92負剛度蜂窩結構壓縮性能分析

原新嫣， 王樹青， 張 媛， 方 輝， 宋憲倉， 許益華

(中國海洋大學 工程學院，山東 青島 266100)

目前工程結構物體的局部減振通常采用被動控制技術:①采用黏彈性阻尼材料減振，但其質量大、剛度低，不具備高承載力[1]；②采用蜂窩夾芯結構減振[2]，靜載時保持高剛度，動載下胞壁發生塑性屈曲耗散能量，但通常不具備可重復使用性。此外，還有利用MISES桁架[3]、水滴形彈簧[4]、彎曲梁等非線性單元減振[5]，其中，彎曲梁具有上彎和下彎兩個穩定平衡狀態，動載下在雙穩態間發生“突變”，產生負剛度行為，將黏彈性材料引入彎曲梁后[6]，由于黏彈性材料應力應變不同相，卸載時彎曲梁可恢復初始形狀，形成力-位移滯回曲線，重復吸收能量，產生阻尼效應，減輕結構振動。但負剛度單元大多對激勵敏感，使用條件嚴格，且靜態承載力較低，因此，需對負剛度單元進行合理的結構設計，使其兼具靜態承載與動態耗能的功效。

自二十世紀九十年代末，由Vangbo[7]對考慮壓縮率的小變形彎曲梁進行了最早的研究，根據單個彎曲梁的屈曲模態，描述其雙穩態響應；隨后出現了一系列對單個彎曲梁雙穩態行為的理論研究[8-12]。Qiu等[13]提出了一種雙曲梁結構，對忽略高階屈曲模態的雙曲梁進行了理論分析、有限元模擬與實驗研究，解釋并驗證了其雙穩態行為。基于前述彎曲梁理論，Correa等[14-15]提出了一種由雙曲梁構成的負剛度蜂窩結構，對其壓縮性能進行了試驗與數值模擬研究，但在數值模擬過程中，由于沒有對尼龍11進行黏彈性測試，缺少了反映尼龍11真實動態黏彈性的相關參數，導致數值模擬無法形成滯回曲線，與試驗結果不符，如圖1所示。

圖1 負剛度蜂窩結構力-位移曲線

可見，獲取材料的動態黏彈性參數對準確開展負剛度蜂窩結構的數值模擬研究至關重要。強迫非共振法[17]是常見的動態黏彈性參數測試方法，借助黏彈性儀進行材料的動態模量測試，可測頻段廣、精度高、簡單方便。

本文以準確模擬負剛度蜂窩結構的壓縮性能為目的，提出一種基于黏彈性廣義Maxwell模型的負剛度蜂窩結構壓縮性能數值模擬方法。首先采用動態機械分析儀DMA+2000對尼龍12進行動態機械分析(dynamic mechanical analysis,DMA)測試，獲得了其實測動態儲能模量和損耗模量數據，基于廣義Maxwell模型對實測數據進行非線性擬合，得到尼龍12的無量綱松弛模量gi和松弛時間τi參數；然后采用Abaqus軟件建立負剛度蜂窩結構有限元模型，賦予結構尼龍12材料的基本屬性，將所得動態黏彈性參數gi和τi輸入材料黏彈性屬性中的prony級數項，施加周期性位移激勵，進行結構壓縮性能的數值模擬研究；同時對負剛度蜂窩結構進行壓縮試驗；獲得結構在位移激勵下的力-位移滯回曲線，通過對比分析試驗與數值模擬結果，驗證了基于黏彈性廣義Maxwell模型的負剛度蜂窩結構數值模擬方法的正確性，并進行了雙曲梁幾何參數對結構承載力和耗能力的影響規律研究。通過這種數值模擬方法，可對負剛度蜂窩結構的力學性能和實際應用進行預測。

1 動態黏彈性參數的獲取

1.1 黏彈性廣義Maxwell模型

黏彈性是一種介于理想彈性體與理想流體之間的力學性質，可由服從胡克定律的彈簧和服從牛頓流體黏性定律的粘壺的組合模型表示其力學行為。其中廣義Maxwell模型可較準確的描述黏彈性材料的應力-應變關系，并被有限元軟件Abaqus所采用[18]。廣義Maxwell模型由n支單體Maxwell模型與一支彈簧并聯組成，每支單體Maxwell模型具有不同的彈性模量Ei和黏度ηi，因此每支單體Maxwell模型的松弛時間τi=ηi/Ei不同，一系列模型就有一個離散松弛時間譜[19],如圖2所示。

圖2 廣義Maxwell模型

廣義Maxwell模型的松弛模量E(t)表達式為

(1)

式中，E∞為準靜態模量，表示角頻率ω為0時的儲能模量。

展開式(1)可得基于prony級數的松弛模量表達式為

(2)

對式(2)進行傅里葉變換，得到廣義Maxwell模型頻域下的prony級數方程為

(3a)

(3b)

由式(3)可知，準確獲取不同頻率下的無量綱模量gi和松弛時間τi是擬合廣義Mawell模型黏彈性參數gi和τi的關鍵。動載下，可通過對黏彈性材料進行DMA測試獲得。

1.2 尼龍12材料DMA測試及廣義Maxwell模型參數擬合

對尼龍12材料進行DMA測試，測試儀器為法國Metravib公司的DMA+2000，試樣為圓柱體，尺寸為φ5×8 mm，測試采用壓縮模式，溫度恒定為25 ℃，掃頻范圍為0.01～0.4 Hz，動態壓縮力振幅為300 N，在材料的線性黏彈范圍內，在開始加載動態力前需加一個靜態力，一般為動態力的1.2倍。測試得到尼龍12材料在0.01～0.4 Hz掃頻范圍內的儲能模量和耗能模量數據(見圖2)。建立誤差函數D，對測試所得m個頻率下的儲能模量和耗能模量同時進行非線性擬合。

(4)

擬合通常采用四支單體Maxwell模型單元，利用Matlab中的lsqnonlin函數求解誤差函數D的極小值，從而確定黏彈性參數gi和τi。擬合所得曲線如圖3所示。黏彈性參數如表1所示。

圖3 動態模量擬合曲線

表1 尼龍12黏彈性參數擬合結果

2 負剛度蜂窩結構壓縮性能研究

2.1 負剛度蜂窩結構型式

根據彎曲梁屈曲理論，Correa等提出了一種負剛度蜂窩結構，如圖4所示。單胞結構由一對方向相反的雙曲梁組成，一系列單胞結構陣列后形成負剛度蜂窩結構，其主要的幾何尺寸如表2所示。陣列后結構具有更大的承載力和耗能力，可應用于抗沖擊防護設備方面，如頭盔、緩沖器等。

圖4 負剛度蜂窩結構(mm)

表2 負剛度蜂窩結構主要幾何尺寸

2.2 負剛度蜂窩結構數值模型

負剛度蜂窩結構在卸載過程中能夠恢復初始形狀主要依賴于黏彈性材料的滯后效應，而目前有關負剛度蜂窩結構力學性能的研究以試驗為主，在數值模擬過程中，因缺少反映材料真實黏彈性的參數，材料的本構關系與實際不符，導致數模結果與實際相差較大，針對這個問題，本文提出了一種基于黏彈性廣義Maxwell模型的負剛度蜂窩結構壓縮性能數值模擬方法，如圖5所示。

圖5 負剛度蜂窩結構數值模擬方法流程圖

首先，采用Abaqus軟件建立三維負剛度蜂窩結構有限元模型。在Part-sketch模塊中，按圖4所示幾何尺寸畫出結構二維草圖，其中雙曲梁的頂部和兩端與水平方向相切，通過拉伸創建結構三維實體模型；接著創建一個底面半徑為50 mm，高為25 mm的圓柱體模型，作為結構加卸載圓盤。在Assembly模塊中，組建三維負剛度蜂窩結構與加卸載圓盤，如圖6(a)所示。

其次，設置材料屬性。賦予負剛度蜂窩結構尼龍12的基本屬性，賦予加卸載圓盤鋼材的基本屬性，如表3所示。此外，還需賦予負剛度蜂窩結構尼龍12的黏彈性屬性，軟件Abaqus中集成了廣義Maxwell模型的相關方程，可在Property-material-viscoelastic-prony項中直接輸入由1.2節DMA測試數據擬合廣義Maxwell模型所得尼龍12的動態黏彈性參數gi,τi(如表1所示)，此時，負剛度蜂窩結構在數值模擬過程中具有了黏彈性的本構方程，卸載時可利用黏彈性材料應力-應變不同相的特性恢復初始形狀。

表3 尼龍12、鋼材基本屬性

設置接觸、邊界條件。在Interaction模塊中設置負剛度蜂窩結構上壓板與加卸載圓盤的接觸為“surface-to-surface contact”，設置負剛度蜂窩結構整體接觸為“self-contact”，接觸屬性均為“Hard”contact。設置負剛度蜂窩結構下壓板邊界條件為固支。

施加荷載。在Load模塊中，設置加載類型為Tabular，加載方式為位移加載，位移加載相比力加載可控性較強，初始位移為0，加載幅值為40 mm，位移大于40 mm結構致密化后會導致作用力銳增，因此，應避免出現位移超過40 mm的情況。加卸載速度為0.8 mm/s，加卸載一個周期為100 s，即頻率為0.01 Hz，在材料黏彈性參數適用的頻率范圍內。加卸載曲線如圖6(b)所示。

計算分析。在Step模塊中，創建Dynamic-Implicit分析，動力隱式分析通過迭代法求解近似解，計算精度較高。設置分析時長為加卸載一個周期(100 s)，初始增量步長為0.5 s，最小增量步長為1×10-5s。在Mesh模塊中，設置負剛度蜂窩結構采用六面體網格，單元尺寸為0.62 mm，尺寸過大易導致計算結果不準確，單元類型為C3D8R，應用sweep技術劃分網格。前述設計及理論分析中，材料應力未超過黏彈性極限。

圖6 負剛度蜂窩結構數值模型

2.3 負剛度蜂窩結構數值模型結果分析

根據2.2節數值模型進行計算，得到負剛度蜂窩結構的力-位移曲線，如圖7所示。與圖1(b)不同，此時，結構有明顯的滯回曲線。加載過程中，負剛度蜂窩結構的初始剛度為正(圖7點0～點1)，隨著荷載增大，達到雙曲梁屈曲的臨界值(圖7點1)，第一層雙曲梁開始屈曲，發生負剛度行為(圖7點1～點2)，完全屈曲后(圖7點2)，各層雙曲梁依次先承載后屈曲，發生負剛度行為(圖7點3～點4、點5～點6、點7～點8)，從而形成一個類似于普通六邊形蜂窩板塑性屈曲中的應力平臺區域(圖7虛線之間的加載曲線)，當所有雙曲梁完全屈曲后，結構致密化，承載力增加(圖7點8～點9)；卸載過程中，由于賦予負剛度蜂窩結構尼龍12材料的動態黏彈性參數，結構的應力、應變之間存在滯后效應，各層雙曲梁得以按原路徑恢復到初始形狀(圖7點9～點0)，形成一個周期的力-位移滯回曲線，滯回曲線包圍的面積表示負剛度蜂窩結構在一個加卸載周期內損耗的能量。

圖7 負剛度蜂窩結構數值模擬滯回曲線

2.4 負剛度蜂窩結構壓縮試驗及與數模結果對比分析

為驗證負剛度蜂窩結構數值模擬結果的準確性，對其進行壓縮試驗，采用尼龍12作為結構材料，通過3D打印(選擇性激光燒結)技術制備如圖4所示負剛度蜂窩結構，結構尺寸與數值模型相同。在萬能試驗機上進行壓縮試驗，如圖8所示。與數值模型相同，采用位移加載，加載類型為線性加載，加載幅值為40 mm，加卸載一個周期為100 s。

圖8 負剛度蜂窩結構壓縮實驗

試驗得到負剛度蜂窩結構的力-位移曲線，如圖9實線所示。定性分析圖9負剛度蜂窩結構壓縮試驗和數值模擬所得一個加卸載周期內的力-位移滯回曲線可知，兩條曲線在加卸載過程中的具有一定吻合度。選取壓縮試驗和數值模擬各層雙曲梁加載過程中的臨界屈曲點和完全屈曲點(圖9點1～點8、點1′～點8′)的變形圖進行對比分析，如圖10所示。受加工、制造的影響，壓縮試驗過程中各層雙曲梁屈曲沒有特定的順序；受網格劃分的影響，數值模擬過程中各層雙曲梁的屈曲也無特定順序，因此壓縮試驗與數值模擬各層雙曲梁屈曲的順序不同，但各層雙曲梁在臨界屈曲點和完全屈曲點的變形類似；結合圖9所示力-位移滯回曲線，數值模擬中最后一層雙曲梁的臨界屈曲點和完全屈曲點(圖9點7′、點8′)對應位移與試驗(圖9點7、點8)相差較大，相同的加載速度，數值模擬對應位移較小，說明數值模擬中最后一層雙曲梁的屈曲行為比試驗的提前發生，因而導致卸載開始階段數值模擬與試驗曲線的吻合度較低，造成差異的原因一方面可能是所選材料的黏彈性理論模型與實際仍有一定差別；另一方面可能是數值模擬與實際壓縮過程中結構的變形有一定差別。

以結構第一層雙曲梁的臨界屈曲力作為結構承載力(圖9點1、點1′))，以結構最后一層雙曲梁臨界回復點的作用力作為結構回復力，定量分析結構壓縮實驗和數值模擬的結果，如表4所示。壓縮試驗中結構承載力約為141.9 N，數值模擬約為131.9 N，數值模擬的承載力較低，二者誤差約為7%；壓縮實驗中結構回復力約為65.34 N，數值模擬約為71.82 N，數值模擬回復力略高，二者誤差8.3%；壓縮實驗中結構能量耗散值約為1 517.0 mJ，數值模擬約為1 626.6 mJ，數值模擬的能量耗散較大，二者誤差約為7.2%。由此可知，負剛度蜂窩結構壓縮實驗和數值模擬的承載力、回復力和能量耗散值均相差未超過10%，說明基于尼龍12動態黏彈性參數的數值模擬方法具有一定的正確性，可用于之后幾何參數對結構壓縮性能影響規律的數值模擬研究中。

圖9 負剛度蜂窩結構壓縮試驗與數值模擬滯回曲線

圖10 負剛度蜂窩結構加載過程試驗及數值模擬變形圖

表4 負剛度蜂窩結構壓縮試驗與數值模擬性能對比

3 結構幾何參數對承載力和耗能力的影響規律

Correa等對負剛度蜂窩結構的幾何尺寸進行了優化，使其壓縮性能更為優良，但沒有進行幾何參數對結構壓縮性能影響規律的研究，而根據彎曲梁理論，雙曲梁的高度h、跨度l、兩側立柱厚度c、寬度b均對結構承載力、回復力和耗能力存在影響，因此，以負剛度蜂窩單胞結構為代表模型，進行幾何參數對結構承載力和耗能力影響規律的數值模擬研究，各參數變化如表5所示。每種工況中僅有一個幾何參數為變量，其他幾何參數不變(見表2)。

表5 不同工況的幾何參數變量值

3.1 雙曲梁彎曲高度對承載力和耗能力的影響規律

雙曲梁的彎曲高度h是衡量結構承載力和耗能力的指標之一，以彎曲高度h為變量(見表5工況1)，得到負剛度蜂窩單胞結構各項性能如圖11所示。從圖11可知，隨雙曲梁彎曲高度的增大結構負剛度行為越明顯，承載力和回復力隨之增大，承載力的增長較快，回復力的增長較慢，但二者增長的趨勢均隨彎曲高度的增加有所減緩，耗能力的增長趨勢較為穩定，這一規律符合承載力、回復力和耗能力隨Q(Q=h/t)值的增大而增大的規律。但隨著雙曲梁高度的增加，動載下的結構的位移相應增大。

3.2 雙曲梁跨度對承載力和耗能力的影響規律

雙曲梁的彎曲高度h與跨度l之比K(K=h/l)表征雙曲梁的曲率，曲率越大雙曲梁的承載力和耗能力越大。以雙曲梁跨度l為變量(見表5工況2)，得到負剛度蜂窩單胞結構的各項性能如圖12所示。隨著跨度的增加，雙曲梁的曲率降低，承載力、回復力和耗能力不斷減小，且減小速度均逐漸變緩，符合曲率對雙曲梁的影響規律。對比雙曲梁高度對結構性能的影響，雙曲梁跨度的影響更明顯，跨度為34.8 mm的雙曲梁承載力達到144.8 N，高于雙曲梁高度為8.89 mm的承載力(約95.34 N)，且小跨度條件下，結構質量減小，單位質量耗能量增大，而結構的變形位移不會增大，因此，結構跨度減小性能更優越。

3.3 雙曲梁兩側立柱厚度對承載力和耗能力的影響規律

在彎曲梁屈曲的理論分析中，彎曲梁的邊界條件假設為固支，但負剛度蜂窩結構中，雙曲梁的邊界條件由兩側立柱及中間橫梁約束，壓縮時，中間橫梁與兩側立柱不可避免地產生一定變形，因而會對雙曲梁的承載力、耗能力造成一定影響。以雙曲梁兩側立柱的厚度為變量(見表5工況3)，結果如圖13所示。從圖13可知，當雙曲梁兩側立柱厚度c與雙曲梁t相等時c=t=1.27 mm)，雙曲梁受壓負剛度行為不明顯，接近“零”剛度行為，說明兩側立柱對雙曲梁端部的約束力不足，引發雙曲梁第二階屈曲模態發生，降低了結構的負剛度行為，因此兩側立柱厚度不宜小于雙曲梁厚度；隨雙曲梁兩側立柱厚度的增加，雙曲梁的承載力和回復力隨之增大，但增長趨勢變緩，能量耗散隨之減小，能量耗散在兩側立柱厚度為雙曲梁厚度的2倍時達到最大值。試驗發現，兩側立柱厚度過大，負剛度蜂窩結構在加卸載過程中易發生變形不穩定的情況，其力-位移滯回曲線如圖14所示。因此，兩側立柱的厚度c應在雙曲梁厚度t的2～3倍。

圖11 雙曲梁高度對負剛度蜂窩單胞結構壓縮性能的影響規律

圖12 雙曲梁跨度對負剛度蜂窩單胞結構壓縮性能的影響規律

圖13 兩側立柱厚度對負剛度蜂窩單胞結構壓縮性能的影響規律

圖14 兩側立柱厚度c=5.08 mm對應力-位移滯回曲線

3.4 雙曲梁寬度對承載力和耗能力的影響規律

實際應用中，負剛度蜂窩結構的長度L和寬度b需要根據空間和位置要求進行調整。以單胞結構的寬度為變量(見表5工況4)，模擬結果如圖15所示。單胞結構的承載力、回復力和耗能力隨寬度b的增加呈正比例增加，但單位寬度承載力和耗能力不變，模擬例中，單位寬度承載力約為4.25 N，單位寬度耗能力為20.7 mJ。

由此可見，適當增加雙曲梁彎曲高度、減小雙曲梁跨度、增加雙曲梁兩側立柱厚度、增加雙曲梁寬度均可提高結構的承載力和耗能力。但雙曲梁彎曲高度增加動載下結構的位移隨之增大；雙曲梁跨度減小結構加載過程中易出現明顯的第三階屈曲模態，影響卸載過程中結構的回彈；而增加雙曲梁寬度，結構單位寬度雙曲梁的承載力和耗能力并不改變。因此，在雙曲梁初始彎曲高度和寬度確定的情況下，適當減小雙曲梁跨度既能減輕結構質量，又能減小結構體積、還可顯著提高結構承載力和耗能力，是提高負剛度蜂窩結構力學性能最有效的方法。

圖15 雙曲梁寬度對負剛度蜂窩單胞結構壓縮性能的影響規律

4 結 論

本文基于廣義Maxwell黏彈性理論模型提出了一種負剛度蜂窩結構壓縮性能數值模擬方法，通過擬合黏彈性材料尼龍12的DMA測試數據，得到反映尼龍12真實動態黏彈性的無量綱模量gi和松弛時間τi，輸入到Abaqus中材料黏彈性的Prony級數項，賦予結構黏彈性的本構方程，由此，對負剛度蜂窩結構進行數值模擬，并與壓縮試驗結果進行了對比分析，研究了幾何參數對結構承載力和耗能力的影響規律，得到以下結論：

(1)負剛度蜂窩結構在數值模擬過程中，加載時各層雙曲梁依次屈曲，產生負剛度行為，卸載時，借助材料的黏彈性，結構按原路徑恢復初始形狀，形成一個加卸載周期內的滯回曲線，與壓縮試驗的變形過程相同。

(2)對比數值模擬與壓縮試驗所得滯回曲線，二者在形式上具有一定吻合度，在數值上最大承載力值和能量耗散值誤差均未超過10%，說明這種數值模擬方法的正確性，可應用于之后結構幾何參數的數值模擬研究中。

(3)雙曲梁的幾何參數對結構的壓縮性能具有一定影響，其中適當增加雙曲梁初始彎曲高度、減小雙曲梁跨度、增加雙曲梁兩側立柱厚度、增加雙曲梁寬度均可增大結構的承載力、回復力和耗能力。

以上結論對優化負剛度蜂窩結構的力學性能、預測負剛度蜂窩結構的應用效果具有重要意義。