積累活動經驗 建立數學模型

蔣媛 孫冬梅

【摘 要】從學習心理的角度來看，推理往往是指由一個或一個以上的概念，推理出新的判斷的過程，這個過程不僅常見于教學當中，也常常存在于生活當中。數學模型有助于學生將具象抽象化并進行解釋和應用。在推理中建立數學模型，讓學生在操作中經歷，在經歷中體驗，在體驗中累積，這樣才能獲得最具數學本質的、最具價值的數學活動經驗。

【關鍵詞】演繹推理 歸納推理 合情推理 數學模型 活動經驗

在動手操作中學數學，有利于學生經歷“動作思維—表象—抽象思維—概括—形成模型”的過程。因此在教學中，組織學生實踐操作，參與推理的全過程，引導思維由直觀向抽象轉化，從事物中發現規律，進行歸納，形成模型。數學推理的類型有很多，下面筆者從演繹推理、歸納推理和合情推理這三個方面，談一談關于“長方體和正方體的整理和復習”的一些思考。

一、從演繹推理中建立數學模型

演繹推理又稱為論證推理，是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等），按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程，是從一般到特殊的推理，它是以某類事物的一般判斷為前提做出這類事物的個別、特殊事物判斷的推理方法。

【案例】怎樣拼表面積最小

師：把2個這樣的盒子用紙包裝起來，怎樣拼最省包裝紙？為什么這樣拼？

生：把最大的面重疊起來，表面積最小。

師：把兩個小長方體拼成一個大長方體，都減少了幾個面？

（指出：兩個紙盒拼起來表面積少了2個面）

師：如果再增加一個長方體呢？怎樣拼表面積最小？你為什么這么拼？

生：把最大的面重疊起來，表面積最小。

師：減少了幾個面？

（指出：拼接一次，重疊2個面，拼接2次，重疊4個面）

師：通過將2個、3個小長方體拼成一個大長方體，你有什么發現？

（指出：重疊的面越大，表面積越?。?/p>

師：猜猜看，如果要將4個紙盒拼起來，怎么包裝最省包裝紙？

（追問：這種實際上大大小小重疊了幾個面？重疊了哪8個面？）

師：還有小組是這樣拼的，重疊了幾個面？（展示其他兩種拼法）都是重疊了8個面，你認為一樣嗎？哪種重疊方法表面積最?。?/p>

（指出：重疊的面越多、越大，表面積越小）

師：現在你能用這種方法，研究怎樣包裝6個紙盒最省包裝紙了嗎？6人小組合作拼一拼，并在小組里說一說為什么這樣拼。

師：其實我們生活中很多物品的包裝就是采用的這種拼接方法。

師：剛剛我們拼了2個、3個、4個和6個小長方體，你發現了什么奧秘？

（指出：我們在拼小長方體時，發現重疊的面越大、越多，表面積就?。?/p>

師：剛才我們研究了長方體，正方體是特殊的長方體，那正方體中是不是也有這樣的規律呢？

（指出：正方體是特殊的長方體，長方體的規律，對于正方體也是成立的）

師：那正方體的規律有什么特殊的地方？

（指出：正方體的每個面都相等，表面積最小的時候只要考慮重疊的面越多就行了）

【思考】學生在拼2個和3個的小長方體的過程中積累了一些活動經驗，知道了將最大的面重疊起來，表面積最小。因此在拼4個小長方體的時候很容易就將經驗遷移過來，這是學生的思維定式。因此讓學生通過再次操作，有了和前面不一樣的發現，而這個發現是對前面經驗的補充，從而推理出結論并建立起“重疊的面越多、越大，表面積越小”這一模型。而正方體是特殊的長方體，通過一般事物的模型，推理出特殊事物的模型，是演繹推理的范疇。演繹推理認為：前提與結論之間有著必然的聯系，只要前提是真的，推理是合乎邏輯的，就一定能得到正確的結論。因此可以推理出正方體也同樣適用，但有著特殊的地方，每個面的大小一樣，只要考慮重疊的面最多就可以了。讓學生參與推理的全過程，從中積累數學活動經驗。

二、從歸納推理中建立數學模型

歸納是由個別到一般的推理，從特殊事實得到一般原理，即通過一些學生熟知的個別生活實例或數學問題，再進行觀察，比較、分析、綜合中歸納出一般結論。

【案例】正方體的棱長乘2，表面積和體積將發生什么變化？

師：如果正方體的棱長乘2，那表面積和體積將有怎樣的變化呢？我們一起來研究研究。

要求：1.每人拿出表格獨立填一填。

2.組長將每人的表格貼至學習單上，小組討論并完成“我的發現”。

小組展示學習單，組長匯報研究的過程。

師：你們的發現和他們一樣嗎？是不是任意的正方體只要棱長乘2，都有這樣的規律呢？

4人小組討論，寫出驗證過程。

組長匯報，師指出：通過驗證，我們發現當正方體的棱長乘2時，表面積乘4，體積乘8。

【思考】數學知識是抽象的，而小學生的思維是以形象思維為主的。顯然，數學學科的特點與小學生的思維特點是矛盾的。所以在小組合作的過程中，學生可以觀察小組內舉例的直觀數據進行初步猜想，在全班討論時，如果每人舉例都不一樣，也僅僅只有50多個表象，不能涵蓋所有，那這一猜想到底正確與否就要我們去驗證。怎么驗證才能夠涵蓋所有？才能由具象到抽象呢？用字母a表示正方體的棱長，建立模型。由于前面已經有了大量的表象作為基礎，并且學生已經積累了一些數學活動經驗，得到了具象的結論，在此基礎上歸納出模型是完全能夠實現的。同時在這一活動中，學生由淺及深、由具體到抽象積累了數學活動經驗。

三、從合情推理中建立數學模型

合情推理是根據已有的知識和經驗，在某種情景和過程中推出可能性結論的推理，主要包括觀察比較、不完全歸納、類比猜想、估算聯想。在教學中如何進行合情推理能力的培養，使學生能夠學得輕松有效，循序漸進，培養創新精神，是一個值得我們深思的問題。

【案例】正方體的棱長×n，表面積和體積將發生什么變化？

師：猜一猜，如果正方體的棱長乘了3呢？表面積和體積又怎樣變化呢？

生：表面積乘了9，體積乘了27。

師：如果乘4了呢？你有什么發現？

生：表面積乘了16，體積乘了64。

師：你發現了什么？

生：表面積乘了平方倍，體積乘了立方倍。

師：如果正方體的棱長乘了n，表面積乘了n2，體積乘了n3。這僅僅是猜想，你有什么方法驗證嗎？4人小組討論，驗證過程寫在學習單的反面。

師：看來我們剛剛的猜想是正確的。

師：那任意一個長方體是不是也有這樣的規律呢？我們可以借助剛剛研究正方體的經驗，課后繼續研究。

【思考】數學是在人們對客觀世界定性把握和定量刻畫的基礎上，逐步抽象、概括，形成模型、方法和理論的過程，這一過程充滿著觀察、猜想和合情推理。接著讓學生猜想棱長乘3、乘4，表面積和體積怎樣變化，最后讓學生猜想任意一個長方體是不是也有這樣的規律，并讓學生對照自己的猜想進行驗證，完善修改。然后加以類比，這一系列的過程，都是合情推理。因此再次讓學生學習時，用字母代表了棱長，并且讓學生在推理中得出“正方體的棱長乘了n，表面積乘了n2，體積乘了n3”。最后讓學生研究由特殊到一般，將研究正方體的方法延伸到長方體，看是否也存在這樣的規律。這兩個數學活動都體現了合情推理和模型的有效結合。

讓學生在操作中推理，在推理中建模，這樣才能獲得最具數學本質的、最具價值的活動經驗。