“點”視閾下學生空間“動態想象”能力的培養

殷法泉

【摘 要】學生空間觀念的培養一直是數學教學的一個難點，原因之一就是很多的幾何知識點都成為“靜點”，缺乏“動態挖掘”，從而“點—線—面—體”沒有實現真正的聯動。本文以“三角形的復習”為例，立足于學生“動態想象”能力的培養。通過“寫—畫—算”三個維度的創新，從“點”的角度，在動態視覺上另謀思“路”，從而連“點”結“網”構“體”，給學生架構一個序列的、完整的“幾何框架”，為學生空間觀念的豐盈提供保障。

【關鍵詞】“點” 動態想象 空間觀念

《三角形的認識》是人教版數學四年級下冊的學習內容，六年級學生對三角形的各個知識點已了然于胸。但我們發現，這些知識點在學生的記憶里都是獨立存在的，學生并沒有將知識點有效地串聯起來。有的雖有涉及它們間的聯系，但只是點到為止，更沒有延伸、融合。課堂教學現狀告訴我們，很多的幾何知識點“安靜地躺在那里”，缺乏“動態挖掘”，“點—線—面—體”未有真正的聯動，我們的空間知識教學效果收效甚微。因此，真正培養學生空間觀念需要我們拓寬思維，另辟蹊徑，讓靜態的幾何點“動起來”，讓學生的空間觀念豐盈起來。本文以“三角形的復習”為例，在幾何知識點的動態想象上另謀“思路”，通過“寫、畫、算”三個維度的拓新，從“點”的角度，從動態的、綜合的視角進一步豐富與充實學生對各類三角形特征的理解與掌握，打通三角形之間的關系，形成新思維、新方法，努力提升學生的數學學習力。

一、動態想象，以“點”帶“面”，寫出“真相”

學生從接觸數學的那刻起就好像被數學這門學科套了個“圈子”——數學學習只要會用演算解決問題就成功了。然而，教學中我們時常會發現一種奇怪的現象：很多學生紙筆練習沒問題，但如果需要用語言將自己的想法清楚地表述出來時就噤口不言了。學生數學素養的提高不能僅僅局限于學生會解題，也要注重學生表達自己數學觀點能力的提高。“圖形與幾何”這種空間領域的學習本身就抽象，“空洞”的講解很難讓每一個學生理解。此時，就需要我們把靜態的幾何知識點借助圖示動態地呈現出來，更要讓學生學會正確地“全盤托出”。

如在“三角形的復習”中，我們可以通過下題引入：

下面方格圖中有兩點A、B（如圖1），現需找一個點C，使它和另外兩點可以構成一個三角形。那么點C需滿足什么條件就一定能和A、B構成三角形？（ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?）

給出兩點，通過第三點的運動變化，讓學生進一步感知三角形，體驗圖形之間的變換，讓獨立的知識點連成片、結成網，從而突破傳統“線段”的角度，進而從“點”的角度加深學生對三角形三邊關系“兩邊之和大于第三邊”的理解。學生可以找到無數個變化著、運動著的點C（包括方格線上的和方格內的，而方格內的點往往是學生忽視的點）和A、B兩點構成三角形，這無數個運動的點可以構成一個面，以“點”帶“面”。我們不需要學生找出每一個這些具體的點，我們需要的是學生經歷這種“由點及面”的全方位的思維碰撞。通過這些具體點C的動態變化，讓學生從點的動態變化中感悟三角形成立時“點對邊”的影響，重在讓學生提煉出并會用語言有條理地表述出點C位置滿足的充分不必要條件（只要A、B、C不在同一條直線上）。我們結合圖可以顯而易見地發現當點C與A、B在同一條直線上時三點是不能構成三角形的，此時三點連一線，更好地闡釋了為什么“兩邊之和等于第三邊時不能構成三角形”的原因。

二、動態想象，“點”出內通，畫出“乾坤”

從“點”的角度“籠統”地鞏固了構成三角形的三邊關系后，我們需要從“按角分”和“按邊分”兩個標準從“點”的角度對已構成的三角形類別有更好的說明，進一步通過動態展示確定每類三角形點C的位置。我們可以進行如下設計：

點C和A、B可以構成各種三角形：

①若要構成直角三角形，那么點C的位置可以在哪里？請你在圖2中畫出;

②若要構成銳角三角形，那么點C的位置可以在哪里？請你在圖2中畫出;

③若要構成鈍角三角形，那么點C的位置可以在哪里？請你在圖2中畫出;

④若要構成等腰三角形，那么點C的位置可以在哪里？請你在圖2中畫出;

⑤若要構成等邊三角形，那么點C的位置可以在哪里？請你在圖2中畫出。

本題讓學生初步感受 “點的運動軌跡與圖形的關系”，由點及線、由線到面，把一個個獨立的、靜態的點動態呈現，點、線、面互通，也進一步溝通了三角形與其他平面圖形的另一層關系，如圖3中點C要和A、B兩點構成直角三角形，點C的運動軌跡除了左右兩條線（除去A、B兩點）外，以AB為直徑的圓（除去A、B兩點）更好地闡釋了三角形與圓的關系，也為后續學習“在圓中，直徑所對的圓周角是直角”做好鋪墊。

再則，通過動態演示、畫一畫，讓學生深刻體驗各類三角形的關系。如問題①、②、③的畫圖結果就是要讓學生從另一個視角（脫離常用的集合圖）認識直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的并列關系，一個平面分成三塊區域，形象、直觀地闡釋了它們的并列關系;問題④中點C的運動軌跡一部分是以A或B為圓心、AB為半徑的左右兩個圓（除去A、B、M、N四點），將圓半徑知識綜合運用到解決三角形的問題中來，體現知識的融合。問題④、⑤的答案很清楚地展示了等腰三角形與等邊三角形的包含關系，向學生動態呈現“等邊三角形為什么是特殊的等腰三角形”的原因——只有點C運動到X、Y兩個特殊位置時等腰三角形才成了等邊三角形。

“圖形與幾何”領域本身要求教學中要將幾何的幾個基本要素“點—線—面—體”循序漸進，有機整合，賦予學生完整的“幾何概念體”。我們很好地利用“點的運動—線的勾勒—面的描述”這一規律，根據點的動態變化，利用舊知對“后知”進行預測、判斷，讓學生提前“后知后覺”，感悟數學知識內在聯系的奧秘，體驗探索、推理、分析的成功。

三、動態想象，由“內”及“外”，算出“玄機”

“點”，作為三角形的基本要素之一，它的運動可以改變三角形的形狀。而有時另一種“點”，繞著三角形邊運動的“點”，可以打開對三角形的另一基本要素“角”探索的新范疇。學生已經熟知包括三角形在內的各種多邊形的內角和，在此基礎上我們需要給予學生充分的探索空間，讓學生經歷“猜想—推理—驗證”的全過程，探索多邊形的外角和。因此，我們可以這樣設計：

一只小瓢蟲沿著下面這個三角形ABC（圖5）的各邊沿爬行一周，身體一共旋轉了（ ? ? ）度。

對于學生來說，“三角形的外角”是一個新概念，所以先讓學生根據圖5猜想、描繪三角形的外角在哪里、三角形的外角應該是怎樣的，進而去研究三角形的外角和是多少度、如何推算等。在此，我們借助小瓢蟲的運動軌跡，把小瓢蟲看作一個“運動的點”，動態演示，讓學生找出外角。如圖6中，小瓢蟲沿三角形ABC的三條邊爬行一周所轉過的角是∠1、∠2、∠3，就是三角形ABC的三個外角，運用三角形的內角和知識，推算三角形外角和的度數，讓學生充分享受外角和推算的過程，并以此為“原點”，給學生一個更廣闊的想象空間：任意一個多邊形（包括四邊形、五邊形、六邊形……）外角和都是這個度數嗎？讓學生充分猜想、驗證這些多邊形外角和的計算規律，最終得出規律：多邊形的外角和總是360°。

“三角形的復習”作為平面圖形綜合復習中的重要一環，我們必須立足于學生“動態想象”能力的培養，真正激活“圖形與幾何”領域每一個靜態的點，讓每一個“靜點”動起來、變起來，將各個幾何知識點在橫向的廣度和縱向的深度上都得到延伸、拓展，厘清各個幾何知識點在整個數學學習階段的來龍去脈，從而連“點”結“網”，給學生架構一個序列的、完整的“幾何框架”，為學生空間觀念的豐盈提供保障，也為我們整個“圖形與幾何”領域的“動態教學”提供借鑒。