淺析分類討論思想在函數單調性討論中的應用

陳秀君

（廣州市培英中學 廣東廣州 510000）

一、分類討論思想的概念

分類討論思想，是指在解決某一個問題時，不能夠用同一種方法進行研究時，需要制定一個標準將問題切割成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一加以解決，最后歸納概括各類解決結果，這就是分類討論思想。[1]分類討論思想貫穿于整個高中階段的數學學習，通過分類能使大量抽象復雜的數學問題區間化、簡單化。簡而言之，分類討論思想即“先分后合”的一種解題策略，對學生的理性思維能力和數學理論知識要求都比較高。

二、分類討論思想的應用案例

分類討論思想在高中數學各階段模塊學習中的應用非常廣泛，但很多學生對分類討論思想理解不透徹、掌握不扎實，不明白為什么要分類，以誰為對象分類，應該怎么分類，導致解題思路非常混亂漏洞百出。下面三個例題都是研究函數的單調性，是分類討論思想的一個典型應用，是高考考查的重要知識點之一，它也是解決最值、極值、恒成立、不等式證明等相關函數問題的靈魂，這類問題對學生的各方面能力要求比較高。但解決問題要抓住事物的本質，判斷函數單調性的本質就是分析函數的導函數在定義域內各子區間上的符號。三個例題有共性：導函數的符號是由含有參數的二次函數型函數決定；也有不同之處：導函數中參數的位置不同。通過這三個例題的分析解答，可引導學生學會分析思考，善于挖掘研究對象的特征：哪些因素確定不變，哪些因素是變化的，即清楚產生討論的原因。防止學生遇到參數就盲目討論的傾向。

解析：（ⅰ）-a ＜0 即a ＞0 時，x2=-a 舍去

x∈(0，1)時，f'(x)＜0，f(x)為減函數

x∈(1，+∞)時，f'(x)＞0，f(x)為增函數

（ⅱ）0 ＜-a ＜1，即-1 ＜a ＜0 時

x∈(0，-a)，(1，+∞)時，f'(x)＞0，f(x)為增函數

x∈(-a，1)，f'(x)＜0，f(x)為減函數

（ⅲ）-a ＞1，即a ＜-1 時

x∈(0，1)，(-a，+∞)時，f'(x)＞0，f(x)為增函數

x∈(1，-a)時，f'(x)＜0，f(x)為減函數

（ⅳ）-a=1 即a=-1 時

x∈(0，+∞)時，f'(x)＞0，f(x)在(0，+∞)為增函數

解析：

第一層次分類：（針對a=0 還是a≠0 進行討論）

x∈(0，1)時，m(x)＞0，則f'(x)＜0，f(x)為減函數

x∈(1，+∞)時，m(x)＜0，則f'(x)＞0，f(x)為增函數

第二層次分類：（針對a ＜0 還是a ＞0 進行討論）

x∈(0，1)時，m(x)＞0，則f'(x)＜0，f(x)為減函數

x∈(1，+∞)時，m(x)＜0，則f'(x)＞0，f(x)為增函數

解析：

第一層次分類：（針對a=0 還是a≠0 進行討論）

令f'(x)=0 得x=-1

x∈(0，+∞)時，m(x)＜0，則f'(x)＞0，f(x)為增函數

（ⅱ）a≠0 時

第二層次分類：（針對a ＜0 還是a ＞0 進行討論）

①a ＜0 時，函數開口向下

第三層次分類：（針對Δ ≤0 還是Δ ＞0 進行討論）

x∈(0，+∞)時，m(x)＜0，則f'(x)＞0，f(x)為增函數

第二層次分類：

②a ＞0 時，函數開口向上第三層次分類：（針對Δ ≤0 還是Δ ＞0 進行討論）

后兩道題難度大，分類討論情況錯綜復雜，變化元素多，分類層次多。像這類題掌握分類的思路基本從以下幾點展開：①決定導函數符號的函數形如二次函數且二次項系數含有參數時，函數是否二次函數即a=0 還是a≠0 是我們分類的第一個標準；②a≠0 時，二次函數若能直接因式分解求出零點，這時函數開口向上還是向下即a＞0與a＜0是我們分類的第二個標準；③確定了二次函數的開口方向，二次函數的零點在不在定義域的范圍之類，兩零點的之間的大小如何又是我們分類的第三個標準；④a≠0 時，二次函數不能直接因式分解，這時我們還必須針對判別式判斷函數是否有零點展開討論。當然整個過程中一定要利用數形結合的思想，直觀地借助二次函數圖像的變化來幫助我們制定分類的標準，結合圖像分區間討論導函數的符號，從而對原函數在各區間上的單調性作出判斷。這樣一層層討論下去，讓學生體會成功帶來的精神享受，慢慢愛上數學、喜歡數學，有足夠的自信去學好數學，面對困難能迎難而上。