關(guān)于高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

楊麗偉

（吉林省通化縣第七中學(xué) 吉林通化 134100）

引言

高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，促使數(shù)、形的結(jié)合，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中掌握多種學(xué)習(xí)方法與解決問題方法。如何在數(shù)學(xué)解題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教育工作，是教育工作者面對的問題，本文就此進(jìn)行分析。

一、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用的優(yōu)勢

（一）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，促使學(xué)生思維邏輯發(fā)展，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的聯(lián)系，并構(gòu)建良好的解題習(xí)慣。對于高中生來講，數(shù)學(xué)知識相對比較抽象難懂，在運(yùn)用的過程中，也會因?yàn)閿?shù)學(xué)抽象邏輯而出現(xiàn)解題困難，無法迅速確定最終答案的情況[1]。數(shù)形結(jié)合思想方法的結(jié)合，不僅可以理清學(xué)生的學(xué)習(xí)思路，使學(xué)生快速掌握基礎(chǔ)知識，同時(shí)還能促使學(xué)生思維能力發(fā)展，使學(xué)生更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

（二）提升解題效果

在高中數(shù)學(xué)中，有很多種不同類型的問題，如幾何問題、函數(shù)問題、代數(shù)問題等等。數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，能夠有效提升學(xué)生解題效果，使其在解題過程中開快速發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)量關(guān)系，并利用相關(guān)的定義、概念解決問題。在數(shù)學(xué)解題中，加強(qiáng)對數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，將此運(yùn)用在不同問題中，引導(dǎo)學(xué)生自主實(shí)踐操作，積累數(shù)形結(jié)合思想的使用經(jīng)驗(yàn)，提升解題效果，提升數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)有效性。

二、高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想方法運(yùn)用對策

（一）幾何問題中運(yùn)用，提升解題速率

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行幾何問題解題，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中掌握學(xué)習(xí)方法與解題方法[2]。幾何知識是高中數(shù)學(xué)重要組成部分，也是高考的重點(diǎn)。若學(xué)生對幾何解題方法的掌握不到位，那么遇到此類問題時(shí)，會出現(xiàn)無法運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的情況看，無法提升學(xué)習(xí)效果。數(shù)形結(jié)合方法的運(yùn)用，可以讓學(xué)生掌握該思想的運(yùn)用方法，有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

例如，如下圖一，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD，PD⊥DA，地面ABCD為正方形，M、N分別是AD、PD的中點(diǎn)。證明PA//平面MNC，并求直線PB與平面MNC所成角交的正弦值是多少。

圖一：四棱錐P-ABCD

解決這一問題時(shí)，可以引入數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合題干中給出的圖形與相關(guān)信息進(jìn)行解題，如：根據(jù)題 意 得M N 是△P D A 的 中 位 線，∴M N //P A ∴P A //面M NC。連接點(diǎn)AC,取AC 中點(diǎn)O,連接M O。根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可知S△MOC=1/2×S△MAC=1/4×S△DAC=1/8×S正方形ABCD。若設(shè)AD=4,則DN=4，S正方形ABCD=16 ∴S△MOC=2。DM=2,由勾股定理得MN=MC=2√5,CN=4√2。作M H ⊥C N 于H,則H 是C N 中 點(diǎn),∴C H=2 √2，由 勾 股定 理 得M H=2 √3,∴S △M N C=1/2×C N×M H=4 √6而D N ⊥A D,D N ⊥D C,∴D N ⊥面A B C D ∴D N=4 是N 到 面M O C 的 距 離。 設(shè)O 到 面M N C 距 離 為d , 則 有d*S △M N C=D N*S △M O C,d=2/√6 連 接D O，則 易 證DO=2√2,NO=2√6，設(shè)NO與面MNC所成角為θ,則有sinθ=d/NO=1/6 又∵NO是△DPB的中位線,∴PB//NO。∴PB與面MNC所成角等於NO與面MNC所成角，∴PB與面MNC所成角的正弦為1/6。

（二）函數(shù)問題中運(yùn)用，提升學(xué)生解題效果

在函數(shù)問題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以使學(xué)生在解題的過程中快速發(fā)現(xiàn)問題中條件關(guān)系，并利用所學(xué)知識解決問題，以此提升知識運(yùn)用效果[3]。在函數(shù)問題解題的過程中，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生在解題的過程中知識應(yīng)用能力與解題能力得到提升。

例如，已知定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)滿足 f(x+1)=-1/f(x) , 當(dāng)x屬于[0,1]時(shí)f(x)=x平方, 那么函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=log3(|x|-1)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為多少？

這一問題主要考察學(xué)生對函數(shù)的定義域、數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識掌握情況。解決問題時(shí)，可以利用數(shù)形結(jié)合的方法，利用函數(shù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)性、定義域的方式，對此問題進(jìn)行分析，并確定最終的解題方法。函數(shù)問題與數(shù)形結(jié)合思想的結(jié)合，理清學(xué)生解題思路，提升解題準(zhǔn)確性。

解，有題干信息可得f(x+2)=-1/f(x+1)，把f(x+1)=-1/f(x)代入的f(x+2)=f(x)，所以周期為2。因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的周期為2，所以當(dāng)x屬于[-1,1]時(shí)，f(x)=x2，因此f(3)=f(1)=1，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)y=log3|x|=y=log33=1。根據(jù)此作出f(x)、y=log3|x|的函數(shù)圖像，如下圖。根據(jù)圖像，可知兩個(gè)函數(shù)圖形的交點(diǎn)為4。

圖2：f(x)、y=log3|x|的函數(shù)圖像

三、結(jié)束語

總而言之，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，加強(qiáng)對數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，將此滲透在解題過程中，并為學(xué)生提供實(shí)踐操作的機(jī)會，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，掌握數(shù)、形之間轉(zhuǎn)變方法，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中思想方法運(yùn)用與解決問題能力得到提升，促使學(xué)生更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。