基于蒙特卡洛方法的四桿機構輸出角可靠性研究*

劉曉靜

（山西工程職業學院，山西 太原 030009）

機械可靠性中機構可靠性是非常重要的一部分，它在工程實際中不可缺。現有國內外很多學者研究機構的可靠性。1966年H. P勃魯也維奇等[1]深入研究了機構運動誤差。史天錄[2]首次明確歸納出了機構運動精度可靠性分析的基本原理。張義民[3]則提出了機械動態與漸變可靠性理論。四桿機構運動過程中，輸出角可靠性會隨著時間的變化而發生改變。因此，基于Monte Carol 進行四桿機構輸出角可靠性研究，為后續進行可靠性靈敏度研究打好基礎。

1 可靠性研究狀況

可靠性是產品元件或系統機構在一定條件和一段時間內執行某種設定功能而不發生故障的概率。結構可靠性定量理論的研究始于美國Freuenthal于1947 年在 ASCE 期刊上發表的論文中首次提出了應力-強度干涉模型，從此可靠性理論與方法開始引起理論學術界和實際工程界的普遍關注與重視。

近年來，國內外很多學者對可靠性理論、可靠性的設計方法都進行了比較深入的研究。張義民利用神經網絡方法和隨機攝動技術對裝備零部件的可靠性進行了優化設計和穩健設計。Rhyu以平面四桿機構桿長尺寸誤差和運動副精度概率分析為基礎進行了機構可靠性優化設計。史天錄首次明確歸納出了機構運動精度可靠性分析的基本原理，并對間隙隨機特性的研究做了完善[4]。

系統動態可靠性理論的研究最早可以追溯到20世紀40年代。Rice 首先提出了著名的首次超越概率公式，為首次超越破壞的動態可靠性理論奠定了基礎。Crandall將數值模擬方法引入首次超越問題中，進一步發展了基于首次穿越模型的動態可靠性分析理論。

2 蒙特卡洛方法及可靠性

系統不能完成規定功能的概率表示為失效概率pf。系統的可靠度pr與失效概率滿足以下關系式：

系統可靠性分析的主要問題就是處理系統的隨機問題來確定系統的失效概率。

如果連續隨機變量Z的概率密度函數為fz(z)，則由失效概率的意義可知：

如果用fX(x) =fX(x1,x2,…,xn)表示基本隨機變量X= (X1,X2,…,Xn)T的聯合概率密度函數，用表示聯合累積分布函數，那么系統的失效概率可表示為：

若各基本隨機變量Xi之間相互獨立，且Xi的概率密度函數為，則失效概率為

可靠指標是可靠性指標的簡稱[5]。由于基本隨機變量的不確定性，其聯合概率密度函數的獲取比價困難，聯合概率密度函數的計算也非常困難，因此，在工程上一般不使用式（5）來計算失效概率。根據可靠性指標與失效概率的對應關系，通過計算可靠性指標來確定系統的可靠性。

正態分布Y～N (0，1)，那么其概率密度函數和累積分布函數為：

將式（6）代入式（4），并注意到式（7）和式（8），則失效概率[6]為

可靠性指標、失效概率和可靠概率就可以分別表示為：

上述對可靠指標的計算是建立在功能函數服從正態分布的條件下。當pf≥0.001（或β≥3.0902）時，失效概率的計算結果能夠滿足工程上所要求的精度，因此，可以不考慮基本變量的分布類型而簡化計算過程；當失效概率或可靠指標不滿足以上關系時，必須考慮功能函數的概率分布形式。

Monte Carol 首先需要根據隨機變量的概率分布，產生足夠多的樣本，即隨機數。不同分布的隨機變量通過抽樣得到不同的隨機序列。最基本的隨機變量是區間在（0，1）上的均勻分布。

隨機數直接生成法是指根據概率分布的定義在該區間內抽取滿足分布的隨機數。

反變換法：連續的隨機變量X 的累積分布函數為FX(x)，且FX(x)單調增加，u 為FX(x)的隨機數，則X 的隨機數為；對于離散的X，其概率分布為P（x=xi）=Pi（i=1，2，…），，用數值法找出最接近u 的（FX）xi，若滿足u≤FX(xi)或FX(xi-1) ≤u≤FX(xi)時，xi為X 的一個隨機數。

舍選法：按照一定的標準選擇或者舍棄（0，1）上的均勻隨機數，從而得到X的隨機數x。

Monte Carol 是通過隨機抽樣的方法解決在極限狀態方程未知的情況下的可靠性分析，最簡單也是最直接的方法。Monte Carol 解決問題的步驟分為四步：1）定義極限狀態方程；2）根據隨機變量的聯合概率密度分布產生隨機數；3）將隨機數代入極限狀態方程中求解直到完成設定的抽樣次數；4）計算結構的失效概率。

Monte Carlo模擬過程中，采用樣本均值代替總體均值，數學期望可以用樣本函數的均值來估計：

功能函數是結構響應量r（x）與機構響應閾值r*之差，即g（x）= r（x）- r*。失效域F為集合為{ x | g（x）＜b}所構成的區域，安全域為失效域的補集，即S={ x | g(x)≥b}。安全域和失效域之間存在一個分界面，將功能函數簡記為g，即方程：

假定結構的功能函數為Z=gX(X)，隨機變量X 的概率密度函數fX(X)。按fX(x)對X進行隨機抽樣，所得的樣本代入功能函數Z=gX(X)，Z＜0 則記為失效一次。設模擬次數為N，其中Z＜0的次數為nf次。根據概率論總的大數據定律中的Bernoulli定理知，N次獨立試驗中的失效概率nf/N收斂于該事件的概率pf，則失效概率估計值為：

結構的失效概率[7]可以表示為：

其中：I(x)是x 的指示函數。規定x ＜0 時，I(x)=1；x ≥0，I(x)=0。

根據式（16），X的第i個樣本值為xi，則pf的估計值為：

剛性四桿機構輸出角度可靠性的極限狀態方程為：

其中：θmax為機構在運動過程中最大的輸出角度值，θe為機構的最大允許角度輸出值。

剛性四桿機構輸出角可靠度[8]為主動桿件轉動過程中最大的輸出角在允許值范圍內的概率，即：

3 算例

圖1 為四桿機構的角度示意圖，主動桿件轉速為300r/min，L1、L2、L3、L4已知，具體值及分布類型見表1。

表1 彈性四桿機構的參數

如圖1 所示，四桿分別為L1、L2、L3、L4，將機架AD 作為基準線，曲柄AB 能繞軸線360°范圍內旋轉，作為主動件帶動整個機構運動。機構輸出角為θ2，機構輸出角為θ4，θ3為構件BC 的輻角。為了方便計算，將四桿機構中的B 點和D 點相連接，將四邊形ABCD 分為兩個三角形△ABD 和△BCD，設定∠DBC=φ，∠BDA=β，∠CDB=λ，BD=S。

根據四桿機構的角度幾何關系得：

圖1 四桿機構角度示意圖

圖2為基于蒙特卡洛方法對四桿機構輸出角可靠性分析流程圖。

圖2 Monte Carlo 法輸出角可靠性分析流程圖

根據表1 機構變量參數表對參數抽取106個樣本點，代入式（6）計算剛性機構輸出角，并計算不同輸入角下輸出角的可靠性和失效概率，如圖3和圖4所示。

圖中可以看出，主動桿件轉速為300 r/min，輸出角可靠度在主動桿件角度為0～60°達到最小值，120°～240°可靠性基本接近1，超過300°可靠性下降較快，通過計算可得到系統輸出角度的可靠性為0.918 3。

4 結束語

彈性機構隨著主動桿件轉角的改變，輸出角可靠度在主動桿件角度為0～60°達到最小值，120°～240°可靠性基本接近1，超過300°可靠性下降較快。由此通過計算可以得到彈性四桿機構中任意一點處的輸出角隨著主動桿件轉動的可靠性，為后續機構的可靠性靈敏度分析打好基礎。

圖3 輸出角度的可靠性

圖4 輸出角度的失效概率