

（學生思考。）

師比如，α分別取0、π2、π、3π2、2π。

生點P的坐標分別為（1，0）、（0，1）、（-1，0）、（0，-1）、（1，0）。

師α分別取π6、2π3呢？

生點P的坐標分別為32、12、-12，32。